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第13章 決策分析 13.1 問題建構 13.2 不含機率的決策 13.3 含有機率的決策 13.4 風險分析與敏感度分析 13.5 有樣本資訊的決策分析 13.6 以貝氏定理計算分支機率 13.7 效用理論 第13章 決策分析 第537頁

前言 當決策者面對多種選擇，以及不確定或充滿風險的未來事件時，可運用決策分析建立最佳策略。 第13章 決策分析 第538頁

13.1 問題建構 決策分析的第一步是問題建構。我們先以文字描述問題，接著找出決策方案(decision alternatives)、不確定的未來事件（稱為隨機事件(chance events)），以及每種決策方案與隨機事件的各種可能情況組合所導致的結果(consequences)。 第13章 決策分析 第539頁

13.1 問題建構 匹茲堡開發公司購買一塊土地作為建築河濱華廈的基地。每戶標價從 300,000 美元到 1,400,000 美元不等。 公司事先準備 30 戶、60 戶及 90 戶三種不同規模的建築設計圖。 匹茲堡開發公司的決策問題是選擇適當戶數，使得在戶數需求不確定的情況下利潤最大。 第13章 決策分析 第539頁

13.1 問題建構 匹茲堡開發公司有三個備選方案： d1 = 30 戶的小型組合 d2 = 60 戶的中型組合 d3 = 90 戶的大型組合 管理者相信將市場需求視為高需求或低需求兩選一的情況是適當的。 第13章 決策分析 第539頁

13.1 問題建構 決策分析中隨機事件的可能結果稱為自然狀態(states of nature)。只發生一種且是唯一一種自然狀態。 對匹茲堡開發公司的問題而言，有關大廈需求的隨機事件有兩種可能的自然狀態： s1 = 對大廈有高需求 s2 = 對大廈有低需求 第13章 決策分析 第539頁

影響圖 影響圖(influence diagram) ，用於說明決策問題的決策、隨機事件及結果間的關係。 影響圖的節點(nodes) 代表決策、隨機事件及結果。矩形或方形節點表示決策點(decision nodes)，圓形或橢圓形表示機會點(chance nodes)，而菱形則是代表結果點。連接節點的線稱為弧(arcs)，表示一個節點對另一個節點的影響方向。 第13章 決策分析 第540頁

影響圖 第13章 決策分析 第540頁

償付表 某一決策方案遇到某種自然狀態時的結果稱為償付(payoff)。償付表 (payoff table) 列出每個決策方案與每種自然狀態組合的償付結果。 以百萬美元為單位的償付表見表 13.1。 第13章 決策分析 第540-541頁

決策樹 決策樹(decision tree) 是決策過程的圖示。 第13章 決策分析 第541頁

決策樹 圓圈表示機會點。 連接節點的稱為分支(branches)，決策點伸出的分支對應每個決策方案。機會點伸出的分支對應每一自然狀態。 第13章 決策分析 第541頁

13.2 不含機率的決策 適用於決策者不太能可靠推估自然狀態的機率，或是僅須考慮自然狀態的最好及最壞狀態的情況。 第13章 決策分析 第542頁

樂觀法 樂觀法(optimistic approach) 是以能得到的最好償付結果來評估方案。最後的建議則是具有最佳可能償付結果的方案。 開發大型大廈是樂觀法的建議決策。 第13章 決策分析 第542頁

保守法 保守法(conservative approach) 是根據最差償付結果來制定決策。 採用保守法，保證至少可以獲得 7 百萬美元的利潤。 第13章 決策分析 第542-543頁

極小化最大遺憾法 決策分析的遺憾(regret) 是指特定決策方案的償付結果與已知自然狀態下最想得到的償付結果間的差異。因此，遺憾表示某個已知自然狀態發生的情況下，選擇特定的決策方案而必須放棄的可能償付結果。因此，遺憾常被稱為機會損失(opportunity loss)。 第13章 決策分析 第543頁

極小化最大遺憾法 極小化最大遺憾法(minimax regret approach)非純粹樂觀，亦非純粹保守。 以下公式表示機會損失或遺憾。 其中 對於極小化的問題，最佳的償付 Vj* 是第 j 行中最小的值。所以 Vj* 與 Vij 的差的絕對值一定會使遺憾值等於差異的大小。 第13章 決策分析 第543-544頁

極小化最大遺憾法 表 13.4 是匹茲堡開發公司問題的機會損失或遺憾表。 第13章 決策分析 第544頁

極小化最大遺憾法 下一步是列出每個方案的最大遺憾，這些數據見表13.5。接著選擇在所有的最大遺憾值中最小的方案，便得到極小化最大遺憾的決策結果。 這三種方法只是反映出不同決策方法背後不同的決策哲學而已。決策者必須選擇最適當的方法，並做出決策。 第13章 決策分析 第544頁

13.3 含有機率的決策 得到各種自然狀態的估計機率。可使用期望值法(expected value approach) 找出最佳決策方案。我們首先定義決策方案的期望值。 令 因為 N 個自然狀態中只會發生一個，這些機率必須滿足以下兩個條件： 第13章 決策分析 第544-545頁

13.3 含有機率的決策 方案 di 的期望值(expected value, EV) 定義如下： 決策方案的期望值是此方案償付值的加權總和。償付值的權重就是它的自然狀態的機率，也就是發生此償付值的機率。 第13章 決策分析 第545頁

13.3 含有機率的決策 計算三個方案的期望值如下： 運用期望值法，我們發現期望值 1420 萬美元的大型大廈是最佳決策。 找出最佳決策方案的計算過程可以直接在決策樹上進行。 第13章 決策分析 第545頁

13.3 含有機率的決策 第13章 決策分析 第546頁

13.3 含有機率的決策 第13章 決策分析 第546頁

完全資訊的期望值 自然狀態的完全資訊(perfect information)；也就是假設 PDC 公司可以確定將會發生哪個自然狀態。 第13章 決策分析 第547-548頁

完全資訊的期望值 使用完全資訊的期望值為：0.8(20) + 0.2(7) = 17.4。稱此 17.4 百萬美元的期望值為有完全資訊的期望值(expected value with perfect information, EVwPI)。 建議決策及期望值的計算並未使用完全資訊，為沒有完全資訊的期望值(expected value without perfect information, EVwoPI)。 第13章 決策分析 第548頁

完全資訊的期望值 完全資訊的期望值 (expected value of perfect information, EVPI) 之計算方式如下： 其中 第13章 決策分析 第548-549頁

13.4 風險分析與敏感度分析 風險分析(risk analysis) 幫助決策者確認決策方案期望值與實際發生償付間的差異。敏感度分析(sensitivity analysis) 對決策者的助益則是描述自然狀態機率及／或償付值的改變如何影響建議方案。 第13章 決策分析 第549頁

風險分析 決策方案的風險概況(risk profile)顯示可能的償付值及其發生機率。 匹茲堡開發公司的大廈開發案。風險概況如圖13.5 所示。 第13章 決策分析 第549-550頁

風險分析 檢視決策方案的風險概況可能使決策制定者決定選擇另外的決策方案。決策者可能會比較喜歡風險較低的中型大廈方案，即使它的期望值比大型大廈少 2 百萬美元。 第13章 決策分析 第549頁

敏感度分析 敏感度分析可用於確定自然狀態機率與償付值的改變如何影響建議方案。 敏感度分析的方法之一是以不同的自然狀態機率及償付值，求解決策分析的問題。 對於只有兩種自然狀態的特例，可使用圖解法來確認自然狀態機率的變化如何影響建議決策選項。我們令 p 代表自然狀態 s1 的機率，亦即P (s1) = p。 方案 d1 的期望值如下： 第13章 決策分析 第550-551頁

敏感度分析 對決策方案 d2 及 d3 期望值表示成 p 的函數： 以 p 值為橫軸，期望值為縱軸作圖。 圖 13.6 顯示當高需求狀態(s1) 的機率 p 改變時，建議方案如何隨之改變。 在 p ≤ 0.25 時，決策方案d1 有最大的期望值，在 0.25 ≤ p ≤ 0.70 時決策方案 d2 有最大期望值，而當 p ≥ 0.70 時，決策方案 d3 有最大期望值。 第13章 決策分析 第551-552頁

敏感度分析 第13章 決策分析 第552頁

敏感度分析 也可以針對償付值進行敏感度分析。 只要 EV(d3) 保持大於或等於次佳方案期望值，決策方案 d3 仍舊是最佳決策方案。因此，決策方案 d3 是最佳決策方案的條件是： 令 EV(d3) 的一般式可以表示成： 決策方案 d3 仍舊是最佳決策方案，只要 第13章 決策分析 第552-553頁

敏感度分析 求解 S，得到： 當需求高時，d3 的償付值只要維持在 17.5 百萬美元以上，決策方案 d3 仍舊是最佳方案。 第13章 決策分析 第553-554頁

13.5 有樣本資訊的決策分析 通常，決策者所能採用的最佳資訊，只有對自然狀態的事前機率 (prior probability) 的估計。 透過實驗設計，以提供有關自然狀態的樣本資訊(sample information)。能修正自然狀態機率。修正後的事前機率稱為事後機率(posterior probability)。 第13章 決策分析 第554頁

13.5 有樣本資訊的決策分析 例子 假設匹茲堡開發公司管理當局考慮進行為期 6 週的市場調查，以評估匹茲堡開發公司開發計畫的市場接受度。管理者預期市場調查將得到的結果為以下兩者之一： 正面報告：為數眾多的調查對象表示對購買匹茲堡開發公司大廈的興趣。 負面報告：極少數調查對象表示對購買匹茲堡開發公司大廈的興趣。 第13章 決策分析 第554頁

影響圖 擴充後的匹茲堡開發公司問題的影響圖如圖 13.7。 第13章 決策分析 第554-555頁

決策樹 有樣本資訊的匹茲堡開發公司問題的決策樹如圖 13.8。 第13章 決策分析 第555-556頁

決策樹 決策樹分析及最適策略選擇需要所有機會點的分支機率。匹茲堡開發公司估計出以下機率。 如果市場調查報告是正面的： P( 已知為正面報告，需求高 ) = 0.94 P( 已知為正面報告，需求低 ) = 0.06 如果市場調查結果是負面的： P( 已知為負面報告，需求高 ) = 0.35 P( 已知為負面報告，需求低 ) = 0.65 如果不進行市場調查： P( 需求高 ) = 0.80 P( 需求低 ) = 0.20 分支機率顯示於圖 13.9 的決策樹。 第13章 決策分析 第555-557頁

決策樹 第13章 決策分析 第558頁

決策策略 決策策略(decision strategy) 是決策與機會出現的序列，決策選擇取決於尚未確定的隨機事件的結果。 決定最佳決策策略的方法，是根據以下步驟在決策樹上逆向推算： 在每個機會點，將每一分支的償付乘以該分支的機率來計算期望值。 在每個決策點，選擇期望值最佳的分支，此期望值便成為此決策點的期望值。 圖 13.10 是計算出這些機會點的期望值後之簡化決策樹。 第13章 決策分析 第557頁

決策策略 第13章 決策分析 第559頁

決策策略 圖 13.11 是在節點 3、4、5 選出最佳決策後的縮減決策樹。 第13章 決策分析 第559-560頁

決策策略 匹茲堡開發公司的最佳決策是進行市場調查，然後執行以下決策策略： 如果市場調查的報告是正面的，則開發大型大廈。 如果市場調查的報告是負面的，則開發中型大廈。 第13章 決策分析 第560頁

決策策略 第13章 決策分析 第561頁

風險概況 圖 13.13，呈現匹茲堡開發公司最佳決策策略的決策方案與隨機事件。 風險概況是表示可能償付值及其相關機率。因此，為建立最佳決策策略的風險概況，我們必須計算四種償付值的機率。 第13章 決策分析 第562頁

風險概況 第13章 決策分析 第563頁

風險概況 下表是匹茲堡開發公司最佳策略償付值的機率分布 第13章 決策分析 第562頁

風險概況 圖 13.14 是風險概況的圖形表示。進行市場調查的策略後，風險概況有所改變。 第13章 決策分析 第563頁

樣本資訊的期望值 匹茲堡開發公司的問題中，進行市場調查的期望值為 15.93。沒有進行市場調查的期望值為14.20百萬美元。兩者的差距 15.93 百萬美元 – 14.20 百萬美元 = 1.73 百萬美元就是樣本資訊的期望值(expected value of sample information, EVSI)。將樣本資訊的期望值表示如下： 其中 第13章 決策分析 第563-564頁

樣本資訊的效率 樣本資訊的效率評比 E 計算如下： 低效率的樣本資訊，可能會促使決策者尋求其他型態的資訊。但是，高效率則表示樣本資訊幾乎和完全資訊一樣好，其他資訊來源無法得到更好的結果。 第13章 決策分析 第564頁

13.6 以貝氏定理計算分支機率 計算分支機率時，我們必須知道匹茲堡開發公司對兩種自然狀態的機率的最佳估計值 P(s1) 及 P(s2)，此為事前機率。另外，必須知道在特定自然狀態下，各種市場調查結果（樣本資訊）的條件機率(conditional probability)。 在匹茲堡開發公司問題，我們假設這些條件機率的估計值如下： 第13章 決策分析 第565頁

13.6 以貝氏定理計算分支機率 第13章 決策分析 第566頁

13.6 以貝氏定理計算分支機率 匹茲堡開發公司問題的計算過程彙整於表 13.7。建立表格的步驟如下： 步驟 1. 第 1 行填入自然狀態。第 2 行填入自然狀態的事前機率(prior probabilities)。第 3 行填入在每一自然狀態下發生正面市場調查報告的條件機率(conditional probabilities)。 步驟 2. 第 4 行是第 2 行的事前機率乘以第 3 行的條件機率，即聯合機率(joint probabilities)。 步驟 3. 加總第 4 行的聯合機率，得到正面市場調查報告的機率 P(F)。 步驟 4. 將第 4 行的聯合機率除以 P(F) = 0.77， 得到事後機率 P(s1 | F) 及 P(s2 | F)。 第13章 決策分析 第566-567頁

13.6 以貝氏定理計算分支機率 第13章 決策分析 第567頁

13.6 以貝氏定理計算分支機率 決策樹的分支機率彼此間存在著某種隱藏關係。任意假設不同的事前機率P(s1) 和 P(s2)，而不管將會對 P(F) 與 P(U)，以及事後機率 P(s1 | F)、P(s2 | F)、P(s1 | U)、P(s2 | U) 造成何種影響，這種作法並不恰當。 第13章 決策分析 第567-568頁

13.7 效用理論 效用(utility) 是特定結果的總價值或相對偏好程度的衡量值；反映決策者對於一組要素組合的態度，這組要素包括諸如利潤、損失及風險在內。 第13章 決策分析 第569頁

13.7 效用理論 第13章 決策分析 第570頁

13.7 效用理論 選擇保證收入而非有更高期望值的決策者是風險趨避者(risk avoider)（或稱為風險厭惡） 第13章 決策分析 第572頁

13.7 效用理論 第13章 決策分析 第573頁

13.7 效用理論 第13章 決策分析 第573頁

13.7 效用理論 冒險者(risk taker) 即使樂透期望值小於保證收入，仍會選擇樂透。本節以決策者是冒險者的觀點來分析史渥福公司面對的決策問題。然後比較了冒險趨避者史渥福總裁的保守看法與冒險決策者的不同。 第13章 決策分析 第575頁

13.7 效用理論 第13章 決策分析 第575頁

13.7 效用理論 第13章 決策分析 第576頁

13.7 效用理論 第13章 決策分析 第576頁

13.7 效用理論 透過表示貨幣價值及效用間的關係的圖形，我們由另種觀點來瞭解風險趨避者及冒險者之間的差異。以橫軸表示貨幣價值，縱軸則是對應的效用值。參考表13.10，史渥福公司問題的初始狀態的貨幣價值與效用值的資料，即圖13.16 最上方的曲線。這條曲線是史渥福總裁的貨幣效用函數(utility function for money)。這些曲線反映史渥福總裁風險趨避或保守的特性。因此，我們稱圖13.16 最上方的曲線為風險趨避者的效用函數。運用表13.12 冒險者的資料，可以畫出圖13.16 最下方的曲線。這條曲線是冒險者的效用函數。 第13章 決策分析 第577頁

13.7 效用理論 第13章 決策分析 第577頁

13.7 效用理論 風險中立(risk-neutral) 決策者的特性： 1. 效用函數是由最佳點到最差點的直線。 2. 運用期望效用法及期望值法都得到相同行動。 第13章 決策分析 第578頁

13.7 效用理論 要求決策者提供夠多的無差異值以產生效用函數可能相當耗時。替代方案之一是假定決策者的效用是由指數函數定義。圖13.17 是若干個不同的指數函數例子。 第13章 決策分析 第578頁

13.7 效用理論 第13章 決策分析 第579頁