正交变换与正交矩阵 戴立辉 林大华 林孔容 (闽江学院数学系，福建 福州 350108 )

摘 要 介绍正交变换的概念，研究线性变换为正交变换的等价条件；从矩阵理论的角度，探讨正交矩阵的常用性质. 关键词 正交变换；正交矩阵；等价条件；性质 一、正交变换 定义1.1 设A是欧氏空间V的一个线性变换,若A保持向量的内积不变,即对于任意的，V都有(A，A) = (，)，则称A为V的正交变换.

二、等价条件 定理2.1 设A是n维欧氏空间V的一个线性变换,则下列命题等价: 1)A是正交变换； 2)A保持向量的长度不变,即对于V，|A|=||； 3)A把V的标准正交基变为V的标准正交基； 4)A在标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 证：1）2）对于V,由(A，A)=(，), 即得： |A|=||

(A(i+j)，A(i+j))=(i+j， i+j） 2）3）设1，2，…，n是V的任一标准正交基,记i+j=V. 由|A|=||或(A，A)=(,)得 (A(i+j)，A(i+j))=(i+j， i+j） 而 (A(i+j)，A(i+j)) =(Ai，Ai)+2(Ai，Aj)+(Aj，j) =(i，i)+2(i，j)+(j，j) (i+j， i+j）=(i，i)+2(i，j)+(j，j) 故 A1，A2，…，An是V的一组标准正交基.

A(1，2，…，n)=(A1，A2，…，An) 3)4）设1，2，…，n是V的标准正交基, A(1，2，…，n)=(A1，A2，…，An) = (1，2，…，n)A 由3), A1，A2，…，An是V的标准正交基,故A可看作是由标准正交基1，2，…，n到标准正交基A1，A2，…，An的过渡矩阵,A是正交矩阵.

4)1）设1，2，…，n是V的标准正交基,且A在此基下的矩阵A为正交矩阵. 由(A1，A2，…，An)= (1，2，…，n)A,知A1，A2，…，An也是V的标准正交基, 设=x11+x22+…+xnn,=y11+y22+…+ynn,则 A=x1A1+x2A2+…+xnAn A=y1A1+y2A2+…+ynAn (A,A)= x1y1+x2y2+…+xnyn (,)= x1y1+x2y2+…+xnyn 所以 (A，A)=(，),故A为正交变换.

三、正交矩阵 正交矩阵有以下几种等价定义. 定义3.1 A为n阶实矩阵,若ATA=E,则称A为正交矩阵. 定义3.2 A为n阶实矩阵,若AAT=E,则称A为正交矩阵. 定义3.3 A为n阶实矩阵,若AT=A-1,则称A为正交矩阵. 定义3.4 A为n阶实矩阵，若A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩阵.

1）|A|=1；2）A可逆，其逆A-1也是正交矩阵； 3）AT，A*也是正交矩阵. 证：1）由AAT=E，可知|A|2=1，或者|A|=1. 对正交矩阵A，当|A|=1时，我们称A为第一类正交矩阵；当|A|=-1时，则称A为第二类正交矩阵. 2)由AAT=E,可知A可逆,且A-1=AT,又 (A-1)T=(AT)T=A=(A-1)-1=E. 故A-1是正交矩阵. 3)由2)知AT=A-1,AT是正交矩阵. 而A*=|A|A-1= A-1,有 (A*)T=(A-1)T=A=(A*)-1, 故A*是正交矩阵.

(AB)T=BTAT=B-1A-1=(AB)-1， 1)AB，Am(m为自然数),ATB，ABT，A-1B，AB-1，A-1BA等都是正交矩阵； 证:1)由AT=A-1,BT=B-1可知 (AB)T=BTAT=B-1A-1=(AB)-1， 所以AB为正交矩阵，从而再由性质1可推知: Am(m为自然数),ATB，ABT，A-1B，AB-1，A-1BA

等均为正交矩阵.

1）设A，B为正交矩阵，且|A|=-|B|，则A+B必不可逆； 2）设为A，B奇数阶正交矩阵，且|A|=|B|，则必A-B不可逆. 性质3.3: 1）设A，B为正交矩阵，且|A|=-|B|，则A+B必不可逆； 2）设为A，B奇数阶正交矩阵，且|A|=|B|，则必A-B不可逆. 证：1)由|A+B|=|BBTA+BATA|=|B||BT+AT||A| =-|B|2|BT+AT|=-|(A+B)T|=-|A+B| 得|A+B|=0,即A+B不可逆. 2)由|A-B|=|BBTA-BATA|=|B||BT-AT||A| =|B|2|BT-AT|=|-(A-B)T|=(-1)n|A-B| 知n为奇数时,|A-B|=-|A-B|，即|A-B|=0， 从而A-B不可逆.

推论3.1 1）设A是第二类正交矩阵，则A+E必不可逆； 2）设A是奇数阶第一类正交矩阵，则A-E必不可逆. 四、正交变换的性质 性质4.1 正交变换的行列式等于+1或者-1.行列式等于+1的正交变换称为旋转,或者称为第一类的；行列式等于-1的正交变换称为第二类的.

(+)=()+()， (k)=k()，kR 证：正交变换A在标准正交基下的矩阵A是正交矩阵,A的行列式等于A的行列式. 所以正交变换的行列式等于+1或者-1. 性质4.2 正交变换是欧氏空间的一个自同构映射. 证：设是V的正交变换, 在任一标准正交基下的矩阵为正交矩阵,它有逆矩阵,故有逆变换,因而是V到V上的双射. 对于任意的,V，由是正交变换知 (+)=()+()， (k)=k()，kR ((),())=(,) 所以是V到V的一个自同构映射. ，

由 ((AB)，(AB))=(B，B)=(， ), 性质4.3 正交变换的乘积、正交变换的逆变换还是正交变换. 证：设A,B是V的线性变换,对于, V, 由 ((AB)，(AB))=(B，B)=(， ), 及 (A-1， A-1)= (A(A-1)， A(A-1) )=(，) 知 AB, A-1都是V的线性变换.

参考文献 [1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M]，北京：高等教育出版社,2003. [2]同济大学应用数学系．线性代数(第四版)[M]，北京：高等教育出版社,2003.

谢谢各位老师!