第 八 章 影 响 线

§8-1 移动荷载和影响线概念 一、活荷载及活荷载对结构的影响 1、活荷载 荷载按作用位置特点分为恒荷载和活荷载。 荷载 特点 对结构的影响 §8-1 移动荷载和影响线概念 一、活荷载及活荷载对结构的影响 1、活荷载 荷载按作用位置特点分为恒荷载和活荷载。 荷载 特点 对结构的影响 恒荷载 大小、方向、作用 反力、内力、位移确定不变 位置不变的荷载 活荷载 反力、内力、位移等量值随荷载位置移动而变化 大小、方向不变，位置移（可）动的荷载

（1）大小、方向不变，仅作用位置变化的荷载称为移动荷载（如：车辆、吊车荷载等）。 注： （1）大小、方向不变，仅作用位置变化的荷载称为移动荷载（如：车辆、吊车荷载等）。 时有时无，可任意分布的荷载称为可动荷载（如：人群、风荷载、雪荷载、货物、不固定设备等）。 （2）反力、内力、位移等量值随荷载位置移动而变化。在此，不仅不同截面各量值随荷载位置变化的规律不同；而且，同一截面的不同量值，变化规律也不同。

2、活荷载作用下结构的计算问题 （1）找出活荷载作用下结构反应的特点规律，其工具为“影响线”。 （2）求出指定的支座反力、截面内力的最大值。确定某量值的最不利荷载位置。 （3）寻找全结构的最大内力。

二、影响线的概念 影响线的定义：当一个单位集中荷载沿一结构移动时，表示某指定截面的某一量值变化规律的函数图形，称为该量值的影响线。 影响线的特点: 横坐标 —— FP=1的位置。 纵坐标 —— 作用此点时指定量值的大小。 绘制影响线时，正值画在基线上面，负值画在基线下面。由于P=1无单位，因此，某量值影响线纵坐标的单位等于量值的单位除以力的单位。

1 y2 y1 A B C D FP1 FP2 x d A B C D FRA FRB x FP=1 ∑MB=0 FRA×l -FP×(l-x)=0 FRA =(l-x)/l l FRA FRA影响线 1 y2 y1

三、影响线的用途 (1) 当荷载位置确定时，求各量值。 (2) 当荷载位置变动时，确定最不利荷载位置。

§8-2 用静力法作简支梁影响线 一、简支梁的影响线 1、支座反力影响线 §8-2 用静力法作简支梁影响线 一、简支梁的影响线 1、支座反力影响线 梁的反力向上为正，取梁的左端为坐标原点，令 x 为FP=1至原点A的距离。 由力的平衡条件： ∑MB=0 FRA=FP(l-x)/l=(l-x)/l x FP=1 A B l FRB FRA

FRA影响线: FRA=(l-x)/l (l-x)/l 1 + FRB影响线: FRA影响线 FRB=FP x /l= x /l x/l 1 x=0, FRA= 1 x=l, FRA=0 (l-x)/l 1 + FRB影响线: FRA影响线 ∑MA=0 FRB=FP x /l= x /l x/l 1 + x=0 , FRB=0 x= l , FRB= 1 FRB影响线

正负号规定：使梁下部纤维受拉的弯矩为正。 2、弯矩影响线 A B x FP=1 l C a b 正负号规定：使梁下部纤维受拉的弯矩为正。 MC FP=1 作用在C左: (0≤x≤a) FQC FRB ∑MC=0 MC= FRB·b=x·b/l MC 左直线 FQC b FRA FP=1 作用在C右: (a≤x≤ l) a·b/l a + ∑MC=0 MC= FRA·a=(l-x)·a /l 右直线 MC影响线

3、剪力影响线 正负号规定：同材力。 + FQC影响线 A B x FP=1 l C a b FP=1 作用在C左: (0≤x＜a) FRB MC ∑y=0 FQC= -FRB = - x /l FQC MC FRA 左直线 FP=1 作用在C右: (a＜x≤ l ) b/l + 1 ∑y=0 FQC= FRA=(l - x) /l a/l 1 右直线 FQC影响线

二、伸臂梁影响线 1、反力影响线 ∑MB=0 FRA=l-x/l (-d≤ x≤ l+e ) ∑MA=0 FRB=x/l A B FP=1 C FRB a b D E d e x 1 ∑MB=0 FRA=l-x/l (-d≤ x≤ l+e ) ∑MA=0 FRB=x/l

将简支梁影响线在悬伸部分延长，则可得支座反力的整个影响线 A B FP=1 FRA l C FRB a b D E d e 1 1+d /l + - e /l FRA影响线 1+e/l - + 1 d/l FRB影响线

2、中间跨的弯矩影响线 A B FP=1 FRA l C FRB a b D E d e FP=1 作用在C左: (-d≤x≤a)，取截面C右边部分为隔离体 ∑MC=0 MC= FRB·b=x·b/l 左直线 FP=1 作用在C右: (a≤x≤ l+e)，取截面C右边部分为隔离体 ∑MC=0 MC= FRA·a=(l-x)·a /l 右直线

仿照简支梁,可得伸臂梁中间跨的弯矩影响线。 伸臂段上,只要简支梁的线段延长即可. 中间跨某截面的弯矩影响线为 A B FP=1 FRA l C FRB a b D E d e b a·b/l MC影响线 a + - - b·d/l a·e/l 仿照简支梁,可得伸臂梁中间跨的弯矩影响线。 伸臂段上,只要简支梁的线段延长即可.

3、中间跨的剪力影响线 A B FP=1 FRA l C FRB a b D E d e FP=1 作用在C左: (-d≤x≤a)，取截面C右边部分为隔离体 ∑y=0 QC= -FRB=-x/l 左直线 FP=1 作用在C右: (a≤x≤ l+e)，取截面C右边部分为隔离体 ∑y=0 QC= FRA=(l-x)/l 右直线

仿照简支梁,可得伸臂梁中间跨的剪力影响线。 中间跨某截面的剪力影响线为 A B FP=1 FRA l C FRB a b D E d e b/l + 1 + e/l d/l - - FQC影响线 a/l 1 仿照简支梁,可得伸臂梁中间跨的剪力影响线。

4、外伸段的弯矩影响线 - MF影响线 A B FP=1 l D E d e F f FP=1 x MF FQF f 当P=1在截面F以右时，截面F左边部分无外力作用，则MF=0。 当P=1在截面F以左时，以F为坐标原点，x在D以左取正值，仍以左边部分为隔离体，则MF=-x

5、伸臂段的剪力影响线 - A B FP=1 l D E d e F f FP=1 x MF 1 FQF影响线 FQF 当P=1在截面F以右时，截面F左边部分无外力作用，则FQF=0。 当P=1在截面F以左时，以F为坐标原点，x在F以左取正值，仍以左边部分为隔离体，则FQF =-1

6、支座处剪力影响线FQA左、FQA右 A B FP=1 FRA l FRB D E d e - FQA左影响线 + + - FQA右影响线 FP=1在A右时， FQA左=0 FP=1在A左时， FQA左=-1 FQA左影响线 d/l 1 + + - FP=1在A右时， FQA右=FRA= (l-x)/l FP=1在A左时， FQA右=- FRB= -x/l FQA右影响线 请考虑FQB左、FQB右的作法。

三、内力影响线与内力图的比较 内力图（M图） 影响线（MC I.L.） 位置移动的FP=1 截面位置 相应截面的M值 C截面的弯矩值 荷 载 位置任意的固定荷载 横坐标 截面位置 荷载FP=1的位置 竖坐标 相应截面的M值 C截面的弯矩值 单 位 内力实际单位 按 Z/FP 定 FP=1 x a b FP l/3 图 形 表 示 MC I.L. ab/l + FP l/3 M图

解: 若FP=1作用在基本部分（AD段时）， FQD=0,同外伸梁影响线。 若FP=1作用在附属部分，则应先求出D截面剪力影响线。 四、用静力法求多跨静定梁影响线 FP=1 A E C B D l d a b 1、基本部分上的反力、内力影响线 解: 若FP=1作用在基本部分（AD段时）， FQD=0,同外伸梁影响线。 若FP=1作用在附属部分，则应先求出D截面剪力影响线。

作FRA影响线。 FQD FRA 1 + - A B C D E FP=1 l d a b x1 FP=1 B d/l FQD=FP(l-x)/l FRA l+FQD d=0 FRA =-(l-x)d/l2 B FRA 1 + - d/l

A B C D E FP=1 l d a b x1 FP=1 作FQD影响线。 FQD B FQD=FP（l-x)/l 1 +

- MC 影响线 + FRB 影响线 + A B C D E FP=1 l d a b ab/l ad/l 1+d/l 1 FQD=FP（l-x)/l FRA =-(l-x)d/l2 MC= FRA ·a= =-(l-x)d/l2·a MC 影响线 ab/l + - ad/l FRB l-FQD (l+d)=0 FRB = (l-x) (l+d)/l2 1+d/l 1 FRB 影响线 +

2、附属部分上的反力、内力影响线 A B C D E FP=1 l d a b F e f x1 FP=1 FP=1 F FQD FRE B ∑MD=0 FREl-FP x=0 FRE =x/l 作FRE影响线和MF影响线。

FQD FRE + FRE影响线 + MF影响线 x1 FP=1 F B 1 当FP=1作用在F左侧时 MF=FREf =xf/l 当FP=1作用在F右侧时MF=FQDe=e(l-x)/l FRE影响线 ef / l + MF影响线

§8-3 结点荷载作用下梁的影响线 结点荷载：荷载作用在与计算结构相连接的构件上。如下图主梁承受的是结点荷载。 §8-3 结点荷载作用下梁的影响线 荷载直接加于纵梁，纵梁是简支梁，两端支在横梁上，横梁则由主梁支承；荷载通过纵梁下面的横梁传到主梁。主梁只在横梁处承受集中力，因此主梁承受的是结点荷载。 结点荷载：荷载作用在与计算结构相连接的构件上。如下图主梁承受的是结点荷载。 FP=1 横梁 纵梁 A B C E F 主梁 d l=4d

FP=1 A B C E F D d/2 一、结间任意截面D的弯矩影响线 1、首先考虑当FP=1在主梁上移动，可作出MD的影响线为一三角形。 当FP=1沿纵梁移动作用于各结点C、E、F时，相当于FP=1直接作用于主梁的结点。结点荷载与直接荷载的影响线纵坐标完全相同。 2、 考虑FP=1在两相邻点C、E之间纵梁上的移动情况，FP=1到C点的距离用 x 表示，主梁在C、D两点分别受向下的荷载：

FP=1作用在点x时，对主梁的影响可由叠加原理求得。 FP=1在C点时，MD=yC FP=1在E点时，MD=yE FP=1在距C点为x时，主梁在C点的荷载为 ，D点为 故： 为 x 的一次式，由此可知在结点荷载作用下，MD的影响线在CE段为一直线。因此，将直接荷载作用下MD影响线在结点处的纵坐标连以直线，即得结点荷载作用下的MD影响线。

3、 一般性结论： 在结点荷载作用下，结构支座反力（或内力）的影响线有两个特点：在结点处，结点荷载与直接荷载的影响线纵坐标相同；在相邻两结点之间为一直线。 先作直接荷载作用下的有关量值影响线，并用虚线表示，用直线连接相邻两结点的竖标，就得到结点荷载作用下的影响线。

FP=1 顶点的纵坐标为： ab/l= 3d/2×5d/2/4d=15/16d yc= 15/16d×2/3=5/8d E F D l=4d d/2 直接荷载 15d/16 结点荷载 5d/8 3d/4 MD影响线 顶点的纵坐标为： ab/l= 3d/2×5d/2/4d=15/16d yc= 15/16d×2/3=5/8d yE= 15/16d×4/5=3/4d

二、结间剪力影响线FQCE 的影响线 在结点荷载的作用下主梁CE两点之间无外力，因此主梁CE一段各截面的剪力都相等，通常称为结间剪力。 x FP=1 A B C E F d FP=1 x E C 1/2 FQCE 的影响线 1 1 1/4

§8-4 桁架影响线 如左图所示，为一平行弦桁架，设单位荷载P=1沿桁架下弦AG移动，试作各杆轴力的影响线。 方法：结点法与截面法 B A C D E F G a b c d e f g §8-4 桁架影响线 上承 如左图所示，为一平行弦桁架，设单位荷载P=1沿桁架下弦AG移动，试作各杆轴力的影响线。 方法：结点法与截面法 桁架通常承受结点荷载，荷载的传递方式与其下图所示的梁相同，称为等代梁。 P=1 下承 P=1 P=1 C A B 1、桁架支座反力RA和RG的影响线 与简支梁支座反力的影响线相同。

2、上弦杆轴力Nbc的影响线 B C D E F G a b c d e f g = å M 1 A C  P=1 P=1 P=1 C A = å C M C P=1 P=1 P=1 C A B 小结：其它上弦杆轴力影响线的画法。

3、下弦杆轴力NCD的影响线 取截面Ⅱ－Ⅱ, c a b c d e f g h l = 6d Ⅱ A B C D E F G 2 P=1 小结：其它下弦杆轴力影响线的画法。

4、斜杆NbC轴力的竖向分力的影响线 a b c d e f g h l = 6d Ｐ＝１在Ｂ以左时，取右部平衡 3 Ｐ＝１在Ｃ以右时，取左部平衡 P=1 P=1 A B Ｐ＝１在B、Ｃ之间时，影响线为直线。 1 所以，斜杆NbC轴力的竖向分力的影响线也就是节间剪力QBC0的影响线。 1 小结：其它斜杆轴力的竖向分力影响线的画法。

5、竖杆NＣc的影响线 a b c d e f g h l = 6d a b c d e f g h l = 6d 4 5 Ｐ＝１在C以左时，取右部平衡 4 Ｐ＝１在D以右时，取左部平衡 P=1 P=1 A B Ｐ＝１在C、D之间时，影响线为直线。 下承 1 1 上承 当P=1在上弦移动时，竖杆NＣc的影响线

6、竖杆NDd的影响线 a b c d e f g h l = 6d 当Ｐ＝１在下弦任意位置移动时， 当Ｐ＝１在上弦移动时， 5 当Ｐ＝１在上弦移动时， P=1 P=1 当Ｐ＝１在结点d时，由结点d平衡得 A B 当Ｐ＝１在其他结点时， 下承 上承 因结点之间是直线，则竖杆NDd的影响线是一个三角形。 1

§8-5 机动法作影响线 δP δZ Z 1、原理：虚位移原理。 特点：把作反力或内力影响线的静力问题转化为作位移图的几何问题。 举例说明： §8-5 机动法作影响线 1、原理：虚位移原理。 特点：把作反力或内力影响线的静力问题转化为作位移图的几何问题。 举例说明： x FP=1 B E A D δP δZ Z

x FP=1 B E A D δP δZ Z 1 + - Z · δZ + FP · δP=0 ( 8-1 ) ∵ FP =1 ( 8-2)

( 8-3 ) 为了简化，令δZ=1，上式变为： Z= - δP δZ ——力Z作用点沿其方向的位移，大小与Z无关，在给定虚位移的情况下，是不变的。方向与Z一致为正。 δP —— 与力FP =1相应的位移，荷载FP =1移动时，随FP =1的位置不同而变化。δP 向下为正。 为了简化，令δZ=1，上式变为： Z= - δP

如果位移图在横坐标轴上方，δP 为负值，而影响线为正。 由此可知，使δZ =1时的虚位移δP 图就代表了Z 的影响线，但正负号相反。 正负号规定：Z的影响线向上为正。 如果位移图在横坐标轴上方，δP 为负值，而影响线为正。

（2）使体系沿Z的正方向发生位移，作出荷载作用点的竖向位移图（δP 图）。即Z影响线的轮廓。 2、机动法作静定结构影响线的方法步骤 （1）撤去与Z相应的约束，代以未知量X。 （2）使体系沿Z的正方向发生位移，作出荷载作用点的竖向位移图（δP 图）。即Z影响线的轮廓。 （3）令δZ=1，可定出影响线各竖标的数值。 （4）横坐标以上的图形为正，横坐标以下的图形为负。

举例： + MC I. L. A B x FP=1 l C a b 用机动法做MC 的影响线。 根据虚位移原理： MC (α+β)+FδP=0 MC= - δP / (α+β) 由 δZ=α+β，若使 δZ=α+β=1 则所得到的虚位移图即为MC的影响线。 δZ=α+β FP=1 δx a α β MC ab/l a 1 + MC I. L.

举例： FQC δZ FQC b/l 1 + - 1 FQC I. L. a/l A B x FP=1 l C a b 根据虚位移原理： FQC δZ+FP δP=0 FQC= - δP / δz 若使δZ=1 则所得到的虚位移图即为FQC的影响线。 FQC FP=1 δZ FQC b/l 1 + - 1 FQC I. L. a/l

例：用机动法作多跨静定梁各量值影响线。 FP=1 - A B C D E H F K 2m 1m 作 MA影响线 MA δZ 6 - 6 MA影响线（m） 4

A B C D E H F K 2m 1m FP=1 作 MF影响线 δZ 2 MF 1 2 + - 1 1/2 MF影响线(m)

A B C D E H F K 2m 1m FP=1 作 FRB影响线 δZ FRB 3/2 + 1 - 1/4 FRB影响线

A B C D E H F K 2m 1m FP=1 作 FQH影响线 δZ FQH 1 + FQH影响线

A B C D E H F K 2m 1m FP=1 作 FQB左影响线 FQB左 - 1 FQB左影响线

A B C D E H F K 2m 1m FP=1 作 FQB右影响线 FQB右 1/2 1 1/4 + + - FQB右影响线

§8-6 影响线的应用 1、荷载位置确定时，利用影响线，求一般荷载作用下的影响量值。 §8-6 影响线的应用 影响线应用分两步: 1、荷载位置确定时，利用影响线，求一般荷载作用下的影响量值。 2、荷载位置变化时，利用影响线，研究该量值的变化规律，找最不利荷载位置。

- 一、求各种荷载作用下的影响量值 (位置固定) + - A B C FP1 FP2 FP3 FP4 1、集中荷载组 (位置固定) l e a b 求FQC 影响线相应于各荷载作用点的竖标分别为： y1 、y2、 y3、 y4。 FQC影响线 y2 b/l y3 y1 + y4 - a/l - 由此： FQC= FP1 y1+ FP2 y2+ FP3 y3+ FP4 y4=∑FPi yi 4 i=1

Z= FP1 y1+ FP2 y2+ ······+ FPn yn=∑FPi yi (8-4) yi —— 与FPi相应的影响线竖标，带正负号。 FPi —— 集中荷载值，指向下为正。 n —— 位于影响线范围内的集中荷载总数。

+ - - 2、分布荷载 (均布荷载) 微段上的荷载 qdx 可视为分布的小集中荷载。 Z=∫ y ·q dx = q∫ y dx A B C q qdx D E 微段上的荷载 qdx 可视为分布的小集中荷载。 Z=∫ y ·q dx x dx b/l E D + - E - = q∫ y dx dA D a/l = q A0 ( 8-5 ) FQC影响线 A0 — 影响线在均布荷载范围内的面积。 （ 注意有正负面积之分，q向下为正）

3 、用合力求影响量值 F y a 某量值Z的影响线 FP1 FP2 FPn-1 FPn yn yn-1 y1 y2 O 某量值Z的影响线 当一组平行集中荷载作用于影响线的某一直线段时，可用它们的合力来代替整个荷载组，而不致改变所求量值的最后数值。 Z= FP1 y1+FP2 y2+…+FPn-1 yn-1+FPn yn =(FP1 x1+FP2 x2+…+FPn-1 xn-1+FPn xn)tanα=F x tana= F y 合力矩定理

例： + - q=20kN/m A 用剪力影响线求FQC 。 解： B C 2m 4m A1=1/2×2/3×4= +4/3 1/3 FQC影响线 FQC =q(A1+ A2 )= 20(4/3-1/3) =20kN 也可以用合力计算，需分两段计算，为什么？ FQC1=1/2 ×(-1/3) ×20×2= -20/3 FQC2=1/2×2/3×20×4= 80/3

二、 求荷载的最不利位置 活荷载情况(类型) 求Z max （ Z min ） 影响线 (形状) 二、 求荷载的最不利位置 荷载的最不利位置：使某量值Z达到最大（最小）值的荷载位置，称为该量值的最不利荷载位置。 在活荷载作用下，结构上的各种量值随荷载位置而变。设计时必须找出各量值的最大值（包括Z max 和Z min ）作为设计依据。 活荷载情况(类型) 求Z max （ Z min ） 影响线 (形状)

简单情况可用观察法。判断原则： 把数量大，排列密的荷载放在影响线竖标标距较大的部位。 1、可动均布荷载 可动均布荷载为可以任意断续布置的均布活荷载。因为： Z=q·Ao ， 故可首先作出该量值的影响线。 求Z max 时，在+Ao内布满q 。 求Z min 时，在 -Ao内布满q 。 荷载位置确定后，即可用公式Z=q·Ao计算的Z max ， Z min值。

例： A C B + FQC影响线 + - - FQC (max)荷载位置 FQC (min)荷载位置

+ - 2、移动集中荷载（吊车、汽车、火车等） FP FP FP MK (max) MK (min) 一组互相平行且间距不变的集中荷载组。 （1）简单情况 移动的单个荷载： FP置于Z I.L.最大竖标处，产生 Z max 。 FP置于Z I.L.最小竖标处，产生 Z min 。 FP FP FP MK (max) K + MK (min) - MK 影响线

+ - 移动的一组集中荷载 应当把数量大、排列密的荷载放在影响线竖标较大的部位。 最不利荷载位置时，必有一个集中荷载作用在影响线的顶点。 问题是：哪一个集中力作用在影响线的顶点？ FP2 FP3 FP1 FP4 K + - MK 影响线

（2）临界荷载判别式 在此只讨论三角形影响线最不利荷载位置的判别条件。 先找出使 Z 达到极值的荷载位置，也称为荷载的临界位置。然后，从各个Z的极值中选出最大、最小值，即从荷载的临界位置中选出荷载的最不利位置。

+ - ∑FPL ∑FPL ∑FPR ∑FPR FPcr ⊿ yL y R ⊿ yR y L h α ⊿x ⊿x β a b Z 影响线 - α ⊿x ⊿x β a b 如图，荷载在某一位置时： Z= ∑FPL · y L +∑FPR · y R 考察Z何时出现极值。

观察：荷载向右移动⊿x （⊿x为正值），则有： Z+⊿Z=∑FPL·( y L +⊿y L )+∑FPR ·( y R+⊿ y R ) ⊿Z= ∑FPL · ⊿y L +∑FPR · ⊿y R = ∑FPL ·⊿x·tanα +∑FPR ·⊿x·tan β = ⊿x·∑FPi· tan ai 或写成：⊿Z /⊿x= ∑FPi · tan ai (a) 由 Z=∑FPi yi ，可知 Z 是 x 的一次函数。 使Z达到极大值时荷载的临界位置是：荷载自临界位置向左稍移或向右稍移时，Z的量值均减小。 即⊿Z ≤0 公式(a)的极值条件：当∑FPi · tan ai变号时，Z有极值。

设荷载组为自左向右移动，可写出Z发生极大值的两个不等式： 有 : tanα=h/a , tan β= - h/b (8-8) 可出现Zmin的条件与(8-8)式相反。

说明： 1、公式（8-8）可看作是在三角形影响线左右两直线内的平均荷载比较。 2、公式（8-8）只是Z的极值条件，一组集中荷载可能有几个荷载位置满足（8-8）式。因此，使用（8-8）式时，应以每个力作FPcr置于影响线的顶点，按（8-8）式找满足条件的荷载位置。按各位置计算Z值，比较后确定Z max（Z min ）。 3、式（8-8）只对两面坡的三角形影响线有效。如遇直角三角形影响线，则应试算。若遇折线形影响线，可用教材上的公式（8-6），（8-7）进行判断。 4、均布移动荷载作用情况，量值Z是荷载位置的二次函数，其最不利荷载位置可按一般求极值的方法进行判断和计算。

例: FP2 FP3 FP1 FP4 解： 1、作FRB的影响线。 2、分析。 试求图示简支吊车梁在吊车垂直荷载作用下支座B的最大反力。已知第一台吊车轮压为FP1=FP2=478.5kN，第二台吊车轮压为FP3=FP4=324.5kN。 FP2 FP1 FP3 FP4 1.45m 5.25m 4.8m A C B 6m 6m 解： 1、作FRB的影响线。 2、分析。

+ FP2 FP3 FP4 FP1 临界荷载判别: 当FP2在点B左、右时，有： FP2为一临界荷载。 1.45m 5.25m 4.8m 0.758 0.125 + 1 FRB影响线 临界荷载判别: 当FP2在点B左、右时，有： 2×478.5×103 6 324.5×103 6 ＞ 478.5×103 6 478.5×103+ 324.5×103 6 ＜ FP2为一临界荷载。

+ FP3 FP1 FP2 FP4 临界荷载判别: 当FP3在点B左、右时，有： FP3为一临界荷载。 5.25m 1.45m 4.8m 0.758 0.20 + 1 FRB影响线 临界荷载判别: 当FP3在点B左、右时，有： 324.5×103 478.5×103+324.5× 103 ＞ 6 6 478.5×103 2× 324.5×103 ＜ 6 6 FP3为一临界荷载。

3、求出上述两个不利荷载位置对应的值，进行比较，找出 FRB ( max) 当FP2在点B时，可求得： FRB= 478.5×103×(0.125+1)+324.5×103× 0.758=784.3×103N=784.3kN 当FP3在点B时，可求得： FRB= 478.5×103× 0.758+324.5×103× (1 + 0.2) =784.3×103N=784.3kN FRB ( max) =784.3kN

§8-7 简支梁的包络图和绝对最大弯矩 一、简支梁的包络图 内力包络图：连接各截面内力最大值的曲线。 §8-7 简支梁的包络图和绝对最大弯矩 一、简支梁的包络图 内力包络图：连接各截面内力最大值的曲线。 包络图表示梁在已知的活荷载（和恒载）作用下，各个截面可能产生的内力极限值。不论活荷载处于梁的何种位置，活荷载和恒载所产生的内力都不会超出包络图的范围。 具体做法见教材。

二、 绝对最大弯矩：简支梁所有各个截面的最大弯矩中，最大的那个弯矩。 截面位置变化 问题 荷载位置变化 1、发生绝对最大弯矩的截面位置 荷载在任一位置时，梁的弯矩图的顶点永远发生在集中荷载下面。

绝对最大弯矩必定发生在某一集中荷载的作用点。 如图所示，研究FPi的作用点的弯矩何时最大。 x a l-a-x FAy =F(l-x-a) /l F FPi FPn FP1 FPn-1 Mi=FAy ·x – M =F(l-x-a)x/l-M A B C Mi — Fpi所在截面 的弯矩。 FAy l/2 l/2 F — 梁上荷载合力。 M — FPi以左荷载对FPi作用点的力矩代数和（为一常数），是与 x无关的常数。

FPi x F a Mi=FAy ·x – M =F(l-x-a)x/l-M 为求的Mi极值， 可令dMi/dx=0,有： a/2 a/2 B l/2 C FP1 FPi FPn-1 FPn x F a l-a-x FAy Mi=FAy ·x – M =F(l-x-a)x/l-M 为求的Mi极值， 可令dMi/dx=0,有： a/2 a/2 F(l-2x-a)=0 得： x = (l – a )/2 (8-9) 或： x =l – x – a (8-9a) 梁的中线正好平分FPi与F之间的距离。

2、发生绝对最大弯矩的荷载位置 利用上述结论，可将各个荷载作用下的截面最大弯矩分别求出，再将它们加以比较，即可得出绝对最大弯矩。 在实际计算中，一般利用判断方法事先估计出绝对最大弯矩的临界荷载。 绝对最大弯矩一般发生在梁的中点附近，一般来说，使梁的中点发生最大弯矩的临界荷载就是发生绝对最大弯矩的临界荷载。

绝对最大弯矩的算式： 把 x= ( l – a )/2 代入M的公式 Mmax =F ( l/2 - a/2 )2 / l – M =F x2 /l – M 注： 上式 a 为正值，F在FPi之右，a 为负值，F在FPi之左。 在试算Mmax时，荷载移动在梁上有进有出，注意合力F的变化。

作业： 8.1、8.2 8.5、8.7、8.13 8.17、8.20、8.21、8.22