试用Bode图设计方法对系统进行滞后-超前串联校正设计, 使校正后系统满足: 2018年12月8日星期六 例6. 已知一位置随动系统如 图所示. 试用Bode图设计方法对系统进行滞后-超前串联校正设计, 使校正后系统满足: (1)在斜坡信号r(t) = t作用下, 系统的速度误差系数 Kv = 600s–1. (2) 剪切频率: c  50 s–1; (3)相稳定裕度:   40o; (4) 时域指标:   35%. K0  1. (2)求滞后校正器的传递函数 取c = 50 s–1,  = 10. 解(1)求K0

(4)校验系统校正后频域性能是否满 足要求 (3)求超前校正器的传递函数 运行程序后可求得: 模稳定裕量: Gm = 9.8673dB 2018年12月8日星期六 >>l6206a Transfer function: 0.2 s + 1 --------- 2 s + 1 (4)校验系统校正后频域性能是否满 足要求 (3)求超前校正器的传递函数 运行程序后可求得: 模稳定裕量: Gm = 9.8673dB –穿越频率: cg = 107.01s-1 相角稳定裕量: Pm = 39.697deg 剪切频率: cp= 49.843s-1 c= 49.843s-1 50s-1 ,  = 39.697o 40o. >>l6206b Transfer function: 0.8416 s + 1 --------------- 0.0004753 s + 1

(5) 计算系统校正后闭环阶跃响应曲 线及性能指标 >>l6206d sigma = 34.6130 (  35 , 合格) 2018年12月8日星期六 (5) 计算系统校正后闭环阶跃响应曲 线及性能指标 >>l6206d sigma = 34.6130 (  35 , 合格) tp = 0.0573 ts = 0.1707

设 z =(s1 + a), p =(s1 + b), 则 c = z – p 由此可确定a, b 2018年12月8日星期六 五. 根轨迹超前校正设计 1. 几何方法 设超前校正器的传递函数为: 校正后的开环传递函数为: 且校正后闭环系统的主导极点为s1, 即s1满足根轨迹方程: 由此可知所需补偿角: 设 z =(s1 + a), p =(s1 + b), 则 c = z – p 由此可确定a, b 在已知s1的情况下, 选择a, b就转化为选择z 和p 的问题. Kc 可由条件|G0(s1) Gc(s1)| = 1确定.

(1) 根据要求的动态品质指标, 确定主导极点s1的位置. s1的位置确定后, 设该点在复平面的相角为: 2018年12月8日星期六 设计步骤: (1) 根据要求的动态品质指标, 确定主导极点s1的位置. s1的位置确定后, 设该点在复平面的相角为:  =(s1) 例7 已知单位负反馈系统受控对象的传递函数为: 试用根轨迹方法对系统进行超前串联校正设计,使之满足: (1)阶跃响应的超调量  %20%; (2)阶跃响应的调节时间 ts  1.2s. (2)计算补偿角: c = 180– G0(s1) (3)设 c =  – 2p = 2z –  (可使附加增益最小), 解得 解: (1)确定主导极点 对于一个典型的闭环二阶系统 (4)计算校正器参数a, b及增益Kc 由根轨迹幅值条件|G0(s1) Gc(s1)| = 1 确定Kc. 可解出, n. 令(s)的分母多项式为零, 即可解出满足上述动态特性的主导极点.

(2)求补偿器的传递函数 希望主极点的位置为: s1,2 = –3.0000  5.1962i >>l6301 zeta = 2018年12月8日星期六 >>l6301 zeta = 0.5000 wn = 6 ans = -3.0000 + 5.1962i -3.0000 - 5.1962i 希望主极点的位置为: s1,2 = –3.0000  5.1962i (2)求补偿器的传递函数

校正后系统的传递函数为 (3)校验校正器计算是否符合要求 ts = 0.8650s < 1s, 2018年12月8日星期六 >>l6301a kc = 49.1667 Transfer function: s + 3.875 --------- s + 9.292 校正后系统的传递函数为 (3)校验校正器计算是否符合要求 >>l6301b sigma = 25.6531 tp = 0.5521 ts = 0.8650 ts = 0.8650s < 1s,  % = 25.6531% > 20%, 没达到要求.

(4)重新选择, n, 并计算校正器 取  = 0.6, 可求得n=5 rad/s s1,2 = –3.0000  4.0000i 2018年12月8日星期六 (4)重新选择, n, 并计算校正器 取  = 0.6, 可求得n=5 rad/s s1,2 = –3.0000  4.0000i 求得校正补偿器传递函数为 校正后传递函数为 计算后有  = 17.5791% < 20% tp = 0.6995s ts = 1.0676s  1

由等式两边实部虚部相等, 可得方程组, 由此可解得tz 与tp . 例8 已知单位负反馈系统受控对象的传递函数为: 2018年12月8日星期六 2. 解析方法 设超前校正器的传递函数为: 设 , 校正后的开环传递函数为: 设 , 代入上式 由等式两边实部虚部相等, 可得方程组, 由此可解得tz 与tp . 例8 已知单位负反馈系统受控对象的传递函数为: 试用根轨迹方法对系统进行超前串联校正设计,使之满足: (1)阶跃响应的超调量 %30%; (2)阶跃响应的调节时间 ts  0.8s. (3)单位斜坡响应稳态误差essv 10% 解: (1)求校正器增益Kc 根据 有K  10. 有Kc  5, 取Kc = 5.

(2)校验原系统 超调接近50%, 不满足要求, 需要进行校正. (3)确定希望的主极点位置 由题意,  %  30% 2018年12月8日星期六 (2)校验原系统 >>l6302a sigma = 48.6374 tp = 0.4608 ts = 1.4336 超调接近50%, 不满足要求, 需要进行校正. (3)确定希望的主极点位置 由题意,  %  30% >>sigma=0.3; >>zeta=((log(1/sigma))^2/... ((pi)^2+(log(1/sigma))^2))^(1/2) zeta = 0.3579 取 = 0.4, 由 ts = 3/(n) =0.8可求得 n = 9.4, 取n = 10 rad/s.

输入下列MATLAB语句求主极点 即校正器的传递函数为 主导极点为: s1,2 = –4.0009.1652i (4)求校正控制器传递函数 2018年12月8日星期六 输入下列MATLAB语句求主极点 >>zeta=0.4;wn=10; >>p=[1 2*zeta*wn wn^2]; >>roots(p) ans = -4.0000 + 9.1652i -4.0000 - 9.1652i 主导极点为: s1,2 = –4.0009.1652i (4)求校正控制器传递函数 >>l6302b Transfer function: 0.09813 s + 1 ------------- 0.032 s + 1 即校正器的传递函数为 (5) 校验校正器计算的正确性

系统校正后  % = 26.3595%<30%; ts = 0.5383< 0.8s. 品质指标已满足. 2018年12月8日星期六 >>l6302c sigma = 26.3595 tp = 0.3589 ts = 0.5383 系统校正后  % = 26.3595%<30%; ts = 0.5383< 0.8s. 品质指标已满足.

根据根轨迹方程1+G(s)H(s) = 0的幅值条件, 则根轨迹增益Kr为: 2018年12月8日星期六 六. 根轨迹滞后校正设计 基本原理 设未校正前开环传递函数为: 根据根轨迹方程1+G(s)H(s) = 0的幅值条件, 则根轨迹增益Kr为: 在开环传递函数中将s的零次方项换算为1, 由开环稳态增益的定义, 有 设滞后校正器的传递函数为: 则校正后开环传递函数为: 当零点–1/T与极点–1/T相对于s1是一对偶极子时, 根据幅值条件有

从而可得: Kc = K. 故校正后系统的静态开环增益增大为原系统开环增益的倍. 2018年12月8日星期六 校正后系统静态开环增益: 从而可得: Kc = K. 故校正后系统的静态开环增益增大为原系统开环增益的倍. 设计步骤 (1)绘制未校正系统的根轨迹, 根据 动态品质指标, 在根轨迹上确定 闭环系统主导极点s1的位置. (2)确定在s1点根轨迹增益Kr(s1), 进 而确定在s1点未校正系统的开环 静态增益K. (3)计算校正后系统希望的静态误差 系数K0. (4)为了满足静态品质指标, 计算静态 误差系数所需要增加的倍数 (5)选择滞后校正器的零点–1/T与极 点–1/T, 使之满足zi/pi = , 这就 要求–1/T与–1/T相对于s1是一对 偶极子. (6)校验校正后系统的性能指标是否 符合要求.

例9 已知单位负反馈系统受控对象的传递函数为: 2018年12月8日星期六 例9 已知单位负反馈系统受控对象的传递函数为: 试用根轨迹方法对系统进行滞后串联校正设计,使之满足: (1)阶跃响应的超调量 %15%; (2)阶跃响应的调节时间 ts  0.3s. (3)单位斜坡响应稳态误差essv  0.01. 解 (1)求静态误差系数K0. 对于I型系统有 故有Kv  100s–1, 取Kv=100s–1, 又由 得K0 = 1. (2)校验原系统是否满足要求 >>l6303a sigma = 43.9320 tp = 0.0642 ts = 0.1566  % = 43.9320% >15% 不满足要求.

根轨迹分离点在d= –12.5, 未校正系统没有零点, 有两个极点 p1= 0, p2 = –25. s1 2018年12月8日星期六 (3)确定校正器传递函数 >>sigma=0.15; >>zeta=((log(1/sigma))^2/... ((pi)^2+(log(1/sigma))^2))^(1/2) zeta = 0.5169 取 = 0.54, 求未校正系统的根轨迹图 >>s=tf([1 0],1); >>s1=2500/(s^2+25*s); >>rlocus(s1);sgrid 根轨迹分离点在d= –12.5, 未校正系统没有零点, 有两个极点 p1= 0, p2 = –25. s1

超调量 % = 15.5313%  15%, 调节时间ts =0.2258s<0.3s. 基本满足要求. 2018年12月8日星期六 计算校正器函数 >>l6303b Transfer function: 0.2143 s + 0.134 ---------------- s + 0.134 校正后传递函数为: (4)校验校正器计算的正确定 >>l6303c sigma = 15.5315 tp = 0.1581 ts = 0.2258 超调量 % = 15.5313%  15%, 调节时间ts =0.2258s<0.3s. 基本满足要求.

函数 rtloc( ), 调用格式: [Gc]=rtloc(key, sope,vars) 2018年12月8日星期六 函数 rtloc( ), 调用格式: [Gc]=rtloc(key, sope,vars) key =1, 用根轨迹几何方法求校正器; key = 2, 用根轨迹解析方法求校正器. sope: LTI 开环传递函数, vars=[s1, kc], s1为主极点, kc 为增益.

1)动态特性参数法(Ziegler-Nichols整 定公式)的PID校正器设计 设被控对象为带有延迟的一阶惯性环节系统: 2018年12月8日星期六 七. PID校正器设计方法 1. 简介 PID调节器的时域模型 PID调节器的传递函数 TD= 0, TI = 时, 为比例(P)调节器; TI = 时,为比例积分(PI)调节器; 2. PID校正器的设计方法 1)动态特性参数法(Ziegler-Nichols整 定公式)的PID校正器设计 设被控对象为带有延迟的一阶惯性环节系统: 已知模型的三个参数K, T,  时, 调节器的计算公式为 Ziegler-Nichols整定公式 Kp T1 TD P T/(K) PI 0.9T/ (K) 3.3 PID 1.2T/ (K) 2.2 0.5

用Ziegler-Nichols整定公式设计PID校正器的程序 例10 已知过程控制的被控广义对象为一个大延迟的惯性环节, 其传递函数为: 2018年12月8日星期六 用Ziegler-Nichols整定公式设计PID校正器的程序 例10 已知过程控制的被控广义对象为一个大延迟的惯性环节, 其传递函数为: 试用Ziegler-Nichols整定公式计算系统P, PI, PID校正器的参数, 并进行阶跃给定响应的仿真. 解 在含有延迟环节的闭环系统中 分母中时滞项用pade( )函数近似,则 利用zn01( )函数计算系统P, PI, PID校正器的程序如下.

---------------------- 360 s Kp3 = 0.3000 Ti3 = 360 Td3 = 90 2018年12月8日星期六 >>l6402a Gc1 = 0.2500 Kp1 = 0.2500 Transfer function: 134.9 s + 0.225 --------------- 599.4 s Kp2 = 0.2250 Ti2 = 599.4000 9720 s^2 + 108 s + 0.3 ---------------------- 360 s Kp3 = 0.3000 Ti3 = 360 Td3 = 90

当模型不是这种形式时可以将模型经过转换计算求其模型拟合对应的参数 K , T , . 2018年12月8日星期六 2)一般数学模型拟合成带延迟的惯 性环节 广义受控对象模型为 当模型不是这种形式时可以将模型经过转换计算求其模型拟合对应的参数 K , T , . 基于频率响应的Jacobian矩阵求解方法计算简单, 使用方便, 实用性强. 其基本想法是用带延迟的一阶惯性环节通过频率响应特性拟合给定模型. 设模型的频率特性为: 当Nyquist曲线在复平面上与负实轴相交时, 其第一个交点的模值倒数为系统的模值稳定裕量. 对应的频率为 – 穿越频率cg. 因此可得方程组

K是系统的开环增益,可由传递函数求出. 而 T 与 可由下列方程组确定 由牛顿法:(令Gm = Kc) 2018年12月8日星期六 Re{G(jcg)} = –1/Gm,, Im{G(jcg)} =0 即 K是系统的开环增益,可由传递函数求出. 而 T 与 可由下列方程组确定 由牛顿法:(令Gm = Kc)

调用格式: [K,T,tau]=kttau(G) 输入参数G为模型的传递函数 2018年12月8日星期六 函数: kttau( ) 调用格式: [K,T,tau]=kttau(G) 输入参数G为模型的传递函数 输出参数 K, T, tau 为拟合成K, T,  模型参数. G(s)的低频增益, 当不含零极点时有限 提供计算初值

3) Cohen-Coon整定公式的PID校正器设计 设被控对象为带有延迟的一阶惯性环节系统: 2018年12月8日星期六 3) Cohen-Coon整定公式的PID校正器设计 设被控对象为带有延迟的一阶惯性环节系统: 已知模型的三个参数K, T,  时, 调节器的计算公式为 调节器Cohen-Coon整定公式 Kp TI TD P PI PD PID

函数cc01( ) 调用格式: [Gc,Kp,Ti,Td]= cc01(PID,vars) PID=1: 表示P PID=2: 表示PI 2018年12月8日星期六 函数cc01( ) 调用格式: [Gc,Kp,Ti,Td]= cc01(PID,vars) PID=1: 表示P PID=2: 表示PI PID=3: 表示PD PID=4: 表示PID Vars=[K,T, tau]

例11 某温度过程控制系统受控广义对象的传递函数为: 2018年12月8日星期六 例11 某温度过程控制系统受控广义对象的传递函数为: 式中K=1°C/kg*min–1, T =30s,  = 60/4s. 试用Cohen-Coon整定公式计算系统串联P, PI, PD, PID 校正器的参数, 并进行阶跃响应的仿真. 解 利用函数kttau( )先求被控传递函数拟合成带延迟惯性环节的三个参数K, T, , 根据题意, 利用cc01()函数计算系统P, PI, PD, PID 校正器的参数, 程序如下

------------------------------ 112.6 s 2018年12月8日星期六 >>l6403 Gc1 = 69.9614 Transfer function: 3160 s + 49.9 ------------- 63.31 s 1045 s + 71.65 1.756e005 s^2 + 9420 s + 83.67 ------------------------------ 112.6 s

为系统的偏差. 控制过程希望偏差幅值的时间积分越小越好.系统偏差积分性能指标有常用的如下形式 (1)绝对偏差积分(IAE) 2018年12月8日星期六 4)误差积分指标最优的PID校正器 设计 考虑反馈系统 e(t) = L–1(E(s)) 为系统的偏差. 控制过程希望偏差幅值的时间积分越小越好.系统偏差积分性能指标有常用的如下形式 (1)绝对偏差积分(IAE) (2)平方偏差积分(ISE) (3)时间绝对偏差乘积积分(ITAE) 以计算这些积分值最小为准则, 可以计算PID校正器整定参数的最优值 Kp, TI , TD . 计算公式为: 其中：A，B 根据不同的要求进行选择。

恒值系统按最小积分整定的A, B值 控制率 控制作用 IAE ISE ITAE P A 0.902 1.414 0.904 B -0.985 2018年12月8日星期六 恒值系统按最小积分整定的A, B值 控制率 控制作用 IAE ISE ITAE P A 0.902 1.414 0.904 B -0.985 -0.917 -1.081 PI 0.984 1.305 0.859 -0.986 -0.959 -0.977 I 0.608 0.492 0.674 -0.707 -0.739 -0.680 PID 1.435 1.595 1.357 -0.921 0.945 -0.947 0.878 1.101 0.842 -0.794 -0.771 -0.738 D 0.482 0.560 0.381 1.137 1.006 0.995

函数inmin( ), 调用格式[Gc,Kp,Ti,Td]=inmin01(PID,vars) 2018年12月8日星期六 函数inmin( ), 调用格式[Gc,Kp,Ti,Td]=inmin01(PID,vars) PID=1,表示比例, PID=2表示比例加积分, PID=3表示比例加积分加微分. Vars=[K, T, , i], i=1表示IAE, i=2表示ISE, i=3表示ITAE.

试用IAE, ISE, ITAE积分值最小准则计算系统串联P, PI, PID校正器的参数, 并对其进行阶跃给定响应的仿真. 2018年12月8日星期六 例12 已知被控广义对象的传递函数为: 试用IAE, ISE, ITAE积分值最小准则计算系统串联P, PI, PID校正器的参数, 并对其进行阶跃给定响应的仿真. 解(1)计算比例(P)校正器并作阶跃响应. 根据题意编制程序L6404a.m >>l6404a Gc1 = 2.8661 Kp = 4.3517 3.0093

(2)计算PI校正器并作阶跃响应. 根据题意编制程序L6404b.m 2018年12月8日星期六 (2)计算PI校正器并作阶跃响应. 根据题意编制程序L6404b.m

>>l6404b Transfer function: 23.45 s + 2.719 Transfer function: 2018年12月8日星期六 >>l6404b Transfer function: 29.52 s + 3.128 --------------- 9.438 s Kp = 3.1281 Ti = 9.4379 47.06 s + 4.096 11.49 s 4.0963 11.4889 Transfer function: 23.45 s + 2.719 --------------- 8.622 s Kp = 2.7192 Ti = 8.6224

(3)计算PID校正器并作阶跃响应. 根据题意编制程序L6404c.m 2018年12月8日星期六 (3)计算PID校正器并作阶跃响应. 根据题意编制程序L6404c.m >>l6404c Transfer function: 64.07 s^2 + 28.35 s + 4.425 --------------------------- 6.408 s Kp = 4.4246 Ti = 6.4078 Td = 2.2597 65.83 s^2 + 23.58 s + 4.662 5.057 s 4.6619 5.0574 2.7921

--------------------------- 6.716 s Kp = 4.2356 Ti = 6.7164 Td = 2018年12月8日星期六 Transfer function: 54.32 s^2 + 28.45 s + 4.236 --------------------------- 6.716 s Kp = 4.2356 Ti = 6.7164 Td = 1.9095

Kp TI TD P 0.5Km PI 0.455Km 0.85*2/m PID 0.6Km 0.50*2/m 2018年12月8日星期六 5）稳定边界法的PID校正器设计 给定对象Gp(s)以及PID控制器 考虑根轨迹方程: 1+Gc(s)Gp(s) = 0当T1 = 与TD = 0时, 根轨迹方程为 1+Kp Gp(s) = 0 增加Kp 并选择系统的极点使其位于虚轴上, 这时系统发生振荡并处于临界稳定状态, 确定闭环系统根轨迹与虚轴的交点, 并求出交点的振荡角频率m 及其对应的系统增义Km , 则其PID调节器参数整定计算公式为 Kp TI TD P 0.5Km PI 0.455Km 0.85*2/m PID 0.6Km 0.50*2/m 0.125*2/m

用稳定边界法整定公式计算系统P、PI、PID校正器参数的函数zn02( ) 2018年12月8日星期六 用稳定边界法整定公式计算系统P、PI、PID校正器参数的函数zn02( ) 1; 计算P调节器参数 PID= 2; 计算PI调节器参数 3;计算PID调节器参数 G: 被校正对象 取出实部最小的极点(离虚轴最近)在极点向量 pole中所在的位置。

例13 已知一串级过程控制系统的主、副被控对象与副调节器的传递函数分别为： 2018年12月8日星期六 例13 已知一串级过程控制系统的主、副被控对象与副调节器的传递函数分别为： 试用稳定边界法计算系统主调节器Gc1(s) 作P, PI , PID校正时的参数，并进行阶跃给定响应的仿真。 >> l6405

Select a point in the graphics window selected_point = 2018年12月8日星期六 selected_point = 0.0018 + 0.1786i K>> Select a point in the graphics window selected_point = 0.0018 + 0.1475i K>> return Gc = 0.6618 return

Select a point in the graphics window selected_point = 2018年12月8日星期六 Transfer function: 14.64 s + 0.4178 ---------------- 35.03 s Select a point in the graphics window selected_point = 0.0018 + 0.1630i K>> return Transfer function: 61.84 s^2 + 12.82 s + 0.6645 ---------------------------- 19.29 s >>