第3章 文法和语言

3.1 文法的直观概念 当我们表述一种语言时，无非是说明这种语言的句子，如果语言只含有有穷多个句子，则只需列出句子的有穷集就行了，但对于含有无穷句子的语言来讲，存在着如何给出它的有穷表示的问题。 以自然语言为例，人们无法列出全部句子，但是人们可以给出一些规则，用这些规则来说明(或者定义)句子的组成结构，比如汉语句子可以是由主语后随谓语而成，构成谓语的是动词和直接宾语，我们采用EBNF来表示这种句子的构成规则：

BNF范式和语法图 1、巴科斯范式:EBNF <句子>→<主语><谓语> <主语>→<代词>|<名词> <代词>→你|我|他 <名词>→王明|大学生|工人 <谓语>→<动词><宾语> <动词>→是|学习 <宾语>→<代词>|<名词> 带<>的叫非终止符,不带<>的叫终止符。 <逻辑值>→True|False

例子： <句子><主语><谓语> <代词><谓语> 我<谓语> 我<动词><直接宾语> 我是<直接宾语> 我是<名词> 我是大学生

“我是大学生”的构成符合上述规则，而“我大学生是”不符合上述规则，我们说它不是句子。这些规则成为我们判别句子结构合法与否的依据，换句话说，这些规则看成是一种元语言，用它描述汉语。这里仅仅涉及汉语句子的结构描述。其中一种描述元语言称为文法。

语言概述 语言是由句子组成的集合，是由一组符号所构成的集合。 汉语--所有符合汉语语法的句子的全体 英语--所有符合英语语法的句子的全体 程序设计语言--所有该语言的程序的全体 每个句子构成的规律 研究语言 每个句子的含义 每个句子和使用者的关系

研究程序设计语言 每个程序构成的规律 每个程序的含义 每个程序和使用者的关系 语言研究的三个方面 语法 Syntax 语义 Semantics 语用 Pragmatics

语法 -- 表示构成语言句子的各个记号之间的组合规律 语义 -- 表示各个记号的特定含义。（各个记号和记号所表示的对象之间的关系） 语用 --表示在各个记号所出现的行为中，它们的来源、使用和影响。

每种语言具有两个可识别的特性，即语言的形式和该形式相关联的意义。 语言的实例若在语法上是正确的，其相关联的意义可以从两个观点来看，其一是该句子的创立者所想要表示的意义，另一是接收者所检验到的意义。这两个意义并非总是一样的，前者称为语言的语义，后者是其语用意义。幽默、双关语和谜语就是利用这两方面意义间的差异。

如果不考虑语义和语用，即只从语法这一侧面来看语言，这种意义下的语言称作形式语言。形式语言抽象地定义为一个数学系统。“形式”是指这样的事实：语言的所有规则只以什麽符号串能出现的方式来陈述。形式语言理论是对符号串集合的表示法、结构及其特性的研究。是程序设计语言语法分析研究的基础。

<1><整数>→<数字> 例子:整数(1)单个数字是整数 (2)整数再接上数字仍是整数 用BNF范式表示: <1><整数>→<数字> <数字>→0|1|2|…|9 <2><整数>→<整数><数字> <整数>→<数字>|<整数><数字> 所以合起来有： <整数>→<数字>|<整数><数字> <数字>→0|1|2|…|9

标识符:以字母开头以后由字母和数字组成的符号串。 例子：<标识符>的巴科斯范式 <标识符>→<字母> <标识符>→<标识符><字母> <标识符>→<标识符><数字> <字母>→a|b|…|z <数字>→0|1|…|9

例子：判定字符串a4y是<标识符> <标识符><标识符><字母>  <标识符>y  <标识符><数字>y  <标识符>4y  <字母>4y  a4y

2、语法图 作用：直观、形象的描述语法规则。 例子：标识符的语法图表示 标识符 字母 数字

例子：无符号数的语法图表示 2.45E+12 无符号数 无符号整数 数字 E

3.2 符号和符号串 1、字母表:它是非空有穷集。 例如：∑={a,b,c}或∑={1,2,3} 2、符号：字母表中的元素称为符号。 3、符号串：符号的有穷序列，符号串也称为字。用ε来表示空符号串。 例如：a,ab,abc,dsfsd

4、长度：符号串的长度是指该串所包含的符号个数。用|x|表示符号串x的长度。 例如：|a|=1，|abn|=3 5、连结：设x和y为符号串，则称xy 为他们的连结。 例如：x=aa,y=bb,则xy=aabb 6、空集：不含任何元素的集合,记为。

7、乘积：设A和B是符号串集，则用AB表示A和B的乘积。 A={a,b},B={c,d},则AB={ac,ad,bc,bd} 8、方幂：设A为符号串集，则定义 A0={ε} A1=A An=An-1 A 例如：A={a,b} 则有： A0={ε} A1={a,b} A2={aa,ab,ba,bb}

9、正闭包：设A为符号串集，则用A+表示A的正闭包，其具体定义如下： A+=A1∪A2∪A3∪… 例如：A={a},A+={a,aa,aaa,……} 10、星闭包：设A为一集合，则定义A的星闭包为A* ，其具体定义如下A*=A0∪A+ 例如：A={a},A*={ε,a,aa,aaa,……}

3.3 文法与语言的形式定义 一、引言 例子： y:=a+b*x 语法：赋值语句由变量加“:=”加表达式构成。 语义：右边表达式求值与左变量结合赋值。 用途：表达式的值的保存和计算。

形式化方法：用一整套带有严格规定的符号体系来描述问题的理论和方法。 表示文法需要一种工具，其中最常用的工具是所谓的巴克斯范式(BNF)。 例子: A={an|n≥1} A={a2n|n≥1} 其BNF表示有： 其BNF表示有： (1) A→a|aA (1) A→aa|aaA (2) A→a|Aa (2) A→aa|Aaa

例子： A={abna|n≥1} 其BNF表示有多种如下： (1) A→aBa B→b|Bb (2) A→aBa B→b|bB (3) A→aB B→ba|bB

如何来描述一种语言？ 如果语言是有穷的（只含有有穷多个句子），可以将句子逐一列出来表示 如果语言是无穷的，找出语言的有穷表示。语言的有穷表示有两个途经： 生成方式 （文法）：语言中的每个句子可以用严格定义的规则来构造。 识别方式（自动机）：用一个过程，当输入的一任意串属于语言时，该过程经有限次计算后就会停止并回答“是”，若不属于，要麽能停止并回答“不是”，（要麽永远继续下去。）

文法即是生成方式描述语言的：语言中的每个句子可以用严格定义的规则来构造. 下面给出文法的定义 文法即是生成方式描述语言的：语言中的每个句子可以用严格定义的规则来构造.下面给出文法的定义.进而在文法的定义的基础上,给出推导的概念,句型、句子和语言的定义.

定义 文法G定义为四元组(VN，VT，P，S )其中 VN为非终结符号(或语法实体，或变量)集； VT为终结符号集； P为产生式(也称规则)的集合； VN，VT和P是非空有穷集。 S称作识别符号或开始符号，它是一个非终结符，至少要在一条产生式中作为左部出现。 VN和VT不含公共的元素，即VN ∩ VT = φ 用V表示VN ∪ VT ，称为文法G的字母表或字汇表 规则，也称重写规则、产生式或生成式，是形如α→β或α∷=β的(α，β)有序对，其中α是字母表V的正闭包V+中的一个符号，β是V*中的一个符号。α称为规则的左部，β称作规则的右部。

文法的定义 例 文法G=（VN，VT，P，S） VN = { S }, VT ={ 0, 1 } P={ S→0S1, S→01 } S为开始符号

例 文法G=（VN，VT，P，S） VN ={标识符，字母，数字} VT ={a,b,c,…x,y,z,0,1,…,9} P={<标识符>→<字母> <标识符>→<标识符><字母> <标识符>→<标识符><数字> <字母>→a,…, <字母>→z <数字>→0,…, <数字>→9 } S=<标识符>

文法的写法 1 G：S→aAb A→ab A→aAb A→ε 2 G[S]： A→ab A→aAb A→ε S→aSb 3 G[S]： A→ab |aAb |ε S→aSb

二、文法和语言形式定义 1、规则式，产生式 例子： B→b|Bb A→a|A 2、文法G[Z]：规则的非空有穷集合。Z：识别符号，开始符号。V：字母表，符号集合。 例子：G[S]={S→0，S，1} V＝{S，0，1}

定义3.1 文法是一个四元组G(VN，VT，P，Z)。

例子：自然数G1(VN,VT,P,Z)和标识符G2 (VN,VT,P,I) VN={ N,D } VT={ 0,1,2,9} P={ N→D|ND, D→0|1|2||9 } G1：N→D|ND D→0|1|2||9

标识符G2(VN,VT,P,I) VN={ I,D,L } VT={ 0,1,2,9,a,b…z} P={ I→L|IL|ID, L→a|b|…|z D→0|1|2||9 } G2：I→L|IL|ID L→a|b|c||z D→0|1|2||9

1、直接推导：设x和y是符号串，若用一次产生式可从x导出y，则称y为x的直接推导，并记为xy。 定义3.2 1、直接推导：设x和y是符号串，若用一次产生式可从x导出y，则称y为x的直接推导，并记为xy。 例子：x=Ab,y=ab,A→a,Abab 2、推导：若用若干次产生式可从x串导出y串，则称y为x的推导，并记为 x y。  +

3、星推导:x y(当且仅当x=y或x y)。 例子：ABAB 0步 ABaB 1步 AB ab 2步 即：AB ab 例子：X=AB,A→a,B→b ABaBab 即：AB ab  +  * 3、星推导:x y(当且仅当x=y或x y)。 例子：ABAB 0步 ABaB 1步 AB ab 2步 即：AB ab +

4、句型：称x为句型，若有Z x，其中Z是文法的开始符。凡是由初始符推出的任意符号集合叫句型。 例子：Z→AB,A→a,Z aB 5、句子: 称x为句子，若有Z x，且x中不包含非终极符的句型。不包含非终极符的句型叫句子。  *

例子：G[S]:S→0S1 S→01 解: S0S1 00S11 000111 所以有: S={01,0011,000111…} L(G)={0n1n|n≥1}

6、语言:所有句子的集合称为语言。设是G给定文法，Z是开始符，则语言L(G)可描述如下： L(G)=｛x|Z x,x∈VT*｝  * 定义3.3 设G1,G2为给定文法，如果L(G1)=L(G2),则称G1和G2等价。

例1 已知文法求语言并判断是否等价 G1=(VN,VT,P,A) G2=(VN,VT,P,Z) VN={A} VN={A,B} VT={a,b} VT={a,b} P={A→ab} P={A→Bb,B→a} A1ab L(G1)={ab} A2Bbab L(G2)={ab}  G1与G2是等价的。

S - A S - A a b c A 例2: G3[S]: S→A|S-A A→a|b|c G4[S]: S→A|A-S 推导过程如下：

S A - A - S a b c A 推导过程如下： SA-S A-A-S A-A-A a-b-c a-b-c和a-b-c  G3与G4等价，但G3与G4的语义不同。

文法的等价 若L（G1）=L（G2），则称文法G1和G2是等价的。 如文法G1[A]：A→0R 与G2[S]：S→0S1 等价 A→01 S→01 R→A1

3.4 文法的类型 定义3.4 0型文法(短语结构文法): 产生式为：α→β，其中α和β是符号串。 1型文法(上下文有关文法)： 3.4 文法的类型 定义3.4 0型文法(短语结构文法): 产生式为：α→β，其中α和β是符号串。 1型文法(上下文有关文法)： 产生式为：αAβ→αuβ，其中A∈VN，u为非空串。 2型文法(上下文无关文法): A→β，其中A∈VN，β为非空串。

3型文法(正则文法): 产生式为：A→a,A→bB,其中A,B∈VN, #a,b∈VT是符号串。 例子: G[Z]:Z→a Z→aA A→b|bB B→b 所以:G[Z]是3型文法

文法的类型 例：1型（上下文有关）文法 文法G[S]： S→CD Ab→bA C→aCA Ba→aB C→bCB Bb→bB AD→aD C→ε BD→bD D→ε Aa→bD

文法的类型 例：2型（上下文无关）文法 文法G[S]： S→AB A→BS|0 B→SA|1

3型文法 G[S]： S→0A|1B|0 A→0A|1B|0S B→1B|1|0 G[I]： I → lT I → l T → lT T → dT T → l T → d

文法的类型 四种文法之间的逐级“包含”关系 0型文法 2型文法 1型文法 3型文法

文法和语言 0型文法产生的语言称为0型语言 1型文法或上下文有关文法（ CSG ）产生的语言称为1型语言或上下文有关语言（CSL） 2型文法或上下文无关文法（ CFG ）产生的语言称为2型语言或上下文无关语言（ CF L ） 3型文法或正则（正规）文法（ RG ）产生的语言称为3型语言正则（正规）语言（ RL ）

文法和语言 四种文法之间的关系 是将产生式做进一步限制而定义的。 语言之间的关系依次：有不是上下文有关语言的0型语言，有不是上下文无关语言的1型语言，有不是正则语言的上下文无关语言。

根据形式语言理论,文法和识别系统间有这样的关系 0型文法（短语结构文法）的能力相当于图灵机，可以表征任何递归可枚举集，而且任何0型语言都是递归可枚举的 1型文法（上下文有关文法）：产生式的形式为α1Aα2→α1βα2，即只有A出现在α1和α2的上下文中时，才允许β取代A。其识别系统是线性界限自动机。

2型文法（上下文无关文法CFG）：产生式的形式为A→β，β取代A时与A的上下文无关。其识别系统是不确定的下推自动机。 3型文法（正规文法RG）：产生的语言是有穷自动机（FA）所接受的集合

3型文法产生的语言是有穷自动机（FA）所接受的集合. 定理 设G=（VN，VT，P，S）是3型文法，则存在一个有穷自 动机 M=(K, ∑ , f, A, Z)，使得L(M)=L(G) 有穷自动机NFA M 这样构造： · ∑= VT · K= VN ∪{N}, N为一个新状态,它不在VN中 · A=S · Z={N} · 对G中的形如 D→tB的产生式,t为终结符或ε,有f(D,t)=B； 对G中形如D→t的产生式， t为终结符或ε,有f(D,t)=N;   对VT中的每一个a ,有f(N,a)=φ

G［Ｓ］： S→aA|bB A→bB|aD|a  B→aA|bD|b D→aD|bD|a|b a a A a S b a a b D Z

使其右部为空字符串的产生式，称为空产生式。产生式记为A→或A→ 例子: G[S]: S→AaB A→AB| B→bB| 所以:G[S]含有空产生式

定义3.5 直接左递归：若有产生式 A→A… 直接右递归：若有产生式 A→…A 左递归：若有推导式 A A… 右递归：若有推导式 A …A  +

例子： 直接递归：A→Aa B→aBB 左递归：S→Qc|c Q→Rb|b R→Sa|a QRbSabQcab  QQcab

设xUyxuy是一直接推导。如果U是句型xUy中的最右非终极字符，则称该推导为规范直接推导并记为xUy xuy。 3.5 上下无关文法及其语法树 规范推导和句柄 定义3.6 设xUyxuy是一直接推导。如果U是句型xUy中的最右非终极字符，则称该推导为规范直接推导并记为xUy xuy。 如果x y中的每步都是规范直接推导，则称该推导为规范推导并记为 x y。  r +

如果每步都是最右非终极字符，则也称该规范推导为最右推导。 例子：G[S]：S→AB A→Aa|bB B→a|Sb SABbBBbaB(最左推导) SABASbAABbAAabAbBab (最右推导) SABASbbBSbbaSb(非左非右)

语法树与二义性 定义3.8 设G=(VN,VT,P,S)是给定文法,则称满足下面条件的树为G的一棵语法树。 每个结点都标有G的一个文法符号,且根结点标有初始符S,非叶结点标有非终极符。 如果一个非叶结点A有n个儿子结点(从左到右)B1,B2,…,Bn,则A→B1B2…,Bn一定是G的一个产生式。

S A B a c b 例子：Z→AB A→a B→bc 定义3.9 由某一结点及其所属分枝组成的部分树称为原树的一棵子树。 只有单层分枝的子树称为简单子树。

假设Z xUy，U u，则称句型xuy中的u为该句型的短语，其中Z为初始符。 3.6 句型的分析 定义3.7 假设Z xUy，U u，则称句型xuy中的u为该句型的短语，其中Z为初始符。 假设有Z xUy，Uu，则称句型xuy中的u为该句型的简单短语。 最左边的简单短语称为句柄。  * +

S baB BSb x U U y u 例子：G[S]：S→AB A→Aa A→bB B→a B→Sb 解：SAB bBB baB baSb S baB  * BSb x U U y u  Sb是句型baSb的短语，简单短语

解：SAB ASb bBSb baSb S bBSb  * Ba U u x U y a是句型baSb的短语，且是简单短语。

S ASb Aba U u x U y 解：SABASbbBSbbaSb   ba是句型baSb的短语，但不是简单短语。 * Aba ＋ U u x U y  ba是句型baSb的短语，但不是简单短语。 所以：ba, a, Sb 是句型baSb的短语 a, Sb 是句型baSb的简单短语 a 是句型baSb的句柄。

定理3.1 1、每个句型都有一棵语法树，每个语法树的叶组成一句型。 2、每棵子树的叶组成短语，每棵简单子树的叶组成简单短语，最左简单子树的叶组成句柄。 3、用语法树可证明每个句子都有一规范推导。

构造语法树 E E G[E]： E→E+T|T T→T*F|F F→(E)|a E + T E + T T EE+T T+T F+T a+T a+T*F a+F*F a+a*F a+a*a

EE+T T+T F+T a+T a+T*F a+F*F a+a*F a+a*a EE+T E+T*F E+T*a E+F*a E+a*a T+a*a F+a*a a+a*a EE+T T+T T+T*F F+T*F F+F*F a+F*F a+F*a a+a*a E E + T T T * F F F a a a 看不出句型中的符号被替代的顺序

用于描述上下文无关文法句型推导的直观方法 上下文无关文法的语法树的用处 用于描述上下文无关文法句型推导的直观方法 句型aabbaa的语法树（推导树） S a A S S b A a a b a 例: G[S]: S→aAS A→SbA A→SS S→a A→ba 叶子结点：树中没有子孙的结点。 从左到右读出推导树的叶子标记连接成的文法符号串，为G[S]的句型。也把该推导树称为该句型的语法树。

上下文无关文法的语法树 推导过程中施用产生式的顺序 例: G[S]: S→aAS S a A S A→SbA S b A a A→SS A→ba S a A S S b A a a b a SaASaAaaSbAaaSbbaaaabbaa SaASaSbASaabASaabbaSaabbaa SaASaSbASaSbAaaabAaaabbaa

一棵语法树表示了一个句型的种种可能的(但未必是所有的)不同推导过程，包括最左(最右)推导。但是，一个句型是否只对应唯一的一棵语法树呢 一棵语法树表示了一个句型的种种可能的(但未必是所有的)不同推导过程，包括最左(最右)推导。但是，一个句型是否只对应唯一的一棵语法树呢?一个句型是否只有唯一的一个最左(最右)推导呢?

E E + E E * E i i i E E * E i E + E i i 例：G[E]: E → i E → E+E E → E*E 推导1：E  E+E  E*E+E  i*E+E  i*i+E  i*i+i 推导2：E  E*E  i*E  i*E+E  i*i+E i*i+i

S A B b 例子：G[S]：S→AB A→Aa|bB B→a|Sb 字符串：bBABb 短语：bB,AB,ABb 简单短语：bB,AB

定义3.10 如果一个文法G存在某个句子,使得它有两棵语法树,则称G为二义性文法。 例子：证明 G:E→E+E|E*E|(E)|i 则G是二义性文法。 因为句子i+i*i具有两棵语法树分别如图所示。

E + i *

E + i *

例子： 证明 G[S]: S→If B Then S S→If B Then S Else S 是二义性文法。If B1 Then If B2 Then S2 Else S3该句子具有二义性(其中S表示语句，Sx无条件语句，Bx表示布尔变量) ，分析情况如下：

　If B1 Then If B2 Then S2 Else S3　　 例子：If x>1 then if x>2 then y:=a else y:=b 解释1:If x>1 then if x>2 then y:=a else y:=b 解释2:If x>1 then if x>2 then y:=a else y:=b

S If B１ Then S１ If B２ Then S２ Else S３ If B1 Then If B2 Then S2 Else S3 第一种： If B２ Then S２ Else S３

If B１ Then S１ Else S３ S If B２ Then S２ If B1 Then If B2 Then S2 Else S3 第二种： If B１ Then S１ Else S３ S If B２ Then S２

语义上限制。 怎样排除二义性： 改写文法。 改写文法如下： S→M|U M→If B Then M Else M|S1 U→If B Then S|If B Then M Else U M为匹配语句，U为非匹配语句。

得到语法树如下： U If B１ Then S If B２ Then S２ Else M S3

文法中不含有不可到达和不可终止的非终结符 3.7 有关文法实用中的一些说明 文法中不含有有害规则和多余规则 有害规则：形如U→U的产生式。会引起文法的二义性 多余规则：指文法中任何句子的推导都不会用到的规则 文法中不含有不可到达和不可终止的非终结符 1）文法中某些非终结符不在任何规则的右部出现，该非终结符称为不可到达。 2）文法中某些非终结符，由它不能推出终结符号串，该非终结符称为不可终止。

S 1 S 1 S 1 1.文法中不含有A→A的规则 例:S→0S1|01 无二义性,可以改为: 1 S 1 S 1

2.文法中不包含多余规则 ①不可到达：所有推导均不会用到此规则 ②不可终止：推导不出终结符号串 例子: 文法G[S]： (1) S→Be (5)A→e (2) B→Ce不可终止 (6)C→Cf不可终止 (3) B→Af (7)D→f不可达 (4) A→Ae

对文法G=(VN,VT,S,P),为了保证其任一非终结符A在句子推导中出现,必须满足如下两个条件： S αAβ,其中α,β属(VT∪VN)*。 2.必须能够从A推出终结符号串t来。即A t,其中t∈VT*。 因此检查文法是否包含多余规则是很有必要的。  * +

3.9 文法的等价转变换 定理3.2 对任一文法G1都可以构造文法G2使得L(G1)=L(G2)，并且G2有这样的特点，即文法的初始符不出现于产生式的右部。 例子：G:E→E+E|E*E|(E)|i 可改写为：G:E’→E E→E+E|E*E|(E)|i

定理3.3 对任一文法G1都可以构造文法G2使得L(G1)=L(G2) ，并且G2的每个非终极符出现于某句型中。 定理3.4 对任一文法G1均可构造文法G2使得L(G1)=L(G2)，且在G2中没有形如A→B的产生式,其中B∈VN。

证明：我们称形如A→B的产生式为特型产生式。G2的构造算法是： 1、对每个A∈VN，求 βA={D|A D,D∈VN} 2、令G1中所有的非特型产生式为G2的产生式。 3、若有D∈βA，且有D→x(非特型)，则令A→x∈G2 4、删除无用的产生式。  *

例子：G[A]:A→B|a B→b 求解如下： 保留：A→a B→b 扩充：A→B B→b  A→b G[A]：A→a|b B→b (多余)  G[A]:A→a|b

例子：设有如下文法 G1：A→B|dD B→A|C|b C→B|c D→d|Da A→B A→B B→A  A→A A→B B→C  A→C 所以A={A,B,C}

则有：A={A,B,C} B={B,A,C} C={C,A,B} D={ } 令G1中的非特型产生式为G2的产生式： G2：A→dD B→b C→c D→d|Da 再扩充产生式： G2：A→b|c B→dD|c C→dD|b

所以G2[A]: A→dD B→b C→c D→d|Da A→b|c B→dD|c C→dD|b 其中B和C不出现在任何句型中，因此可以删去相关的产生式。 得出：G2[A]：A→dD|b|c D→d|Da

定理3.5 任一文法G1,可构造文法G2,使得L(G2)=L(G1)且G2中没有ε产生式。 1、开始令β={A|A→ε∈G1 } 2、递归扩充β：β=β∪{ D|D→x∈G1,x∈β+} 3、从G1删除所有ε产生式。 4、从G1删去只能导出空串的非终极符。

5、设β=β∪{A1,A2,…An}， VN~β={B1,B2,…Bn} 若有产生式A→C1C2…Cn，则Ci有三种可能： Ci∈VT，Ci∈β，Ci∈VN~β。 如果Ci∈β，则因为删去了所有产生式，以此扩充一产生式A→C1C2…Cn。重复这个过程，直至不出现新的产生式为止。

例子：设有文法 G:A→aBbD D→BB B→ε|b 解：B→ε DBB ε  ={B,D}

则有β={B,D}删去ε产生式得： A→aBbD D→BB B→b 再扩充下面产生式： A→abD A→aBb A→ab D→B

A 定理3.6 设有文法G1,则可构造文法G2,使得L(G2)=L(G1),并且G2没有直接左递归的产生式。 A→A|  A→A’ 例子：A→Aab|cd  A→cdA’ A’→abA’|   A

一般而言： A→A1|A2|...|An|1|2|…|m 则有: A→ 1A’|2A’|…|m A’ A’→1A’|2A’|…|nA’|

例子：考虑下面文法 E→E+T|T T→T*E|F F→(E)|i 用上述方法可以改写为： E→TE’ E’→+TE’| T→FT’ T’→*ET’|