材料力学（乙） 题目解析 赵 沛 浙江大学交叉力学中心 浙江大学工程力学系 2019年6月18日.

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1 材料力学（乙） 题目解析 赵 沛 浙江大学交叉力学中心 浙江大学工程力学系 2019年6月18日

2 典型例题分析

3 §2.11 温度应力和装配应力 例题2.19 两铸件用两根钢杆1,2连接，其间距为l=200 mm。现要将制造得过长了e=0.11 mm的铜杆3装入铸件之间，并保持三根杆的轴线平行且等间距a。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径d=10 mm，铜杆横截面积为2030 mm的矩形，钢的弹性模量E=210 GPa，铜的弹性模量E3=100 GPa。铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体。 A B C 1 2 a B1 A1 C1 l 3 C1 C' e

4 §2.11 温度应力和装配应力 例题2.19 = 解： 1、变形协调方程： l1 l2 A B C 1 2 B1 C1 A1 l3 l
e C'' 解： 1、变形协调方程：

5 §2.11 温度应力和装配应力 例题2.19 FN1 FN3 FN2 解： 2、物理方程： 3、补充方程 4、平衡方程
a x C' A' B' FN3 FN1 FN2 3、补充方程 4、平衡方程 联立平衡方程与补充方程求解，即可得装配内力，进而求出装配应力。

6 §3.5 圆轴扭转时的变形 例题3.8 某汽车的主传动轴是用40号钢的电焊钢管制成，钢管外径D=76 mm，壁厚t=2.5 mm，轴传递的转矩M=1.98 kN·m，材料的许用剪应力[]=100 MPa，剪切弹性模量为G=80 GPa，轴的许用单位扭转角[′]=2/m。试校核轴的强度和刚度。 D d t M

7 §3.5 圆轴扭转时的变形 例题3.8 解： 轴的扭矩等于轴传递的转矩 D d t M 轴的内、外径之比 由强度条件 由刚度条件

8 §3.5 圆轴扭转时的变形 例题3.8 将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使max=96.1 MPa 讨论： 实心轴的直径为
d = 47.2 mm 实心轴的直径为 其截面面积为 空心轴的截面面积为 长度材料相等时，两轴重量比等于两轴的横截面积比 在最大切应力相等时空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料。

9 §4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 例题4.11 B B FN(y) M(y) FS(y)
已知平面刚架上的均布载荷集度q，长度l。试画出刚架的内力图。 解： （1）确定约束力，写出各段的内力方程 y 竖杆AB：A点向上为y ql B ql y FN(y) FS(y) M(y)

10 §4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 例题4.11 x B M(x) B x FN(x) FS(x)
ql y x 已知平面刚架上的均布载荷集度q，长度l。试画出刚架的内力图。 解： （1）确定约束力，写出各段的内力方程 横杆CB：C点向左为x M(x) B FN(x) FS(x) x

11 §4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 x 例题4.11 B FN FS M ql
y 例题4.11 x 已知平面刚架上的均布载荷集度q，长度l。试画出刚架的内力图。 解： （2）根据各段内力方程画内力图 竖杆AB： 横杆CB： FN FS M － ＋ ＋ ql

12 §5.3 横力弯曲时的正应力 例题5.3 图示铸铁梁，许用拉应力[t]=30 MPa，许用压应力[c]=60 MPa， Iz=7.63×10-6 m4，试校核此梁的强度。 对于铸铁梁，拉伸和压缩力学性能不同，在危险截面处，拉伸强度和压缩强度都应校核。 分析：

13 §5.3 横力弯曲时的正应力 例题5.3 图示铸铁梁，许用拉应力[t]=30 MPa，许用压应力[c]=60 MPa， Iz=7.63×10-6 m4，试校核此梁的强度。 解： 先确定危险截面及最大弯矩Mmax 对于只有集中力作用情形，弯矩图各段均为直线，且在各集中力作用处，弯矩图有尖角 。 因此，对于只有集中力作用情形，危险截面（弯矩最大的截面）肯定出现在集中力作用处或支座处。

14 §5.3 横力弯曲时的正应力 例题5.3 图示铸铁梁，许用拉应力[t]=30 MPa，许用压应力[c]=60 MPa， Iz=7.63×10-6 m4，试校核此梁的强度。 解： 先确定危险截面及最大弯矩Mmax （1）截面B （上部受拉） （2）截面C （下部受拉）

15 §5.3 横力弯曲时的正应力 例题5.3 图示铸铁梁，许用拉应力[t]=30 MPa，许用压应力[c]=60 MPa， Iz=7.63×10-6 m4，试校核此梁的强度。 解： 求截面形心 求截面对中性轴z的惯性矩

16 §5.3 横力弯曲时的正应力 例题5.3 图示铸铁梁，许用拉应力[t]=30 MPa，许用压应力[c]=60 MPa， Iz=7.63×10-6 m4，试校核此梁的强度。 解： 强度校核 Iz=7.63×10-6 m4 此梁安全 B截面(上拉下压): C截面(上压下拉):

17 §6.5 简单超静定梁 例题7 B F 4m A q C 梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁 的抗弯刚度均为EI，F=40 kN，q=20 kN/m。 画梁的剪力图和弯矩图。 解： （1）从B处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁 B1 4m A q FB B2 F C 变形协调方程为： （2）物理关系为：

18 §6.5 简单超静定梁 例题7 q F 梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁 的抗弯刚度均为EI，F=40 kN，q=20 kN/m。 画梁的剪力图和弯矩图。 A B C 4m 4m 解： （3）得补充方程 q A B1 FB 4m F FB B2 C 4m

19 §6.5 简单超静定梁 例题7 F MA FB F FB q RA q
梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁 的抗弯刚度均为EI，F=40 kN，q=20 kN/m。 画梁的剪力图和弯矩图。 A B C 4m 4m 解： （4）确定A端约束力 RA MA q A B1 FB 4m F FB B2 C 4m

20 §6.5 简单超静定梁 例题7 F FB F FB MC q q RC
梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁 的抗弯刚度均为EI，F=40 kN，q=20 kN/m。 画梁的剪力图和弯矩图。 A B C 4m 4m 解： （5）确定C端约束力 q A B1 FB 4m RC MC F FB B2 C 4m

21 §6.5 简单超静定梁 例题7 F FB F FB MC q q RC
梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁 的抗弯刚度均为EI，F=40 kN，q=20 kN/m。 画梁的剪力图和弯矩图。 A B C 4m 4m 解： （6）A、C端的约束力已求出 q A B1 FB 4m RC F FB B2 C MC 4m

22 §6.5 简单超静定梁 例题7 q F 梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁 的抗弯刚度均为EI，F=40 kN，q=20 kN/m。 画梁的剪力图和弯矩图。 A B C 4m 4m 解： （7）作出梁的剪力图和弯矩图 剪力图 + - 弯矩图 -

23 §7.4 二向应力状态分析——图解法 例题7.6 x y xy 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示， x = −1 MPa , y = − 0.4 MPa , xy= − 0.2 MPa , yx = 0.2 MPa , 求：(1)绘出相应的应力圆； (2)确定此单元体在=30º和 = −40º两斜面上 的应力。 解： （1）画应力圆   O 量取OA= x= −1，AD = xy= −0.2，定出 D点； D′ (-0.4,0.2) 量取OB = y= −0.4，BD′ = yx= 0.2，定 出 D′点。 A C B (-1,-0.2) D 以 DD′ 为直径绘出的圆即为应力圆。

24 §7.4 二向应力状态分析——图解法 例题7.6 x y xy 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示， x = −1 MPa , y = − 0.4 MPa , xy= − 0.2 MPa , yx = 0.2 MPa , 求：(1)绘出相应的应力圆； (2)确定此单元体在=30º和 = −40º两斜面上 的应力。 解： （2）确定=30º斜截面上的应力   O 将半径CD逆时针转动2=60º到半径 CE，E点的坐标就代表=30º斜截面上 的应力。 D′ (-0.4,0.2) A C B E 60° 30° (-1,-0.2) D 30°

25 §7.4 二向应力状态分析——图解法 例题7.6 x y xy 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示， x = −1 MPa , y = − 0.4 MPa , xy= − 0.2 MPa , yx = 0.2 MPa , 求：(1)绘出相应的应力圆； (2)确定此单元体在=30º和 = −40º两斜面上 的应力。 解： （3）确定=−40º斜截面上的应力 40°   O 将半径CD顺时针转动2=80º到半径 CF，F点的坐标就代表=−40º斜截面 上的应力。 D′ (-0.4,0.2) F 80° 40° A C B E 60° 30° (-1,-0.2) D 30°

26 §7.4 二向应力状态分析——图解法 例题7.6 30°= − 0.68 MPa 30°= − 0.36 MPa
x y xy 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示， x = −1 MPa , y = − 0.4 MPa , xy= − 0.2 MPa , yx = 0.2 MPa , 求：(1)绘出相应的应力圆； (2)确定此单元体在=30º和 = −40º两斜面上 的应力。 解： （4） 30°= − 0.36 MPa 30°= − 0.68 MPa -40°= − 0.26 MPa -40°= − 0.95 MPa 40°   O D′ (-0.4,0.2) F 80° 40° A C B E 60° 30° (-1,-0.2) D 30°

27 §7.8 广义胡克定律 例题7.10 一直径d=20 mm的实心圆轴，在轴的两端加扭矩m=126 N·m。在 轴的表面上某一点A处用变形仪测出与轴线成−45º方向的应变 =5.010-4，试求此圆轴材料的剪切弹性模量G。 m m A x 45°

28 §7.8 广义胡克定律 例题7.10 m m 解： 围绕A点取一个单元体 A x 45° A 1 3 x y -45°

29 §8.4 扭转与弯曲的组合 例题8.9 F1=0.5 kN，F2=1 kN，[]=160 MPa。 F1 F2
（1）用第三强度理论计算AB的直径。 （2）若AB杆的直径d=40 mm，并在B端加一水平力 F3 = 20 kN，校核AB杆的强度。 F1 F2 A B C D 400

30 §8.4 扭转与弯曲的组合 例题8.9 F1 F2 F2 F1 解： 1）将力F向AB轴的C截面形心简化 AB 为弯、扭组合变形
D 400 解： 1）将力F向AB轴的C截面形心简化 AB 为弯、扭组合变形 固定端截面是危险截面 F2 A B C 400 m F1

31 §8.4 扭转与弯曲的组合 例题8.9 F1 F2 F3 F2 F1 解： 2）在B端加拉力F3 AB为弯+扭+拉组合变形
C D 400 解： 2）在B端加拉力F3 AB为弯+扭+拉组合变形 固定端截面是危险截面 400 400 m B A F2 C F3 F1

32 §8.4 扭转与弯曲的组合 例题8.9 F1 F2 F3 F2 F1 解： 2）在B端加拉力F3 固定端截面最大的正应力为 最大切应力为
A B C D 400 解： 2）在B端加拉力F3 固定端截面最大的正应力为 最大切应力为 400 400 由第三强度理论 m B A F2 C F3 F1

33 §9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 例题9.1 已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆，截面形状为工字 钢形，惯性矩Iz=6.5×104 mm4，Iy=3.8×104 mm4，弹性模量 E=2.1×105 MPa。试计算临界力Fcr。 x z 880 x 880 1000 y y z

34 §9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 例题9.1 分析思路： （1）杆件在两个方向的约束情况不同；
（2）计算出两个临界压力，最后取小的一个作为压 杆的临界压力。 x 880 1000 y z F l x z 880

35 §9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 例题9.1 解： xOy面：约束情况为两端铰支， μ=1，I=Iz，l=1 m
880 1000 y z 解： xOy面：约束情况为两端铰支， μ=1，I=Iz，l=1 m xOz面：约束情况为两端固定， μ=0.5，I=Iy，l=0.88 m F l x z 880 所以连杆的临界压力为134.6 kN。

36 §13.5 卡氏定理 例题13.9 圆截面杆ABC，（ABC=90°）位于水平平面内，已知杆截面直径 d 及材料的弹性常数 E , G，求C截面处的铅垂位移。不计剪力。 A B C l q

37 §13.5 卡氏定理 例题13.9 解 : A B C l q x A l Q F x x MB B BC：弯曲变形

38 §13.5 卡氏定理 例题13.9 解 : A B C l q x A l Q F x x MB B AB：弯扭组合变形 （弯曲）

39 §13.5 卡氏定理 例题13.9 解 : A B C l q x A l Q F x x MB B AB：弯扭组合变形 （扭转）

40 §13.5 卡氏定理 例题13.9 解 : ( )

41 §14.2 用力法解超静定结构 例题14.2 X1 X2 X3 q q 求解超静定结构刚架，设两杆的EI相等。 a B A C a A C

42 §14.2 用力法解超静定结构 1 例题14.2 A C B q x1 x2 解： （1）用单位载荷法求 1F, 2F, 3F

43 §14.2 用力法解超静定结构 1 例题14.2 A C B q x1 x2 解： （1）用单位载荷法求 1F, 2F, 3F

44 §14.2 用力法解超静定结构 例题14.2 1 1 A C B 1 x1 x2 解： （2）求δij

45 §14.2 用力法解超静定结构 例题14.2 1 1 A C B 1 x1 x2 解： （2）求δij

46 §14.2 用力法解超静定结构 例题14.2 1 1 A C B 1 x1 x2 解： （2）求δij

47 §14.2 用力法解超静定结构 B X1 X2 X3 A C q a 例题14.2 解： （2）求δij

48 §14.2 用力法解超静定结构 例题14.2 X1 X2 X3 q 解： （3）求X1, X2, X3 代入正则方程： 化简得: B A C

49 往年真题解析

50 考试基本信息 考试形式： 半开卷，允许带A4纸大小1页纸 考试题型： 选择题：20分（5道） 填空题：10分（3道）
计算题：70分（4-5道） 考试时间： 2019年06月29日 14:00-16:00 考试地点： 紫金港东1A-218，32人

51 衷心感谢大家的陪伴! 本课程结束 祝大家一切顺利!
人的一生只有一次青春。现在，青春是用来奋斗的；将来，青春是用来回忆的。无数人生成功的事实表明，青年时代，选择吃苦也就选择了收获。 —— 习近平，2013年5月4日