第 4 章 分散量數

第一節　全　距 全距的定義

第一節　全　距 分組資料的全距是指： 因資料一經分組之後，各組內的原始數值就不再呈現，因 此不論各組的原來數值為何，一律以其組中點 來代表。

第一節 全 距 全距的性質 (1)全距的意義簡單明瞭，計算容易。 第一節　全　距 全距的性質 (1)全距的意義簡單明瞭，計算容易。 (2)全距的求法只應用一群數值中的最大和最小兩個數值而 已，不會因其他數值的變動而受影響，所以全距是不敏感 的。 (3)如果一群數值中，有嚴重的偏態分布，或出現極端值時， 全距會因而變大，因此喪失代表分散程度的價值。

第二節　四分位差 四分位差的定義 四分位差(quartile deviation, QD)又簡稱四分差，定義為：

第二節　四分位差 四分位差的定義 四分位差是從一群已排序的數值之中，先截斷其頭及尾端 25%的個數，再就中央所剩餘50%的數值，取其一半的個數。 圖4-2 求四分位差

第二節 四分位差 四分位差的性質 (1)一群數值資料已按大小排序，其頭尾25%的部分均被截除， 所以四分位差是不會受極端值之影響。 第二節　四分位差 四分位差的性質 (1)一群數值資料已按大小排序，其頭尾25%的部分均被截除， 所以四分位差是不會受極端值之影響。 (2)但是，求四分位差只應用到Q1和Q3兩個數值，卻忽略了其 餘數值的影響，故四分位差同全距一樣，對大部分資料變動 的敏感度不足。

第三節　平均差 平均差的定義 平均差(mean absolute deviation)的定義為：

第三節　平均差 平均差的性質 (1)計算平均差應用到所有的數值，亦即資料中每一個數值 的大小，對平均差而言，都有相同比重的影響力，這一特 點是四分位差所未具有的。 (2)平均差因為對所有數值大小的敏感度高，所以當有極端 數值出現時，它會受其影響。 (3)由於求平均差時需應用到絕對值，在代數運算上十分不 方便，所以在實際應用方面，平均差較少被採用，而改採 標準差。

第四節　變異數與標準差 變異數(variance)和標準差(standard deviation)的定義：

第四節　變異數與標準差 母體變異數的公式為： σ讀作[sigma]，專用來代表母體資料的標準差。

第四節 變異數與標準差 樣本的變異數 樣本是由母體（母群）中抽取出來的部分集合，所以樣本的 次數是小於母體。 第四節　變異數與標準差 樣本的變異數 樣本是由母體（母群）中抽取出來的部分集合，所以樣本的 次數是小於母體。 統計學家發現，當以公式 求出來的樣本變 異數，被用來估計母體變異數值時，經常會發生低估的現象。 由於這個原因，統計學家改用公式 來求樣本變異數 值。

第四節 變異數與標準差 樣本變異數的公式為： 樣本變異數和母體變異數的異同點： (1)母體變異數的符號是 ，樣本變異數符號是 。 第四節　變異數與標準差 樣本變異數的公式為： 樣本變異數和母體變異數的異同點： (1)母體變異數的符號是 ，樣本變異數符號是 。 (2) 分母部分是N， 的分母是n-1

第四節 變異數與標準差 標準差的意義 一般而言，帶有不同單位的數值，是不可以相互加減、不可 以比較大小關係。 第四節　變異數與標準差 標準差的意義 一般而言，帶有不同單位的數值，是不可以相互加減、不可 以比較大小關係。 為了克服不同單位產生的困擾，統計學家特把變異數開根號 並稱其為標準差。經這樣的處理之後，標準差的單位就和原 資料的單位相同，有利於彼此間的加減和比較。

第四節 變異數與標準差 標準差的公式 標準差是變異數開根號之後的數值，只取正值。 第四節　變異數與標準差 標準差的公式 標準差是變異數開根號之後的數值，只取正值。 標準差和變異數單位不同但功能相似，同樣可用來表示資料數值 間的分散程度。

第四節 變異數與標準差 變異數與標準差的性質主要有四點： 第四節　變異數與標準差 變異數與標準差的性質主要有四點： (1)變異數（和標準差）是應用到資料的每一數值計算而得， 所以任一數值的變動，變異數（和標準差）就會跟著變動， 所以其對資料的敏感度高。 (2)變異數會受極端值的影響。 (3)當原始資料的每一數值加一常數C，則新數值的變異數， 和原始資料的變異數仍是相同的。

第五節　變異係數與標準分數 變異係數的意義 在前幾單元中，我們介紹三種分散量數：全距、四分位差、標準差 等，均帶有與原資料相同的單位，稱為絕對分散量數。 我們發現，兩個絕對分散量數，如果單位不同，或單位雖相同但平 均數相差很大時，是不適合相互作比較的。 為改進因單位不同引起的困擾，乃發展出「相對分散量數」。

第五節　變異係數與標準分數 變異係數 變異係數(coefficient of variation, CV)是一種常用的相對分散量數， 其定義為： (1)變異係數為無名數，所以所以適合對兩組不同單位資料 的 分散程度進行比較。 (2)適合對兩組單位相同但平均數相差很大的資料進行比較。

第五節　變異係數與標準分數 標準分數的意義 標準分數就是要把原來是不同評分尺度的分數，轉換成具有 同一評分尺度的分數，以利彼此間的比較和運算之用。 標準分數以Z表示，其定義為：

第五節 變異係數與標準分數 標準分數的性質 (1)標準分數等於一個數值與其平均數值的差距，再除以標 準差，意即標準分數是以標準差的倍數表示。 第五節　變異係數與標準分數 標準分數的性質 (1)標準分數等於一個數值與其平均數值的差距，再除以標 準差，意即標準分數是以標準差的倍數表示。 (2)任何數值經過轉換成標準分數的過程，稱為標準化。 (3)任一種數值經標準化之後，就變成 無名數，即沒有單位 名稱。 (4)任何一群數值經標準化之後，這群新的標準分數的平均 數等於0，標準差等於1， ， 。 所以任何數值資料經標準化之後，就可以做相互比較及進 行代數運算了。

第五節 變異係數與標準分數 界外值 界外值(outlier)是指一組資料裡出現不尋常的極端大或小的數 值。 第五節　變異係數與標準分數 界外值 界外值(outlier)是指一組資料裡出現不尋常的極端大或小的數 值。 一般界外值出現時，會使平均數或標準差嚴重失真。如果界 外值的產生是由人為因素造成，或是資料鍵入時的錯誤，都 必須把它們剔除掉。在SPSS軟體中，界外值被界定為遺漏值 (missing value)。 如果找不出界外值產生的原因，但又擔心界外值會嚴重的使 平均值（或標準差）失真，那麼可考慮把原始資料截尾（例 如：截去前後兩端各5%），然後再求剩餘資料的平均值（或 標準差）。這種經截尾之後再求得的平均值，稱為截尾平均 值(trimmed mean)。

第六節　盒鬚圖 盒鬚圖 盒鬚圖(box and whisker plot)為將某些集中量數與分散量數，以 長盒形圖表現出來的一種圖示法。 盒鬚圖的構成 盒鬚圖是由一組資料的最大值 、最小值 第1個四分位 數 ，第2個四分位數 ，第3個四分位數 等五種量數所組成。如圖4-3所示： 圖4-3 盒鬚圖的構成

第六節 盒鬚圖 盒鬚圖的組成要素： 1.長盒子(box) 第六節　盒鬚圖 盒鬚圖的組成要素： 1.長盒子(box) 注意盒子的邊長為四分位距（inter-quartile range, IQR，即 ）。 2.鬚(whisker) 左鬚： 。 右鬚： 。 3.內籬(inner fence) 以盒子左邊或右邊做起點，向左或右延伸1.5個IQR的位置。 4.外籬(outer fence) 以盒子左邊或右邊做起點，向左或右延伸3個IQR的位置。

第六節 盒鬚圖 解釋盒鬚圖 1.判斷資料的分散程度 盒子左右兩邊的距離為四分位距IQR，其間表示包含所有資 料的50%。 第六節　盒鬚圖 解釋盒鬚圖 1.判斷資料的分散程度 盒子左右兩邊的距離為四分位距IQR，其間表示包含所有資 料的50%。 一般而言，若盒子較窄，表示高狹峰分布；若盒子較寬， 表示低闊峰分布，如圖4-4所示。 圖4-4 分散程度不同的盒鬚圖

第六節　盒鬚圖 2.判斷資料分布的偏斜程度 (1)當中位數 位在盒子正中央位置，且左鬚和右鬚等長之 時，則表示該組資料是呈對稱分布的現象，參見圖4-5(a)。 (2)當 較靠近盒子左邊，或右鬚比左鬚長時，則表示該 組資料有右偏現象，參見圖4-5(b)。 (3)當 較靠近盒子右邊，或左鬚比右鬚長時，則表示該組 資料有左偏現象，參見圖4-5(c)。

第六節　盒鬚圖 圖4-5 判斷資料的偏斜程度

第六節　盒鬚圖 3.判斷有無界外值 (1)當某一資料(X)小於下外籬值或大於上外籬值時，判斷該 資料點(X)為嚴重界外值(extreme outlier)。 (2)當某一資料(X)，落在下內籬和下外籬值之間，或是上內 籬和上外籬值之間 ，則判定該資料(X)為輕微界外值(mild outlier)。 (3)界外值會使平均數或標準差失真，而喪失集中量數的原 意，所以一旦發現「嚴重界外值」，必須回頭探究原因， 採取必要的補救行動。

第七節 應用SPSS求描述性統計量 應用SPSS求平均和標準差 例11 解：方法一：應用「描述性統計量」分析法解題。 測量10名學生的身高和體重，資料如表4-8。試求其平均數、標準 差和變異數。 解：方法一：應用「描述性統計量」分析法解題。 1.SPSS操作步驟 表4-8

第七節 應用SPSS求描述性統計量 STEP1：界定變數 (1)開啟SPSS，立即進入「變數檢視」工作表（圖4-7）。 (2)在「變數檢視」工作表內，定義「性別」、「身高」和「體 重」3個變數。 (3)第一橫列的變數屬性：「名稱」格，輸入「sex」；「標記」 格，輸入「性別」；「數值」格，輸入「1=男生」，「2=女生」 （圖4-7）；其餘格則不輸入任何值，即自動採「內定值」 （圖4-7）。 (4)第二橫列的變數屬性：「名稱」格輸入「height」；「標記」 格輸入「身高」；其餘格採「內定值」（圖4-7）。

第七節　應用SPSS求描述性統計量 圖4-7 界定變數屬性

第七節 應用SPSS求描述性統計量 STEP2：輸入資料 (1)在「資料檢視」工作表（圖4-8），把例11的表4-8資料，依序 輸入「資料檢視」的儲存格。 (2)在第一縱欄，當輸入「1」至儲存格時，會出現「男生」；輸 入「2」則會出現「女生」。（註：如只想顯現1或2，可在功能 表列「檢視」功能表內修改。）

第七節　應用SPSS求描述性統計量 圖4-8 輸入資料

第七節 應用SPSS求描述性統計量 STEP3：選擇分析法：描述性統計量 (1)在「資料檢視」工作表的功能列，依圖4-9所示，點選「分析」 →「敘述統計」→「描述性統計量」。 (2)開啟主對話盒「描述性統計量」（圖4-10a）。

第七節　應用SPSS求描述性統計量 圖4-9 選擇分析法：描述性統計量

第七節 應用SPSS求描述性統計量 STEP4：主對話盒 (1)在「描述性統計量」主對話盒（圖4-10a），把左側清單框內 的「身高」和「體重」兩變數，移入右側框內（圖4-10a）。 (2)按「選項」鈕（圖4-10b），開啟次對話盒：「描述性統計 量：選項」（圖4-11）。

第七節　應用SPSS求描述性統計量 圖4-10a 主對話盒：描述性統計量 圖4-10b 主對話盒：描述性統計量

第七節 應用SPSS求描述性統計量 STEP5 (1)在次對話盒「描述性統計量：選項」內（圖4-11），勾選 「平均數」檢核方框，及「標準差」方框，「變異數」方框。 (2)點選「繼續」鈕，回到主對話盒（圖4-10b）。 圖4-11 次對話盒：選項

第七節 應用SPSS求描述性統計量 STEP6 (1)在「描述性統計量」主對話盒（圖4-10b），核對完成所 有點選之後，點選「確定」命令鈕（圖4-10b）。 (2)SPSS立即執行計算，輸出報表。 2.解釋報表 經由SPSS的輸出，獲得圖4-12，得知學生身高平均為147.60 公分，標準差為5.481公分，變異數為30.044平方公分（註： 5.48122=30.044）；學生體重平均值為43.90公斤，標準差為 2.644公斤，變異數為6.989平方公斤。 圖4-12 敘述統計

第七節 應用SPSS求描述性統計量 解：方法二：應用「次數分配表法」解題。 1.SPSS操作步驟 STEP1、2：同上一解 (1)在「資料檢視」工作表的功能表列，如圖4-13所示，點選「分 析」→「敘述統計」→「次數分配表」。 (2)開啟主對話盒（圖4-14）。

第七節　應用SPSS求描述性統計量 圖4-13 選擇分析法：次數分配表

第七節 應用SPSS求描述性統計量 STEP4 (1)在主對話盒（圖4-14），把左側清單框內變數sex、height和 weight，移入右側變數方框內（圖4-14）。 (2)按「統計量」鈕（圖4-14），打開次對話盒：「次數分配 表：統計量」（圖4-15）。 圖4-14 主對話盒：次數分配表

第七節 應用SPSS求描述性統計量 STEP5 (1)在「次數分配表：統計量」次對話盒（圖4-15），勾選下列 核示方框：「四分位數」、「平均數」、「中位數」、「眾 數」、「總和」、「標準差」、「變異數」、「最大值」、 「最小值」等。 (2)勾選「百分位數」框，並輸入「60」和「30」（用以求位於 60%和30%的數值）。 (3)按「繼續」鈕，回到主對話盒（圖4-14）。

第七節　應用SPSS求描述性統計量 圖4-15 次對話盒：統計量

第七節 應用SPSS求描述性統計量 STEP6： (1)在主對話盒（圖4-14），點選「確定」鈕（圖4-14）。 2.解釋報表 (1)經由SPSS的輸出，獲得圖4-16，得到體重的平均數為43.90、 中位數44.00、標準差2.644、 =41.75、 =42.00、 =44.60。 同理身高平均數為147.60、中位數148.50、標準差5.481、 =142.50、 =143.60， =150.20。 (2)由圖4-17、圖4-18、圖4-19可得知各變數分類百分比和累積百 分比。

第七節　應用SPSS求描述性統計量 圖4-16 描述性統計量

第七節　應用SPSS求描述性統計量 圖4-17 性別的次數分配表 圖4-18 體重的次數分配表

第七節　應用SPSS求描述性統計量 圖4-19 身高的次數分配表

第七節 應用SPSS求描述性統計量 例12 依下表資料，試求(1)描述性統計量：平均數、中位數、變異數。 (2)盒鬚圖和直方圖。 表4-8 分組資料

第七節 應用SPSS求描述性統計量 例12 依下表資料，試求(1)描述性統計量：平均數、中位數、變異數。 (2)盒鬚圖和直方圖。 STEP1 (1)在「變數檢視」工作表（圖4-20），界定變數屬性（圖4- 20）。 (2)第一行列的變數屬性：在「名稱」格，輸入「group」；在 「標記」格，輸入「組別」；在「數值」格，先叫出對話盒 （圖4-21），然後輸入「1="40-50"」、「2="50-60"」、 「3="60-70"」、「4="70-80"」、「5="80-90"」、「6="90- 100"」。

第七節 應用SPSS求描述性統計量 (3)第二行列的變數屬性：在「名稱」格和「標記」格，分別輸 入「F」和「次數」（圖4-20）。 (4)第三行列的變數屬性：在「名稱」格，輸入「X」；在「標 記」格，輸入「組中點」（圖4-20）。 (5)其餘格不予設定，均採系統「內定值」。 (6)按左下角工作表切換標籤（圖4-20），轉換到「資料檢視」 工作表（圖4-22）。

第七節　應用SPSS求描述性統計量 圖4-20 界定變數屬性

第七節　應用SPSS求描述性統計量 圖4-21 設定數值標記

第七節 應用SPSS求描述性統計量 STEP2：輸入數值資料 將表4-8的數值資料，輸入「資料檢視」工作表的儲存格 （圖4-22）。 圖4-22 數入數值標記

第七節 應用SPSS求描述性統計量 STEP3：設定「加權觀察值」 (1)在「資料檢視」工作表內，依圖4-23所示，點選「資料」→ 「觀察值加權」，打開對話盒（圖4-24）。然後把「次數[F]」 移入「次數變數」框內（圖4-24），設定為「加權觀察值」。 (2)按「確定」鈕（圖4-24），回到「資料檢視」工作表（圖 4-25）。

第七節　應用SPSS求描述性統計量 圖4-23 選擇觀察值加權

第七節 應用SPSS求描述性統計量 STEP4：選擇分析法：預檢資料 (1)在「資料檢視」工作表內（圖4-25），選擇「分析」→ 「敘述統計」→「預檢資料」。 (2)打開主對話盒：「預檢資料」（圖4-26）。 圖4-24 設定加權觀察值

第七節　應用SPSS求描述性統計量 圖4-25 選擇分析法：預檢資料

第七節 應用SPSS求描述性統計量 STEP5 (1)在主對話盒「預檢資料」（圖4-26），把左側清單方框 內變數「組中點[X]」，移入右側「依變數清單」框內 （圖4-26）。 (2)點選「顯示」區的「兩者」圖鈕（圖4-26）。 (3)按「統計量」鈕，打開次對話盒：「預檢資料：統計 量」（圖4-27）。 圖4-26 主對話盒：預檢資料

第七節 應用SPSS求描述性統計量 STEP6 (1)在「預檢資料：統計量」次對話盒（圖4-27），勾選 「描述性統計量」方框。 (2)按「繼續」鈕，回到主對話盒（圖4-26）。 圖4-27 次對話盒：統計量

第七節 應用SPSS求描述性統計量 STEP7 (1)按主對話盒的「統計圖」鈕（圖4-26），打開次對話 盒：「預檢資料：圖形」（圖4-28）；勾選「預檢資料： 圖形」次對話盒的「直方圖」方框（圖4-28）。 (2)按「繼續」鈕，回到主對話盒（圖4-26）。 圖4-28 次對話盒：圖形

第七節 應用SPSS求描述性統計量 STEP8 (1)在主對話盒中，檢核已完成操作之後，按「確定」鈕 （圖4-26）。 2.解釋報表 (1)經由SPSS的輸出，獲得圖4-29 。 (2)圖4-30為分組資料的直方圖。 (3)圖4-31為分組資料的盒鬚圖。從該圖得知分布近乎常態 分配，同時沒有界外值產生。

第七節　應用SPSS求描述性統計量 圖4-29 描述性統計量

第七節　應用SPSS求描述性統計量 圖4-30 分組資料的直方圖

第七節　應用SPSS求描述性統計量 圖4-30 分組資料的盒鬚圖