＜ 遞 迴 關 係 ＞ Why? 畫面設計說明： 為何要有「遞迴關係」這一個教學演示 動畫： 按一下出現「Why」文字 按一下出現圖片 按一下至下一頁 旁白：

＜ 遞 迴 關 係 ＞ 畫面設計說明： 為何要有「遞迴關係」這一個教學演示 動畫： 按一下至下一頁 旁白：

M.C.Escher “Print gallery” 畫面設計說明： 遞迴關係 動畫： 按一下至下一頁 旁白： All M.C. Escher works © Cordon Art-Baarn-the Netherlands. Used by permission. All rights reserved.

M.C.Escher “Print gallery” 畫面設計說明： 遞迴關係 動畫： 在左圖按一下可得一影音檔clip_0_1.mpg 在左圖按一下可得一影音檔clip_1_1.mpg 按一下至下一頁 旁白： Watch Straight Zoom Watch Rotate Zoom

遞迴關係 各式問題找 遞迴關係 數學遊戲 談遞迴關係 評量試題 解遞迴關係 切割平面 雪花曲線 爬樓梯 河內塔 大象轉彎 符號意義 遞迴關係式的意義 簡單的遞迴關係式 解遞迴關係式 (求一般式) 計數問題 畫面設計說明： 遞迴關係 動畫： 按一下至下一頁 旁白：

＜ 遞 迴 關 係 ＞ . 教學演示教材 . 畫面設計說明： 標題頁 動畫： 無須按鍵 按一下至下一頁 旁白： . 教學演示教材 . ＜ 遞 迴 關 係 ＞ 畫面設計說明： 標題頁 動畫： 無須按鍵 按一下至下一頁 旁白： 今天我們要來介紹的是遞迴關係， 我將以班級課堂教學的情形來作為這一次研習的形式， 希望老師們能以學生的角色熱烈參與。

生活中，我們時常會碰到與 自然數有關的問題， 生活中，我們時常會碰到與 自然數有關的問題， 例如: 畫面設計說明： 生活中計數問題的引入 動畫： 按一下出現「例如」 按一下至下一頁 旁白：

畫面設計說明： 生活中計數問題的引入，引起動機 動畫： 按一下至下一頁（於旁白同時） 旁白： 在一些宴會場合， 我們可能會看到香檳杯所做成的香檳杯塔的出現 香檳從最高處緩緩往下倒， 宴會的氣氛也推至最高潮

畫面設計說明： 生活中計數問題的引入，引起動機 動畫： 按一下至下一頁（於旁白同時） 旁白： （接上一頁）在一些宴會場合， 我們可能會看到香檳杯所做成的香檳杯塔的出現 香檳從最高處緩緩往下倒， 宴會的氣氛也推至最高潮

金氏記錄 香檳杯塔的高度為54層！ 那需要幾個 香檳杯啊？！ 畫面設計說明： 生活中計數問題的引入，引起動機 需要「停一下」給學生討論時間 動畫： 按一下出現「」文字 按一下至下一頁 旁白： 金氏世界記錄香檳杯塔的高度為54層！ 那組裝這一個金氏記錄的香檳杯塔需要多少個香檳杯啊？ 不知道！？不知道！？不知道！？ 因為很多嘛！所以我們該怎麼辦？

生活中， 我們時常會碰到與自然數有關的問題， 它們往往會隱含固定的規律，像 畫面設計說明： 生活中計數問題的引入後，提醒學生關心固定規律 動畫： 按一下出現「」文字 按一下至下一頁 旁白： 其實我們會去觀察它是不是會隱藏一些固定的規律

畫面設計說明： 固定規律的觀察 動畫： 按一下至下一頁（快速地） 旁白：

畫面設計說明： 固定規律的觀察 動畫： 按一下至下一頁（快速地） 旁白：

畫面設計說明： 固定規律的觀察 動畫： 按一下至下一頁（快速地） 旁白：

畫面設計說明： 固定規律的觀察 動畫： 按一下至下一頁（快速地） 旁白：

畫面設計說明： 固定規律的觀察 動畫： 按一下至下一頁 旁白： 你會發現在排柳丁時，有一些規律， 我們來仔細看一下

畫面設計說明： 三角形數問題的引入，引起動機 需要「停一下」給學生討論時間 動畫： 按一下出現一排圓球 （依照講授速度進行，並可以滑鼠中間轉輪控制回復功能，觀察前後項） 按一下至下一頁 旁白： 你會發現當我們多排一排時， 就會需要比前一排多一粒， 現在這一個圖形是由多少顆圓球所形成的？ 那現在這一個圖形又是由多少顆圓球所形成的？ （若學生有反應，可以說：這其實就是我們之前學過的等差數列） 那我們繼續看圖形的變化。

生活中， 我們時常會碰到與自然數有關的問題， 它們往往會隱含固定的規律， 但是 當個數增加時，我們數數時 似乎有種『喘不過氣來』的感覺， 畫面設計說明： 數數技能提升的需求性 動畫： 按一下出現「」文字 按一下至下一頁 旁白： 我們 一直數、一直數、一直數、 是不是會有一種數到喘不過氣來的感覺， 我們先看一下這一個問題！

排列這樣的三角形，需不需要100顆球呢？！ 畫面設計說明： 數數技能提升的需求性 需要「停一下」給學生討論時間 動畫： 按一下至下一頁 旁白： 請問排成這樣的一個三角形，需不需要100顆圓球？ 大家是不是就開始數數了呢？ 數的會不會累呢？ 有想到好方法嗎？ 喔！有人答對了！不需要，只要91顆圓球就可以了。 排列這樣的三角形，需不需要100顆球呢？！

生活中， 我們時常會碰到與自然數有關的問題， 它們往往會隱含固定的規律， 但是當個數增加時，我們數數時 似乎有種『喘不過氣來』的感覺， 更別說， 在真實世界裡有形形色色的各式型態 畫面設計說明： 數數技能提升的需求性 動畫： 按一下出現「」文字 按一下至下一頁 旁白： 事實上， 這一種數數， 數到很多、很多，喘不過氣來的感覺， 常常會有， 有時更會因為型態的差異，更顯複雜！

畫面設計說明： 數字規律性的觀察 動畫： （可以滑鼠中間轉輪控制回復功能，觀察型態） 按一下至下一頁 旁白： 例如這一個圖形事實上跟剛剛的圓球排列是同一型態的！

畫面設計說明： 數字規律性的觀察 動畫： （可以滑鼠中間轉輪控制回復功能，觀察型態） 按一下至下一頁 旁白： 這一個圖形也跟剛剛的排列方式是同一型態的！

畫面設計說明： 數字規律性的觀察 動畫： （可以滑鼠中間轉輪控制回復功能，觀察型態） 按一下至下一頁 旁白： 這一個圖形像是將鐵鋁罐頭排列成塔， 其實也跟剛剛的排列方式是同一型態的！

生活中， 我們時常會碰到與自然數有關的問題， 它們往往會隱含固定的規律， 但是當個數增加時，我們數數時 似乎有種『喘不過氣來』的感覺， 事實上， 純粹由數學知識發展出來的概念 也需要有效的計數方法。 畫面設計說明： 數字規律性的重要性 動畫： 按一下出現「」文字 按一下至下一頁 旁白： 事實上，在數學的世界裡，我們一直在尋求有效的計數方法。

平面上的1條直線最多可把平面分割成2個區域。 畫面設計說明： 固定規律的觀察 動畫： 按一下出現直線 按一下至下一頁 旁白： 例如「…」

1 2 平面上的1條直線最多可把平面分割成2個區域。 畫面設計說明： 固定規律的觀察 動畫： （依照講授速度進行，並可以滑鼠中間轉輪控制回復功能，觀察前後項） 按一下至下一頁 旁白： 那麼 2

平面上的1條直線最多可把平面分割成2個區域。 平面上的2條直線最多可把平面分割成4個區域。 畫面設計說明： 固定規律的觀察 動畫： 按一下出現「」文字 按一下出現直線 （依照講授速度進行，並可以滑鼠中間轉輪控制回復功能，觀察前後項） 按一下至下一頁 旁白：

1 4 3 2 平面上的1條直線最多可把平面分割成2個區域。 平面上的2條直線最多可把平面分割成4個區域。 畫面設計說明： 固定規律的觀察 動畫： 按一下出現「」文字 按一下出現直線 （依照講授速度進行，並可以滑鼠中間轉輪控制回復功能，觀察前後項） 按一下至下一頁 旁白： 2

平面上的1條直線最多可把平面分割成2個區域。 平面上的2條直線最多可把平面分割成4個區域。 平面上的3條直線最多可把平面分割成 個區域。 平面上的3條直線最多可把平面分割成幾個區域？ 7 8 8嗎？ 6嗎？ 6 畫面設計說明： 固定規律的觀察 動畫： 按一下出現「」文字 按一下出現直線 （依照講授速度進行，並可以滑鼠中間轉輪控制回復功能，觀察前後項） 按一下至下一頁 旁白： 8個？會有8個嗎？我畫不出來耶！ 6個？是6個嗎？ 注意一下文字「最多」！ 所以是7個。

畫面設計說明： 固定規律的觀察 動畫： 按一下出現直線 （依照講授速度進行，並可以滑鼠中間轉輪控制回復功能，觀察前後項） 按一下至下一頁 旁白： 這一條線畫出來就多出三個區域，所以是7個。

7 6 5 3 畫面設計說明： 固定規律的觀察 動畫： 按一下出現直線 （依照講授速度進行，並可以滑鼠中間轉輪控制回復功能，觀察前後項） 按一下至下一頁 旁白： 這一條線畫出來就多出三個區域，所以是7個。

畫面設計說明： 固定規律的觀察 動畫： 按一下出現直線 （依照講授速度進行，並可以滑鼠中間轉輪控制回復功能，觀察前後項） 按一下至下一頁 旁白： 這一條線畫出來就多出4個區域，所以是7個。

8 9 10 11 畫面設計說明： 固定規律的觀察 動畫： 按一下出現直線 （依照講授速度進行，並可以滑鼠中間轉輪控制回復功能，觀察前後項） 按一下至下一頁 旁白： 這一條線畫出來就多出4個區域，所以是11（7+4）個。 11

畫面設計說明： 固定規律的觀察 動畫： 按一下出現直線 （依照講授速度進行，並可以滑鼠中間轉輪控制回復功能，觀察前後項） 按一下至下一頁 旁白： 這一條線畫出來就多出5個區域，所以是16個。

12 13 14 15 16 畫面設計說明： 固定規律的觀察 動畫： 按一下出現直線 （依照講授速度進行，並可以滑鼠中間轉輪控制回復功能，觀察前後項） 按一下至下一頁 旁白： 這一條線畫出來就多出5個區域，所以是16個。 16

平面上的1條直線最多可把平面分割成2個區域。 平面上的2條直線最多可把平面分割成4個區域。 平面上的3條直線最多可把平面分割成7個區域。 平面上的4條直線最多可把平面分割成11個區域。 平面上的5條直線最多可把平面分割成16個區域。 畫面設計說明： 固定規律的觀察 動畫： 按一下依序出現直線（不要在動畫進行時按任何鍵） 按一下至下一頁 旁白： 如果畫10條呢？ 就很多啊！ 數到「喘不過氣來」！ 那平面上的10條直線最多可把平面分割成幾個區域呢？

平面上的 n 條直線最多可把平面分割成 幾個區域呢？ 問題 平面上的 n 條直線最多可把平面分割成 幾個區域呢？ 平面上的 n 條直線最多可把平面分割 成 an 個區域，則 an 之表示式為何？ 畫面設計說明： 固定規律的觀察 動畫： 按一下出現「」文字 按一下至下一頁 旁白： 那我們現在來看這一個問題 事實上，我們可以將上面的問題轉化成這樣 變成數列第n項的問題

(Recurrence Relation) 生活中， 我們時常會碰到與自然數有關的問題， 它們往往會隱含固定的規律， 數學課程中， 我們將介紹一種數學方法， 幫助我們解決這一類問題。 遞 迴 關 係 畫面設計說明： 遞迴關係可以解決問題 動畫： 按一下出現「」文字 按一下出現「」文字 按一下至下一頁 旁白： 「…」這就是我們今天的主題「遞迴關係」 (Recurrence Relation)

三角形數 畫面設計說明： 三角形數的關係探討 動畫： 按一下依序出現a1、 a2、 a3、 a4、 a5三角形數 按一下出現出現a0三角形數 按ai三角形數可以出現大的ai三角形數，i＝0,1,2,3,4,5, 按一下至下一頁 旁白： 三角形數，就像我們剛剛排柳丁的時候一樣， 第一個三角形數為3 第二個三角形數為6 第三個三角形數為10 第四個三角形數為15 第五個三角形數為21 我們可以看出第幾個三角形數可以視為邊常為幾的三角形 所以 我們也可以找到第零個三角形數為1

三角形數之第 n 項 an 之表示式為何？ 1 3 6 10 15 21 an 1st 2nd 3rd 4th 5th 6th nth Type 1st 2nd 3rd 4th 5th 6th nth 三角形數 Value 1 3 6 10 15 21 an 畫面設計說明： 三角形數的關係探討 動畫： 按一下依序出現a1、 a2、 a3、 a4、 a5三角形數 按一下出現出現a0三角形數 按ai三角形數可以出現大的ai三角形數，i＝0,1,2,3,4,5, 按一下至下一頁 旁白： 第零個三角形數為1 第一個三角形數為3 第二個三角形數為6 第三個三角形數為10 第四個三角形數為15 第五個三角形數為21 那如果要找第12個三角形數，你能找到它是多少嗎？答案是91個。

三角形數之第 n 項 an 之表示式為何？ 1 3 6 10 15 21 an 問題 1st 2nd 3rd 4th 5th 6th nth Type 1st 2nd 3rd 4th 5th 6th nth 三角形數 Value 1 3 6 10 15 21 an a1 ＝1 a2 ＝3 ＝ 1＋2 a3 ＝6 ＝ 3＋3 an ＝ an－1 ＋ n a4 ＝10 ＝6＋4 畫面設計說明： 三角形數的關係探討 動畫： 按一下依序出現a1、 a2、 a3、 a4、 a5三角形數與其動畫 （不要在動畫進行時按任何鍵） （依照講授速度進行，並可以滑鼠中間轉輪控制回復功能，觀察前後項） 按一下出現an公式 按一下出現遞迴關係式 按一下至下一頁 旁白： 我們的處理方法是 每一個an都會是它前面一個再加n， 其中初始值a0是1， 就像我們如果要求a12，我們需要a11， 當我們要a11，我們需要a10， 一直這一個固定的規律，我們就可以算出我們要的數值， 這樣的公式我們稱為遞迴關係式。 ，其中a1 ＝1 a5 ＝15 ＝10＋5 an之遞迴關係式 a6 ＝21 ＝15＋6

三角形數之第 n 項 an 之表示式為何？ 1 3 6 10 15 21 an 問題 1st 2nd 3rd 4th 5th 6th nth Type 1st 2nd 3rd 4th 5th 6th nth 三角形數 Value 1 3 6 10 15 21 an a1 ＝1＝(1＋1)×1/2 a2 ＝1＋2 ＝(1＋2)×2/2 a3 ＝ 1＋2 ＋3 ＝ (1＋3)×3/2 a4 ＝ 1＋2 ＋3 ＋4 ＝ (1＋4)×4/2 畫面設計說明： 三角形數的關係探討 動畫： 按一下依序出現a1、 a2、 a3、 a4、 a5三角形數與其動畫 （不要在動畫進行時按任何鍵） （依照講授速度進行，並可以滑鼠中間轉輪控制回復功能，觀察前後項） 按一下出現an公式 按一下出現一般式 按一下至下一頁 旁白： 以前我們的處理方法是 以等差級數，梯形公式 a5 ＝ 1＋2 ＋3 ＋4 ＋5 ＝ (1＋5)×5/2 a6 ＝ 1＋2 ＋3 ＋4 ＋5 ＋6 ＝ (1＋6)×6/2 an之一般式 an ＝ 1＋2 ＋3 ＋4 ＋5 ＋6＋…＋ n ＝ n×(1＋n) /2

三角形數之第 n 項 an 之表示式為何？ 1 3 6 10 15 21 問題 1st 2nd 3rd 4th 5th 6th Type 1st 2nd 3rd 4th 5th 6th 三角形數 Value 1 3 6 10 15 21 an之遞迴關係式 an之一般式 畫面設計說明： 三角形數的關係探討 動畫： 按一下出現遞迴關係式 按一下出現一般式 按一下至下一頁 旁白： 我們作一個小小的整理，可以有這兩種表示方式 an ＝ an－1 ＋ n an ＝ 1＋2 ＋3 ＋4 ＋5 ＋6＋…＋ n ＝ n×(1＋n) /2 ，其中a1 ＝1

三角形數 an＝an－1＋n ，其中a1 ＝1 畫面設計說明： 三角形數的關係探討 動畫： 按一下出現圖形（不要在動畫進行時按任何鍵） 按一下至下一頁 旁白： 「…」 ，其中a1 ＝1

像三角形數問題， 我們可以看出某些與自然數有關的問題， 往往隱含固定的規律， 處理這一類的問題通常分成三個步驟： 依據題設條件構造一個數列 an  建立相鄰項間的遞迴關係(亦稱為遞迴方程式) 解遞迴方程式，求出一般項an (用n表示) 畫面設計說明： 三角形數的關係探討 動畫： 按一下出現「」文字 按一下出現「」文字 按一下至下一頁 旁白： 「…」 強調「固定的規律」、「相鄰項間的遞迴關係」

91年指考數學乙 問題 用單位長的不銹鋼條焊接如下圖系列的四面體鐵架， 圖中的小圈圈「。」表示焊接點，圖 E_1有兩層共 4 個 焊接點，圖 E_2 有三層共 10 個焊接點，圖 E_3 有四層 共 20 個焊接點。試問依此規律，推算圖 E_5有六層共 多少個焊接點？ 畫面設計說明： 四面體數的關係探討 動畫： 按一下至下一頁 旁白： 「…」

畫面設計說明： 四面體數的關係探討 動畫： 按一下至下一頁 旁白： 我們可以用這樣的模型，來看一下這一個題目所要處理的情況 這就是不鏽鋼條，這就是它的焊接點， 第1個，共2層一共有4個焊接點， 第2個，共3層一共有10個焊接點， 第3個，共4層一共有20個焊接點， 再多，就會需要更多的不鏽鋼條，（現在鋼筋很貴） 我們可以用數學方法來處理它了。

畫面設計說明： 四面體數的關係探討 動畫： 按一下至下一頁 旁白： 我們可以用這樣的模型，來看一下這一個題目所要處理的情況 這就是不鏽鋼條，這就是它的焊接點， 第1個，共2層一共有4個焊接點， 第2個，共3層一共有10個焊接點， 第3個，共4層一共有20個焊接點， 再多，就會需要更多的不鏽鋼條，（現在鋼筋很貴） 我們可以用數學方法來處理它了。

畫面設計說明： 四面體數的關係探討 動畫： 按一下至下一頁 旁白： 我們可以用這樣的模型，來看一下這一個題目所要處理的情況 這就是不鏽鋼條，這就是它的焊接點， 第1個，共2層一共有4個焊接點， 第2個，共3層一共有10個焊接點， 第3個，共4層一共有20個焊接點， 再多，就會需要更多的不鏽鋼條，（現在鋼筋很貴） 我們可以用數學方法來處理它了。

像這一題指考題， 我們可以看出與自然數有關， 我們要找出隱含的固定規律， 處理時，可分成三個步驟： 依據題設條件構造一個數列 an  建立相鄰項間的遞迴關係(亦稱為遞迴方程式) 解遞迴方程式，求出一般項an (用n表示) 畫面設計說明： 四面體數的關係探討 動畫： 按一下出現「」文字 按一下出現「」文字 按一下至下一頁 旁白： 「…」 強調「固定的規律」、「相鄰項間的遞迴關係」

91年指考數學乙 問題 用單位長的不銹鋼條焊接如下圖系列的四面體鐵架，圖中的 小圈圈「。」表示焊接點，圖 E_1有兩層共 4 個焊接點， 圖 E_2 有三層共 10 個焊接點，圖 E_3 有四層共 20 個焊接點。 試問依此規律，推算圖 E_5有六層共多少個焊接點？ 設n層的不鏽鋼條有En個焊接點，則 E2 ＝4 畫面設計說明： 四面體數的關係探討 動畫： 按一下依序出現E1、 E2、 E3、 E4、 E5三角形數與其動畫 （依照講授速度進行，並可以滑鼠中間轉輪控制回復功能，觀察前後項） 按一下出現En公式 按一下出現遞迴關係式 按一下至下一頁 旁白： 我們的處理方法是 每一個En都會是它前面一個再加新增一層的個數， 其中初始值E1是4， 就像我們如果要求a54，我們需要a53， 當我們要a53，我們需要a52， 一直這一個固定的規律，我們就可以算出我們要的數值， 這樣的公式我們稱為遞迴關係式。 強調「固定的規律」、「相鄰項間的遞迴關係」 我們解決這一個問題不需要找到它的一般項。 E3 ＝10＝ 4＋6 E4 ＝20 ＝10＋10 E5 ＝ 35 ＝20＋15 En ＝En－1＋(1+2+3+…+n) ，其中E2 ＝4 E6 ＝ 56 ＝35＋21 En之遞迴關係式

四面體數之第 n 項 En 之表示式為何？ 問題 1 4 10 20 35 En 5th nth 1st 2nd 3rd 4th Type 1st 2nd 3rd 4th 5th nth 四面體數 Value 1 4 10 20 35 En En ＝En－1＋(1+2+3+…+n) ，其中E0＝1 En之遞迴關係式 畫面設計說明： 四面體數的關係探討 動畫： 按一下出現遞迴關係式 按一下至下一頁 旁白： 如果你能列出這樣的一個式子，你就已經對於遞迴關係式有了初次成功的掌握。

四面體數 En ＝En－1＋(1+2+3+…+n) ，其中E1 ＝1 畫面設計說明： 四面體數的關係探討 動畫： 按一下出現圖形（不要在動畫進行時按任何鍵） 按一下至下一頁 旁白： 你還記不記得我們一開始提到的香檳杯塔，不就是這樣堆起來的嗎？ 金氏世界記錄，香檳杯塔最高為54層， 我們就可以利用這一個四面體數的公式來算出需要幾個香檳杯。 噫！面有難色！很難算！很大！ 別怕，我們可以用電腦來幫我們算！ 所以同學們，你有沒有發現： 如果你能掌握遞迴關係，你將可以利用「相鄰項間的遞迴關係」與「固定的規律」輕易掌握數數的問題。 En ＝En－1＋(1+2+3+…+n) ，其中E1 ＝1

1 4 10 20 35 En 1 3 6 10 15 En ＝En－1＋an an ＝ an－1 ＋ n 四面體數En 三角形數an Type 1st 2nd 3rd 4th nth 四面體數 Value 1 4 10 20 35 En En ＝En－1＋(1+2+3+…+n) ，其中E1＝1 En之遞迴關係式 Type 1st 2nd 3rd 4th 5th 三角形數 Value 1 3 6 10 15 四面體數En 三角形數an En ＝En－1＋an an ＝ an－1 ＋ n ，其中E1＝1, a1 ＝1 畫面設計說明： 三角形數與四面體數的關係探討 動畫： 按一下出現En遞迴關係式 按一下出現an遞迴關係式 按一下出現an一般式 按一下出現En與an遞迴關係式 按一下至下一頁 右下角有一返回的按鈕（用於P56） 旁白： 遞迴關係式中還蘊藏有遞迴歸係式 強調「相鄰項間的遞迴關係」與「固定的規律」 an之遞迴關係式 an之一般式 an ＝ an－1 ＋ n an ＝ 1＋2 ＋3 ＋…＋ n ＝ n×(1＋n) /2 ，其中a1 ＝1

1 1 1 三角形數 1 2 1 1 四面體數 1 3 3 3 1 1 1 4 6 6 4 4 1 1 5 10 10 10 10 5 1 1 6 15 15 20 20 15 6 1 1 7 21 21 35 35 35 21 7 1 1 8 28 28 56 56 70 56 28 8 1 畫面設計說明： 三角形數與四面體數的關係探討 動畫： 按一下出現文字「三角形數」 按一下出現文字「四面體數」 按一下至下一頁 按「三角形數」出現「黃色文字塊」 按「四面體數」出現「綠色文字塊」 按「黃色文字塊1」跳到P55，可說明「三角形數」 按「綠色文字塊1」跳到P55，可說明「四面體數」 P55右下角有一返回的按鈕 旁白： 巴斯卡三角形中，遞迴關係式中還蘊藏有遞迴歸係式 強調「相鄰項間的遞迴關係」與「固定的規律」 1 9 36 36 84 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 45 120 120 210 252 210 120 45 10 1 巴斯卡三角形

巴斯卡三角形 C 三角形數 四面體數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 畫面設計說明： 三角形數與四面體數的關係探討 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三角形數 四面體數 畫面設計說明： 三角形數與四面體數的關係探討 動畫： 按一下出現文字「三角形數」 按一下出現文字「四面體數」 按一下至下一頁 按「三角形數」出現「黃色文字塊」 按「四面體數」出現「綠色文字塊」 按「黃色文字塊1」跳到P55，可說明「三角形數」 按「綠色文字塊1」跳到P55，可說明「四面體數」 P55右下角有一返回的按鈕 旁白： 巴斯卡三角形中，遞迴關係式中還蘊藏有遞迴歸係式 強調「相鄰項間的遞迴關係」與「固定的規律」 巴斯卡三角形

遞 迴 關 係 生活中碰到與自然數有關的問題， 我們可以藉由數學課程介紹的數學方法， 幫助我們找到它們隱含的固定規律， 解決這一類問題。 隨著計算機科學的發展，這樣的想法 更形重要。 畫面設計說明： 遞迴關係 動畫： 按一下出現「」文字 按一下出現「」文字 按一下至下一頁 旁白： 「…」 強調「固定的規律」、「相鄰項間的遞迴關係」

遞迴關係 各式問題找 遞迴關係 數學遊戲 談遞迴關係 評量試題 解遞迴關係 切割平面 雪花曲線 爬樓梯 河內塔 大象轉彎 符號意義 遞迴關係式的意義 簡單的遞迴關係式 解遞迴關係式 (求一般式) 計數問題 畫面設計說明： 遞迴關係 動畫： 按一下至下一頁 旁白：

遞迴關係以 an＝αan－1＋f (n) 及 an＝βan－1＋γan－2 的形式為主， 其中α、β、γ為常數， f(n)是次數小於3的多項式。 畫面設計說明： 遞迴關係 動畫： 按一下至下一頁 旁白：

an＝αan－1＋f (n) 形式 α= 1： an = an – 1 + f(n) degf(n) = 0 → 等差數列 degf(n) = 2 → 例如四面體數(需用到Σk2) α≠1： an = αan – 1 + f(n) f(n) = 0 → 等比數列 degf(n) = 0 → 與等比級數有關，如河內塔， degf(n) = 1, 2 → 較難計算

an＝βan－1＋γan－2形式 如費波那契數列 1. 假設此式可改成an – kan – 1 = t (an – 1 – kan – 2 ) 則(an – kan – 1) = t (an – 1 – kan – 2 ) 則bn = an – kan – 1為一公比 t 的等比數列 此時t + k = –β， t k = γ 2. 使用生成函數或特徵方程式的方式解一般式