第4章 正弦交流电路 4.1 正弦电压与电流 4.2 正弦量的相量表示法 4.3 电阻元件、电感元件与电容元件 4.4 电阻元件的交流电路 4.1 正弦电压与电流 4.2 正弦量的相量表示法 4.3 电阻元件、电感元件与电容元件 4.4 电阻元件的交流电路 4.5 电感元件的交流电路 4.6 电容元件的交流电路 4.7 电阻、电感与电容元件串联交流电路 4.8 阻抗的串联与并联 4.9 复杂正弦交流电路的分析与计算 4.10 交流电路的频率特性 4.11 功率因数的提高 4.10 非正弦周期电压和电流

第4章 正弦交流电路 本章要求 1. 理解正弦量的特征及其各种表示方法； 2. 理解电路基本定律的相量形式及阻抗； 熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法， 会画相量图。； 3. 掌握有功功率和功率因数的计算,了解瞬时 功率、无功功率和视在功率的概念； 4.了解正弦交流电路的频率特性，串、并联谐 振的条件及特征； 5.了解提高功率因数的意义和方法。

4.1 正弦电压与电流 R u R u + _ 正弦量： 随时间按正弦规律做周期变化的量。 i u 正弦交流电的优越性： 便于传输；易于变换  _  _ 正弦交流电的优越性： 便于传输；易于变换 便于运算； 有利于电器设备的运行； . . . . . 正半周 负半周

4.1 正弦电压与电流 i Im 设正弦交流电流： 初相角：决定正弦量起始位置 角频率：决定正弦量变化快慢 幅值：决定正弦量的大小 4.1 正弦电压与电流 i O 设正弦交流电流： Im  2  T 初相角：决定正弦量起始位置 幅值：决定正弦量的大小 角频率：决定正弦量变化快慢 幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。

4.1.1 频率与周期 周期T：变化一周所需的时间 （s） 频率f： （Hz） 角频率： （rad/s） i 4.1.1 频率与周期 周期T：变化一周所需的时间 （s） 频率f： （Hz） 角频率： （rad/s） i O T * 无线通信频率： 30 kHz ~ 30GMHz * 电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz * 高频炉频率：200 ~ 300 kHZ * 中频炉频率：500 ~ 8000 Hz

4.1.2 幅值与有效值 幅值：Im、Um、Em 有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。 则有 同理： 幅值必须大写, 4.1.2 幅值与有效值 幅值必须大写, 下标加 m。 幅值：Im、Um、Em 有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。 交流 直流 则有 有效值必须大写 同理：

4.1.3初相位与相位差 注意： 交流电压、电流表测量数据为有效值 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值 i 相位： O 　 相位： 反映正弦量变化的进程。  初相位： 表示正弦量在 t =0时的相角。 给出了观察正弦波的起点或参考点。  :

4.1.3 相位差 ： 　两同频率的正弦量之间的初相位之差。 如： u i  ωt O 若 电压超前电流

电流超前电压   电流超前电压 u i ωt O u i ωt 90° O 电压与电流反相 电压与电流同相 u i ωt O ωt u

注意: 　　① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。  t O ② 不同频率的正弦量比较无意义。

4.2 正弦量的相量表示法 u １.正弦量的表示方法 波形图 瞬时值表达式 相量 重点 前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。 O 必须 4.2 正弦量的相量表示法 u O １.正弦量的表示方法 波形图 瞬时值表达式 必须 小写 相量 重点 前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。

ω 2.正弦量用旋转有向线段表示 设正弦量: y u0 x 若:有向线段长度 = 有向线段与横轴夹角 = 初相位 动画 设正弦量: x y O O ω u0 若:有向线段长度 = 有向线段与横轴夹角 = 初相位 ω 有向线段以速度 按逆时针方向旋转 则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。

r a 3. 正弦量的相量表示 A b 实质：用复数表示正弦量 复数表示形式 设A为复数: (1) 代数式 A =a + jb 式中: +1 A b a r 实质：用复数表示正弦量 复数表示形式 设A为复数: (1) 代数式 A =a + jb 式中: 复数的模 复数的辐角 (2) 三角式 由欧拉公式:

可得: (3) 指数式 (4) 极坐标式 相量: 表示正弦量的复数称相量 设正弦量: 相量表示: 相量的模=正弦量的有效值 (3) 指数式 (4) 极坐标式 相量: 表示正弦量的复数称相量 设正弦量: 相量表示: 相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角 电压的有效值相量

？ = 或： 相量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角 ①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。 ②只有正弦量才能用相量表示， 注意: 电压的幅值相量 ①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。 ？ = ②只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相量表示。 ③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。

④相量的两种表示形式 相量式: 相量图: 把相量表示在复平面的图形 ⑤相量的书写方式  模用最大值表示 ，则用符号： 可不画坐标轴 ⑤相量的书写方式  模用最大值表示 ，则用符号：  实际应用中，模多采用有效值，符号： 如：已知 则 或

  ⑥“j”的数学意义和物理意义 旋转 因子： 设相量 相量 乘以 ， 将逆时针旋转 ，得到 相量 乘以 ， 将顺时针旋转 ，得到 +j 旋转 因子： 设相量 +1 +j o  相量 乘以 ， 将逆时针旋转 ，得到 相量 乘以 ， 将顺时针旋转 ，得到 

正误判断 1.已知： 3.已知： 复数 ？ • ？ 瞬时值 j45 有效值 4.已知： ？ 2.已知：  ？ 负号 ？ ？ 最大值

例1: 将 u1、u2 用相量表示 +1 +j 解: (1) 相量式 (2) 相量图 超前 落后 ？ 落后于

例2: 已知 求： 有效值 I =16.8 A

图示电路是三相四线制电源， 例3: 已知三个电源的电压分别为： 试求uAB ，并画出相量图。 解:(1) 用相量法计算： A + N - B C A B + – - 解:(1) 用相量法计算：

由KVL定律可知 (2) 相量图

4.3 单一参数的交流电路 4.3.1 电阻元件的交流电路 1. 电压与电流的关系 根据欧姆定律: 设 相量图 ① 频率相同 相量式： 4.3 单一参数的交流电路 R u + _ 4.3.1 电阻元件的交流电路 1. 电压与电流的关系 根据欧姆定律: 设 相量图 ① 频率相同 相量式： ②大小关系： ③相位关系 ： u、i 相位相同 相位差 ：

(1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积 2. 功率关系 (1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积 i ωt u O i u 小写 ωt p O p 结论: （耗能元件）,且随时间变化。

注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。 R u + _ (2) 平均功率(有功功率)P 瞬时功率在一个周期内的平均值 p ωt O 大写 P 单位:瓦（W） 注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。

4.3.2 电感元件的交流电路 设： - 1. 电压与电流的关系 + 基本关系式： eL ① 频率相同 ② U =I L ωt i O ① 频率相同 ② U =I L ③ 电压超前电流90 相位差

或 有效值: 定义： 感抗(Ω) 则: 直流： f = 0, XL =0，电感L视为短路 交流：f XL  电感L具有通直阻交的作用

O 感抗XL是频率的函数 根据： 超前 可得相量式： 相量图 则： 电感电路复数形式的欧姆定律

2. 功率关系 (1) 瞬时功率 (2) 平均功率 L是非耗能元件

 电感L是储能元件。 分析： 瞬时功率 ： 结论： 纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。 u i - u i - u i 瞬时功率 ： i u o 结论： 纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。 u i + - u i + - u i + - u i + - p o 可逆的能量 转换过程 + p >0 + p >0 p <0 p <0  电感L是储能元件。 储能 放能 储能 放能

(3) 无功功率 Q 用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时功率达到的最大值表征，即 瞬时功率 ： 单位：var 例1: 把一个0.1H的电感接到 f=50Hz, U=10V的正弦电源上，求I，如保持U不变，而电源 f = 5000Hz, 这时I为多少？ 解： (1) 当 f = 50Hz 时

（2）当 f = 5000Hz 时 所以电感元件具有通低频阻高频的特性 1.一只L=20mH的电感线圈，通以 的电流 求(1)感抗XL;(2)线圈两端的电压u; (3)有功功率和无功功率。 练习题：

4.3.3 电容元件的交流电路 设： 1.电流与电压的关系 + 基本关系式： 则： 电流与电压的变化率成正比。 ① 频率相同 4.3.3 电容元件的交流电路 u i C + _ 1.电流与电压的关系 基本关系式： 设： 则： 电流与电压的变化率成正比。 i u ① 频率相同 ② I =UC ③电流超前电压90 相位差

有效值 或 定义： 容抗（Ω） 则: XC 直流： XC ，电容C视为开路 交流：f 所以电容C具有隔直通交的作用

容抗XC是频率的函数 超前 电容电路中复数形式的欧姆定律 O 容抗XC是频率的函数 由： 可得相量式 超前 相量图 则： 电容电路中复数形式的欧姆定律

2.功率关系 u i C + _ 由 (1) 瞬时功率 (2) 平均功率 Ｐ C是非耗能元件

纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。 瞬时功率 ： u i o u,i 结论： 纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。 u i + - u i + - u i + - u i + - p o + p >0 + p >0 p <0 p <0 所以电容C是储能元件。 充电 放电 充电 放电

为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设 (3) 无功功率 Q 为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设 则： 同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。 单位：var

【练习】 指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？ 在电阻电路中： 在电感电路中： 在电容电路中：

实际的电阻、电容 电阻的主要指标 1. 标称值 2. 额定功率 3. 允许误差 种类: 碳膜、金属膜、 线绕、可变电阻 电容的主要指标 1. 标称值 2. 耐压 3. 允许误差 种类: 云母、陶瓷、涤纶 电解、可变电容等 一般电阻器、电容器都按标准化系列生产。

电阻的标称值 误差  10%（E12）  5% （E24） 1.0、1.1、1.2、1.3、1.5、1.6、1.8、2.0、2.2、2.4、2.7、3.0、 3.3、3.6、3.9、4.3、4.7、5.1、5.6、6.2、6.8、7.5、8.2、9.1等 1.0、1.2、1.5、 1.8、2.2、2.7、 3.3、3.9、4.7、 5.6、6.8、8.2 标 称 值 电阻的标称值 = 标称值10n

电阻器的色环表示法 四环 五环 倍 率 10n 误 差 倍 率 10n 误 差 有效 数字 有效 数字 黑、棕、红、橙、黄、绿、蓝、紫、灰、白、金、银 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.1 0.01 误差: 1% 2 0.5 0.2 0.1 5 10

如电阻的4个色环颜色依次为： 绿、棕、金、金—— 四环 倍 率 10n 误 差 有效 数字 五环 有效 数字 误 差 倍 率 10n 动画 四环 倍 率 10n 误 差 有效 数字 五环 有效 数字 误 差 倍 率 10n 如电阻的5个色环颜色依次为： 棕、绿、黑、金、红——

小 结 单一参数电路中的基本关系 参数 L C R 基本关系 阻抗 相量式 相量图

3.7单一参数正弦交流电路的分析计算小结 R L C 电路 参数 设 i + u 则 - 设 i + u - 设 i + 则 u - 阻抗 电压、电流关系 功　率　　　　　　　 基本 关系 电路 参数 电路图 (参考方向) 瞬时值 相量图 相量式 有效值 有功功率 无功功率 设 i + R u 则 - u、 i 同相 设 i + L 则 u - u领先 i 90° 设 i + C 则 u - u落后 i 90°

? 讨论 4.4RLC串联的交流电路 设： U =IR + IL + I 1/  C 1. 电流、电压的关系 直流电路两电阻串联时 1. 电流、电压的关系 R L C + _ 直流电路两电阻串联时 RLC串联交流电路中 设： U =IR + IL + I 1/  C ? 讨论 交流电路、 与参数R、L、C、  间的关系如何？

4.4 RLC串联的交流电路 1. 电流、电压的关系 R L C + _ (1) 瞬时值表达式 根据KVL可得： 设： 则 为同频率正弦量

(2)相量法 1)相量式 R jXL -jXC + _ 设 （参考相量） 则 总电压与总电流 的相量关系式

Z 的模表示 u、i 的大小关系，辐角（阻抗角）为 u、i 的相位差。 根据 令 阻抗 复数形式的 欧姆定律 则 Z 的模表示 u、i 的大小关系，辐角（阻抗角）为 u、i 的相位差。 注意 Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。

阻抗模： 阻抗角：  由电路参数决定。 电路参数与电路性质的关系： 当 XL >XC 时，  > 0 ，u 超前 i 呈感性 当 XL < XC 时 ， < 0 ， u 滞后 i 呈容性 当 XL = XC 时 ， = 0 ， u. i 同相 呈电阻性

2) 相量图 由电压三角形可得: 参考相量 + R _ XL < XC XL > XC jXL (  > 0 感性) -jXC + _ XL < XC XL > XC (  > 0 感性) (  < 0 容性) 由电压三角形可得: 电压 三角形

2) 相量图 由相量图可求得: 电压 三角形 阻抗 三角形 由阻抗三角形：

在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。 2.功率关系 (1) 瞬时功率 R L C + _ 设： 耗能元件上的瞬时功率 储能元件上的瞬时功率 在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。

(2) 平均功率P （有功功率） cos 称为功率因数，用来衡量对电源的利用程度。 单位: W 总电压 总电流 u 与 i 的夹角

u 与 i 的夹角 根据电压三角形可得： (3) 无功功率Q 根据电压三角形可得： 单位：var 总电压 总电流 电阻消耗的电能 电感和电容与电源之间的能量互换 单位：var 总电压 总电流 u 与 i 的夹角

P、Q、S 都不是正弦量，不能用相量表示。 电路中总电压与总电流有效值的乘积。 单位：V·A 注： SN＝UN IN 称为发电机、变压器 等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。  P、Q、S 都不是正弦量，不能用相量表示。

将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形 将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形 阻抗三角形、电压三角形、功率三角形 将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形 将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形 S Q P R

例1： 在RLC串联交流电路中， 已知: 求:(1)电流的有效值I与瞬时值 i ;(2) 各部分电压的有效值与瞬时值；(3) 作相量图；(4)有功功率P、无功功率Q和视在功率S。 解：

方法1： (1) (2)

方法1： 通过计算可看出： 而是 (3)相量图 (4) 或

(4) 呈容性 或 方法2：复数运算 解：

例2： 在RC串联交流电路中， 已知: 输入电压 + _ 已知: 输入电压 (1)求输出电压U2，并讨论输入和输出电压之间的大小和相位关系 (2)当将电容C改为 时,求(1)中各项；(3)当将频率改为4000Hz时,再求(1)中各项。 解： 方法1： (1)

大小和相位关系 比 超前 方法2：复数运算 解：设

方法3：相量图 解：设

（3） 大小和相位关系 比 超前 从本例中可了解两个实际问题： (1)串联电容C可起到隔直通交的作用(只要选择合适的C，使 ) (2)RC串联电路也是一种移相电路，改变C、R或 f 都可达到移相的目的。

思考 1.假设R、L、C 已定，电路性质能否确定？阻性？感性？容性？ 2.RLC串联电路的 是否一定小于1？ R + _ 2.RLC串联电路的 是否一定小于1？ 3.RLC串联电路中是否会出现 ， 的情况？ 4.在RLC串联电路中，当L>C时，u超前i，当L<C时，u滞后i，这样分析对吗？

正误判断 在RLC串联电路中， 设 ？  ？ ？  ？  ？ ？  ？  ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？

4.5 阻抗的串联与并联 4.5.1阻抗的串联 + - 通式: 对于阻抗模一般 注意： + - 分压公式：

4.5 阻抗的串联与并联 例1: 有两个阻抗 它们串联接在 的电源; 求: 和 并作相量图。 + - 解： 同理：

或利用分压公式： + - 相量图 注意：

思考 下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？ _ U=14V ? U=70V ? 两个阻抗串联时,在什么情况下: 成立。 6 8 (b) V1 V2 + _ (a) 3 4 V1 V2 6V 8V + _ U=14V ? U=70V ? 两个阻抗串联时,在什么情况下: 成立。

4.5.2 阻抗并联 + - + - 通式: 对于阻抗模一般 注意： 分流公式：

例2: 有两个阻抗 它们并联接在 的电源上; 求: 和 并作相量图。 解: + - 同理：

或 相量图 注意：

下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？ 思考 下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？ (c) 4A 4  A2 A1 (d) 4A 4  A2 A1 I=8A ? I=8A ? 两个阻抗并联时,在什么情况下: 成立。

思考 1. 图示电路中,已知 - 电流表A1的读数为3A, 试问(1)A2和A3的读数为多少? (2)并联等效阻抗Z为多少? + - A2 A3 电流表A1的读数为3A, 试问(1)A2和A3的读数为多少? (2)并联等效阻抗Z为多少? 2. 如果某支路的阻抗 , 则其导纳 对不对? + - 3. 图示电路中,已知 则该电路呈感性,对不对?

1、根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变) 一般正弦交流电路的解题步骤 1、根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变) 2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图 3、用相量法或相量图求解 4、将结果变换成要求的形式

已知电源电压和电路参数，电路结构为串并联。求电流的瞬时值表达式。 例1： 已知: 求: + - 分析题目： 已知电源电压和电路参数，电路结构为串并联。求电流的瞬时值表达式。 一般用相量式计算:

+ - 解：用相量式计算

同理： + -

分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数 例2： 下图电路中已知：I1=10A、UAB =100V， 求：总电压表和总电流表 的读数。 A B C1 V 分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数 求总电流和电压 解题方法有两种： (1) 用相量(复数)计算 (2) 利用相量图分析求解

C1 V 已知：I1= 10A、 UAB =100V， 求：A、V 的读数 解法1: 用相量计算 即： 为参考相量， 设： 则： 解法1: 用相量计算 即： 为参考相量， 设： 则： 所以A读数为 10安

A B C1 V 已知：I1=10A、 UAB =100V， 求：A、V 的读数 V 读数为141V 

已知：I1=10A、 C1 UAB =100V， 求：A、V 的读数 V 解法2: 利用相量图分析求解 画相量图如下： 设 为参考相量, 解法2: 利用相量图分析求解 画相量图如下： 设 为参考相量, 10 超前 45° 由相量图可求得： I =10 A

UL= I XL =100V V =141V 已知：I1=10A、 C1 UAB =100V， 求：A、V 的读数 V 设 为参考相量, 设 为参考相量, 100 45° UL= I XL =100V 100 10 45° 由相量图可求得： V =141V

例3： 已知 开关闭合前 开关闭合后 u，i 同相。 求: 解： (1)开关闭合前后I2的值不变。 由相量图可求得： R XL XC + – S 例3： 已知 开关闭合前 开关闭合后 u，i 同相。 求: 解： (1)开关闭合前后I2的值不变。 由相量图可求得：

R XL XC + – S 解：(2)用相量计算 设: ∵开关闭合后 u，i 同相， 由实部相等可得 由虚部相等可得

例4: 图示电路中已知: 试求: 各表读数及参数 R、L 和 C。 + - A A1 A2 V 解： 求各表读数 (1)复数计算

(2) 相量图 + - A A1 A2 V 根据相量图可得： 求参数 R、L、C 方法1：

45  方法2： 即: XC=20

图示电路中,已知:U=220 V,ƒ=50Hz,分析下列情况: 例5： 图示电路中,已知:U=220 V,ƒ=50Hz,分析下列情况: (1) K打开时, P=3872W、I=22A，求：I1、UR、UL (2) K闭合后发现P不变，但总电流减小，试说明 Z2是什么性质的负载？并画出此时的相量图。 + - S 解: (1) K打开时:

方法2: + - S (2) 当合K后P不变 I 减小, 说明Z2为纯电容负载 相量图如图示:

4.6 复杂正弦交流电路的分析和计算 若正弦量用相量 表示，电路参数用复数阻抗（ )表示，则直流电路中介绍的基本定律、定理及各种分析方法在正弦交流电路中都能使用。 相量（复数）形式的欧姆定律 电阻电路 纯电感电路 纯电容电路 一般电路 相量形式的基尔霍夫定律

有功功率 P 有功功率等于电路中各电阻有功功率之和， 或各支路有功功率之和。 或 无功功率 Q 无功功率等于电路中各电感、电容无功功率之 和，或各支路无功功率之和。 或

4.6复杂正弦交流电路的分析与计算 同第2章计算复杂直流电路一样,支路电流法、结点电压法、叠加原理、戴维宁等方法也适用于计算复杂交流电路。所不同的是电压和电流用相量表示，电阻、电感、和电容及组成的电路用阻抗或导纳来表示，采用相量法计算。下面通过举例说明。 例1: 图示电路中，已知 + - 试用支路电流法求电流 I3。

解：应用基尔霍夫定律列出相量表示方程 + - 代入已知数据，可得： 解之，得：

- 解: (1) 当 单独作用时 - 同理（2）当 单独作用时 - + - 例2: 应用叠加原理计算上例。 解: (1) 当 单独作用时 + - = 同理（2）当 单独作用时 + -

解：(1)断开Z3支路，求开路电压 - - (2)求等效内阻抗 (3) 例3: 应用戴维宁计算上例。 解：(1)断开Z3支路，求开路电压 + - + - (2)求等效内阻抗 (3)

4.7 交流电路的频率特性 前面几节讨论电压与电流都是时间的函数, 在时间领域内对电路进行分析,称为时域分析。本节主要讨论电压与电流是频率的函数；在频率领域内对电路进行分析, 称为频域分析。 当电源电压或电流（激励）的频率改变时，容抗和感抗随之改变，从而使电路中产生的电压和电流（响应）的大小和相位也随之改变。 频率特性或频率响应： 研究响应与频率的关系 幅频特性: 电压或电流的大小与频率的关系。 相频特性: 电压或电流的相位与频率的关系。

4.7.1 RC滤波电路的频率特性 滤波：即利用容抗或感抗随频率而改变的特 性, 对不同频率的输入信号产生不同的响应, 让 性, 对不同频率的输入信号产生不同的响应, 让 需要的某一频带的信号通过, 抑制不需要的其它 频率的信号。 滤波电路主要有： 低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。 C + – R 1.低通滤波电路 (1) 电路 输出信号电压 输入信号电压 均为频率的函数

C + – R (2) 传递函数（转移函数） 电路输出电压与输入电压的比值。 设: 则:

频率特性 幅频特性： 相频特性：  0 0  1 0.707 0 (3) 特性曲线

当 <0时,|T(j )| 变化不大接近等于1； 当 >0时,|T(j )|明显下降,信号衰减较大。 频率特性曲线  0 1  0 0  1 0.707 0 0.707 0  C + – R 当 <0时,|T(j )| 变化不大接近等于1； 当 >0时,|T(j )|明显下降,信号衰减较大。 一阶RC低通滤波器具有低通滤波特性

把 0<  0的频率范围称为低通滤波电路的通频带。0称为截止频率(或半功率点频率、3dB频率)。 频率特性曲线 0  0.707 1 通频带： 0<  0 截止频率: 0=1/RC C + – R 通频带： 把 0<  0的频率范围称为低通滤波电路的通频带。0称为截止频率(或半功率点频率、3dB频率)。

+ (1) 电路 (2) 频率特性（转移函数） 幅频特性： 相频特性： 2. RC高通滤波电路 C R + – (1) 电路 (2) 频率特性（转移函数） 幅频特性： 相频特性：

当 <0时,|T(j )| 较小，信号衰减较大； 当 >0时,|T(j )|变化不大，接近等于1。 (3) 频率特性曲线  1 0.707  0 0  1 0.707 0 0 通频带： 0< 截止频率: 0=1/RC 当 <0时,|T(j )| 较小，信号衰减较大； 当 >0时,|T(j )|变化不大，接近等于1。 一阶RC高通滤波器具有高通滤波特性

3. RC带通滤波电路 R C + – (1) 电路 输出信号电压 输入信号电压 (2) 传递函数

设： 频率特性 幅频特性： 相频特性：

3.3 频率特性曲线   0 0  1 1/3 0 0 1 2 R C + – 0 RC串并联电路具有带通滤波特性

由频率特性可知 在 =0 频率附近, |T(j )| 变化不大接近等于1/3;当偏离0时,|T(j )|明显下降,信号衰减较大。 通频带：当输出电压下降到输入电压的70.7%处，(|T(j )|下降到 0.707/3 时),所对应的上下限频率之差即： △ = (2-1) 仅当 时， 与 同相，U2=U1/3 为最大值，对其它频率不会产生这样的结果。因此该电路具有选频作用。常用于正弦波振荡器。

4.7.2 谐振电路 谐振的概念： 在同时含有L 和C 的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。 串联谐振：L 与 C 串联时 u、i 同相 并联谐振：L 与 C 并联时 u、i 同相 研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危害。

一、 串联谐振 1. 谐振条件 串联谐振电路 同相 由定义，谐振时： 即 谐振条件： 或： 2. 谐振频率 根据谐振条件： + R _ L C + _ 谐振条件： 或： 谐振时的角频率 2. 谐振频率 根据谐振条件：

2. 谐振频率 或： 可得谐振频率为： 或 电路发生谐振的方法： (1)电源频率 f 一定，调参数L、C 使 fo= f； (2)电路参数LC 一定，调电源频率 f，使 f = fo 3. 串联谐振特怔 (1) 阻抗最小

(2) 电流最大 当电源电压一定时： (3) 同相 电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗， 和 相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。 (4) 电压关系 电阻电压：UR = Io R = U 大小相等、相位相差180 电容、电感电压：

有： 当 时： UC 、UL将大于 电源电压U 由于 可能会击穿线圈或电容的 当 时： UC 、UL将大于 电源电压U 有： 由于 可能会击穿线圈或电容的 绝缘，因此在电力系统中一般应避免发生串联谐振，但在无线电工程上，又可利用这一特点达到选择信号的作用。 令： 表征串联谐振电路的谐振质量 品质因数，

注意 所以串联谐振又称为电压谐振。 谐振时: 与 相互抵消，但其本 身不为零，而是电源电压的Q倍。 相量图： 如Q=100,U=220V,则在谐振时 所以电力系统应避免发生串联谐振。

4. 谐振曲线 (1) 串联电路的阻抗频率特性 阻抗随频率变化的关系。 容性 感性

(2) 谐振曲线 电流随频率变化的关系曲线。 f Q大 谐振电流 Q小 分析： R  电路具有选择最接近谐振频率附近的电流的能力 ——称为选择性。 Q值越大，曲线越尖锐，选择性越好。

通频带： △ƒ= ƒ2－ƒ1 当电流下降到0.707Io时所对应的上下限频率之差，称通频带。即： 谐振频率 Q大 下限截止频率 Q小 上限截止频率 通频带宽度越小(Q值越大)，选择性越好，抗干扰能力 越强。

5.串联谐振应用举例 调C，对所需信号频率产生串联谐振 接收机的输入电路 等效电路 - 电路图 最大 则 ：接收天线 ：组成谐振电路 + - 电路图 最大 则 ：接收天线 ：组成谐振电路 为来自3个不同电台(不同频率) 的电动势信号；

例1： 若要收听 节目，C 应配多大？ (1) + - 已知： 解： 则： 结论：当 C 调到 204 pF 时，可收听到 的节目。

解： 例1： 信号在电路中产生的电流 有多 (2) 大？在 C 上 产生的电压是多少？ 已知： 已知电路在 时产生谐振 这时 - + 所需信号被放大了78倍

二、并联谐振 1. 谐振条件 + - 实际中线圈的电阻很小，所以在谐振时有 则：

1. 谐振条件 由： 可得出： 2. 谐振频率 或 3. 并联谐振的特征 (1) 阻抗最大，呈电阻性 (当满足  0L  R时)

(2)恒压源供电时，总电流最小； 恒流源供电时，电路的端电压最大。 (3)支路电流与总电流 的关系 当 0L  R时，

相量图 1 支路电流是总电流的 Q倍  电流谐振

例2： 已知： 试求： + - 解：

（ 间的相位角）、ƒ=50Hz、电路处于谐振状态。 电路如图：已知 R=10 、IC=1A、1 =45 （ 间的相位角）、ƒ=50Hz、电路处于谐振状态。 试计算 I、I1、U、L、C之值，并画相量图。 例3： + - 解：(1) 利用相量图求解 相量图如图: 由相量图可知电路谐振，则：

例3： 又： (2) 用相量法求解 设： 则：

解： 例3： 图示电路中U=220V, (1)当电源频率 时,UR=0 (2)当电源频率 时,UR=U 试求电路的参数L1和L2 (1) + - 解： (1) 即:I=0 并联电路产生谐振, 即: 故:

时,UR=U (2) - 并联电路的等效阻抗为: 总阻抗 串联谐振时,阻抗Z虚部为零,可得: 试求电路的参数L1和L2 (2)当电源频率 时,UR=U (2) 所以电路产生串联谐振, + - 并联电路的等效阻抗为: 总阻抗 串联谐振时,阻抗Z虚部为零,可得:

思考题: - (a) ---信号源 如图电路中,已知: ---噪声源 - (b) 接 收 网 络 + - 滤波电路 (a) (1)现要求在接收端消除噪声,问图(a)LC并联电路应工作在什么频率下? ---信号源 如图电路中,已知: ---噪声源 (2)现要求工作信号到达接收端,问图(b)LC串联电路应工作在什么频率下? 接 收 网 络 + - (b) 滤波电路

4.8 功率因数的提高  1.功率因数 :对电源利用程度的衡量。 的意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角 - X 1.功率因数　　　:对电源利用程度的衡量。 的意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角 + - X  时,电路中发生能量互换,出现无功 当 功率 这样引起两个问题:

(1) 电源设备的容量不能充分利用 若用户： 则电源可发出的有功功率为： 无需提供的无功功率。 若用户： 则电源可发出的有功功率为： 而需提供的无功功率为: 所以 提高 可使发电设备的容量得以充分利用

（2）增加线路和发电机绕组的功率损耗 设输电线和发电机绕组的电阻为 : 要求: (Ｐ、Ｕ定值)时 (费电) (导线截面积) 所以提高 可减小线路和发电机绕组的损耗。 所以要求提高电网的功率因数对国民经济的发展有重要的意义。 2. 功率因数cos 低的原因 日常生活中多为感性负载---如电动机、日光灯，其等效电路及相量关系如下图。

 + - 感性等效电路 例 40W220V白炽灯 相量图 40W220V日光灯 供电局一般要求用户的 否则受处罚。

常用电路的功率因数 纯电阻电路 R-L-C串联电路 纯电感电路或 纯电容电路 电动机 空载 电动机 满载 日光灯 （R-L串联电路）

I 3.功率因数的提高 (1) 提高功率因数的原则： 必须保证原负载的工作状态不变。即： 加至负载上的电压和负载的有功功率不变。 (1) 提高功率因数的原则： 必须保证原负载的工作状态不变。即： 加至负载上的电压和负载的有功功率不变。 I (2) 提高功率因数的措施: 在感性负载两端并电容 + -

结论 并联电容C后： (1) 电路的总电流 ，电路总功率因数 I 电路总视在功率S (2) 原感性支路的工作状态不变: 不变 感性支路的功率因数 感性支路的电流 (3) 电路总的有功功率不变 因为电路中电阻没有变， 所以消耗的功率也不变。

4. 并联电容值的计算 + - 相量图: 又由相量图可得： 即:

思考题: 1.电感性负载采用串联电容的方法是否可提高功率因数,为什么? 2.原负载所需的无功功率是否有变化,为什么? 3.电源提供的无功功率是否有变化,为什么?

（2）如将 从0.95提高到1，试问还需并多 大的电容C。 （1）如将功率因数提高到 ,需要 并多大的电容C,求并C前后的线路的电流。 一感性负载,其功率P=10kW, ， 接在电压U=220V , ƒ=50Hz的电源上。 例1: 解： (1) 即

求并C前后的线路电流 并C前: 并C后: (2) 从0.95提高到1时所需增加的电容值 可见 : cos 1时再继续提高，则所需电容值很大（不经济），所以一般不必提高到1。

例2: (1) 该电源供出的电流是否超过其额定电流？ 已知电源UN=220V , ƒ=50Hz，SN=10kV•A向PN=6kW,UN=220V， 的感性负载供电， (2) 如并联电容将 提高到0.9，电源是否还有 富裕的容量？ 解： (1)电源提供的电流为： 电源的额定电流为：

例2: 该电源供出的电流超过其额定电流。 （2）如将 提高到0.9后，电源提供的电流为： 该电源还有富裕的容量。即还有能力再带负载；所以提高电网功率因数后，将提高电源的利用率。

4.1 非正弦周期交流信号 前面讨论的是正弦交流电路，其中电压和电流都是正弦量。但在实际的应用中我们还常常会遇到非正弦周期的电压或电流。 分析非正弦周期电流的电路，仍然要应用电路的基本定律，但和正弦交流电路的分析还是有不同之处；本章主要讨论一个非正弦周期量可以分解为恒定分量（如果有的话）和一系列频率不同的正弦量。

5.10 非正弦周期交流信号 - 1. 特点: 按周期规律变化，但不是正弦量。 2.非正弦周期交流信号的产生 1) 电路中有非线性元件； 2) 电源本身是非正弦； 3) 电路中有不同频率的电源共同作用。 如：半波整流电路的输出信号 O + - O

计算机内的脉冲信号 T t O 示波器内的水平扫描电压 O 周期性锯齿波 O

晶体管交流放大电路 t +Ucc + - u0 ui t u0 t 交直流共存电路

e e1 e1 e 3. 非正弦周期交流电路的分析方法 问题1 i R E0 + - E0 t 不同频率信号可叠加成周期性的非正弦量。 此时电路中的电流也是非正弦周期量。 即：

问题2：既然不同频率的正弦量和直流分量可以叠加成一个周期性的非正弦量，那么反过来一个非正弦的周期量是否也可分解为正弦分量和直流分量呢？数学上已有了肯定的答案，一切满足狄里赫利条件的周期函数都可以分解为傅里叶级数。这样就可将非正弦周期量分解为若干个正弦交流电路来求解。 例:电路如图，u是一周期性的非正弦量， 求 i 谐波分析法 i R u + - 具体方法在5.4中介绍

+ 非正弦周期量的分解 ….. 数学工具：傅里叶级数 1. 周期函数 的傅里叶级数 在一周期内有有限个极大、极小值， 条件： 1. 周期函数 的傅里叶级数 条件： 在一周期内有有限个极大、极小值， 有限个第一间断点。 + ….. 二次谐波 （2倍频） 直流分量 基波（或 一次谐波） 高次谐波

周期函数 傅里叶级数另一种形式

求出A0、Bkm、Ckm便可得到原函数 的 展开式。(参见教材 P175例5.1.1)

矩形波、三角波、锯齿波、全波整流电压的傅里叶级数展开式 u O 矩形波电压 三角波电压 O

锯齿波电压 O 全波整流电压 O

t u 例 周期性方波的分解 t u O t u O 三波谐波 直流分量 t u O t u O 五次谐波 基波 七次谐波

u 直流分量+基波 直流分量 t 基波 u t 直流分量+基波+ 三次谐波+五次谐波 五次谐波 三次谐波

从上例中可以看出，各次谐波的幅值是不等的，频率愈高，则幅值愈小。说明傅里叶级数具有收敛性；其中恒定分量（如果有的话）、基波及接近基波的高次谐波是非正弦周期量的主要组成部分。上图中，我们只取到五次谐波，若谐波的项数取得愈多，则合成的曲线愈接近原来的波形。 2. 用频谱图表示非正弦周期量 用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低把它们依次排列起来。称为频谱图。

例 周期性方波的频谱图 设：Um=10V 5 u(V) O

非正弦周期量的有效值 若 则有效值: 教材178页 (5.2.2)式 利用三角函数的正交性得

非正弦周期量的有效值 式中： 同理，非正弦周期电压的有效值为： 结论：周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。

图示是一半波整流电压的波形，求其有效值和平均值。 例1: 求图示波形的有效值和平均值 解： 有效值为 t i(A) 10 O 平均值为: 练习题： 图示是一半波整流电压的波形，求其有效值和平均值。 O

非正弦周期电流的线性电路的计算 分析计算要点 1. 利用傅里叶级数，将非正弦周期函数分解为恒定分量和各次正弦谐波分量相加的结果； 2. 利用正弦交流电路的计算方法，对各次谐波分量分别计算。（注意:对交流各次谐波的XL、XC不同，对直流C相当于开路、L相当于短路。） 3. 将以上计算结果，用瞬时值叠加。注意：不同频率的正弦量相加，不能用相量计算，也不能将各分量的有效值直接相加。

- 例1: 方波信号激励的RLC串联电路中 已知： + 求电流 。 t 解： 第一步：将激励信号展开为傅里叶级数 直流分量： R C L 求电流 。 T/2 T t O 解： 第一步：将激励信号展开为傅里叶级数 直流分量：

谐波分量： (k为偶数) (k为奇数) （k为奇数）

T/2 T t O 等效电源 + -

代入已知数据： 得 直流分量 基波最大值 三次谐波最大值 五次谐波最大值 角频率

对直流，电容相当于断路；电感相当于短路。所以输出的直流分量为： 电压源各频率的谐波分量为 第二步 对各种频率的谐波分量单独计算 (1) 直流分量 U0 作用： U0 I0 + - U0作用的等效电路 对直流，电容相当于断路；电感相当于短路。所以输出的直流分量为：

(2) 基波作用 + R C - L

(3) 三次谐波作用 + R C - L

(4) 五次谐波作用 + R C - L

第三步 各谐波分量计算结果瞬时值叠加

例2: 有一RC并联电路， R C + - 已知： 求：各支路中的电流和两端电压。 解：(1) 直流分量 IS0 作用 R + -

R C + - (2) 基波 作用 所以交流分量 i1 基本不通过电阻R这条支路。

i(mA) i(mA) I0(mA) t t - 在电容上的交流压降可以忽略不计 + + C R + - 因此在这里电容对直流相当于开路，对交流起到了旁路的作用。这一作用在交流放大电路中我们将得到应用。

计算非正弦周期交流电路 应注意的问题 1. 最后结果只能是瞬时值叠加。 不同频率正弦量不能用相量相加。 2. 不同频率对应的 XC、XL不同。

非正弦周期电流电路平均功率 教材p184 (5.4.2)式 利用三角函数的正交性，整理得：

结论： 平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率 例1: 试计算例5.4.1电路中的平均功率 解:根据5.4.1电路已计算出电流和电压为:

平均功率为: