第4章 常態分佈

第一節 常態分佈的特性 （1） 如果調查台灣1000位成年男性的身高，將會發現身高特別高和特別低的人佔極少數，絕大多數的人身高都在中間（例如170公分）附近。 如果這1000人的平均身高是170公分，那麼身高離170公分越遠的人，所佔的比例就越少。簡單的說，大略呈現以170公分為中心，並往兩旁遞減的分佈圖。如下圖所示。

第一節 常態分佈的特性 （2） 如果調查的是體重、收入、智力等變項，也很可能出現類似上圖的分佈。 上圖的分佈是間斷的，可是理論上身高是連續的，因為任何兩個人之間，存在第三個人，其身高介在他們之間。 如果調查更多的人（如10萬人），那麼上圖的長條圖中間斷現象逐漸會消除。一旦調查人數非常之大，那麼上圖的長條圖會變成平滑的曲線圖，如下圖中的平滑曲線所示。

第一節 常態分佈的特性 （3） 上圖的平滑線左右對稱，好像一座山，或者類似「銅鐘」的形狀。也就是中間最高，往兩旁遞減，這就是所謂的常態分佈（normal distribution）。 由於是左右對稱，且由中間往兩旁遞減，因此中心點最高的位置就是平均數，也就是眾數、和中位數，三者合而為一。 常態分佈是連續的曲線，但是現實中，並沒有連續的曲線存在。頂多只是類似常態分佈，可是當樣本數很大時，會越接近常態分佈。

第一節 常態分佈的特性 （4） 早在18世紀就有數學家和天文學家開始探討這樣的一條曲線。德國天文家兼數學家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）利用常態分佈研究天文學觀察中誤差的分佈情形，因此常態分佈又稱高斯分佈。 後來高登爵士（Sir Francis Galton, 1822-1911）將高斯分佈用於心理測驗的研究中。 另一位著名的數學和統計學家Karl Pearson（1857-1936）將高斯分佈稱為常態分佈。

第一節 常態分佈的特性 （5） 這條曲線的數學函數為 其中p = 3.1416，e是自然對數之底2.7183，X介在正負無限大，m是平均數，s是標準差。一旦確定平均數和標準差後，帶入公式算得f(X)。

第一節 常態分佈的特性 （6） 要決定常態分佈的形狀，就必須知道平均數m和變異數s2（或者標準差s）。常態分佈取決於兩個參數（parameter）：m和s2。 只要設定這兩個參數，就可以畫出那條常態分佈曲線。只要m或s2不同，曲線就不同。 這也就是為何在上述公式裡，表明 其中分號後面代表的就是決定這個函數的參數。假如變數X服從常態分佈，平均數為m，變異數為s2，則寫成：X ~ N(m, s2)，其中~表示服從，N表示常態分佈。

第一節 常態分佈的特性 （7） 下圖（機率密度函數圖，probability density function plot）呈現三條常態分佈曲線，其中A曲線的平均數和標準差分別為170和5，B曲線的平均數和標準差分別為175和5，C曲線的平均數和標準差分別為170和10。 比較A和B，可以發現當平均數不同而標準差相同時，整個曲線只是位移而已。 比較A和C可以發現如果標準差不同，整個圖形就改變了，即使他們的平均數相同。例如C便得比A來得平坦多了，那是因為C的標準差遠比A來得大所致。

第一節 常態分佈的特性 （8） 如果是間斷變項，例如骰子出現的點數，那麼就可以說出現3點的機率（probability）是1/6，即p(X = 3) = 1/6。 換做連續變項，不宜宣稱X等於某個值的機率。 假如把身高當作連續變項，那麼身高是170公分整的機率是多少？嚴格的說，在連續變項中任何一點出現的機率都是0，因此170公分整的機率等於0。

第一節 常態分佈的特性 （9） 連續變項既然無點出現的機率，改稱為機率密度（probability density）。在平均數為170，標準差為5的常態分佈中170的機率密度等於

第一節 常態分佈的特性 （10） 機率密度函數圖只能看出各個點的機率密度，但機率密度無多大意義，因此該圖並不實用。 對使用者而言，不關心170公分的機率密度，而是關心170公分以下的機率，或是165至175的機率，因此應該換另外一個能夠呈現這種意義的圖。 就數學而言，要得到這樣的圖，必須透過積分以計算某段區間的面積。令整個曲線所涵蓋面積為1，那麼某段區間所佔的面積就是該區段的機率。

第一節 常態分佈的特性 （11） 下圖呈現常態分佈（平均數170，標準差5）的累積分佈函數圖（cumulative distribution function）。 如果要計算170公分以下的機率，就直接從170處往上劃至該曲線，然後往左劃，即可算得。同理，要計算任何一個區段（如165至175）的面積，也可如此，輕易算得機率了。

第一節 常態分佈的特性 （12） 如果要計算170公分以下的機率，就直接從170處往上劃至該曲線，然後往左劃，即可算得。同理，要計算任何一個區段（如165至175）的面積，也可如此算得機率。 不過畢竟要如此計算機率，必須先有此累積分佈函數圖。可惜，通常不易獲得該圖。此外用畫線的方式也只能得到粗略的數值。

第一節 常態分佈的特性 （13） 一般的統計學教科書的附錄裡，都可以查到常態分佈的機率密度函數和累積分佈函數。 Excel的函數NORMDIST和NORMINV，直接可以查詢。 例如要查詢平均數為170，變異數為25的常態分佈，寫成N(170, 25)，170的機率密度，就鍵入「=NORMDIST(170,170,5,FALSE)」得機率密度為0.0798。 其中NORMDIST就是查詢常態分佈的函數，第一個170就是要查的數值，第二個170為該常態分佈的平均數，5是標準差，FALSE表示要查的是機率密度。

第一節 常態分佈的特性 （14） 若要查負無限大到170的機率（同樣是N(170, 25)），鍵入 「=NORMDIST(170,170,5,TRUE)」，其中TRUE表示要查的是累積機率，得到0.5。這表示在平均數為170，變異數為25的常態分佈中，負無限大到170的機率就是0.5，也就是說170左邊的面積佔0.5。

第一節 常態分佈的特性 （15） 假如我們會想知道中間的80%（或90%，95%等）的成年男子的身高介在那裡至那裡之間。如果身高是平均數170，標準差5的常態分佈，那麼80%的成年男子的身高將介於170某個範圍。以平均數170為中心點，左右兩邊各佔40%，合計80%。 這可利用下圖的累積分佈函數圖窺知。在Y軸上的0.1和0.9處往右劃至曲線，再往下劃至X軸即得，分別為164和176。身高在164和176之間的人佔80%。

第一節 常態分佈的特性 （16） 上圖的作法等於在計算累積分佈函數的反函數，Excel提供了這項函數NORMINV。 我們要算從分佈的左邊起算，面積為0.1的數值是多少，以及面積為0.9的數值為多少。 鍵入「=NORMINV(0.1,170,5)」得163.59，這表示在平均數為170，標準差為5的常態分佈中，左邊起算到163.59的面積為0.1。 鍵入「=NORMINV(0.9,170,5)」得176.41，這表示從左邊起算至176.41的面積為0.9。因此在163.59到176.41的數值占的面積為0.8。

第一節 常態分佈的特性 （17） 例1： 如果全國成年男性的身高為常態分佈（嚴格的說是非常近似常態分佈），平均數為170，標準差為5。身高在平均數上下0.5個標準差的人約佔多少？在平均數上下1個標準差的人約佔多少？在平均數上下1.645個標準差、上下1.96個標準差、上下3個標準差的人約佔多少？

第一節 常態分佈的特性 （18） 作法： 已知1個標準差為5，因此在平均數上下0.5個標準差的數值就是1702.5。即167.5和172.5 。 從負無限大到167.5的面積為0.31，這可以利用NORMDIST函數求得，鍵入「=NORMDIST(167.5,170,5,TRUE)」。由於常態分佈是左右對稱，因此從172.5到無限大的面積也是0.31。扣除兩邊面積各0.31後，中間167.5到172.5的面積就是0.38。

第一節 常態分佈的特性 （19） 平均數上下1個標準差的數值為165和175。從負無限大到165的面積為0.16，從負無限大到175的面積為0.84。因此在平均數上下1 個標準差之間的面積0.68。 平均數上下1.645個標準差的數值為161.775和178.225。從負無限大到161.775的面積為0.05，從負無限大到178.225的面積為0.95。因此在平均數上下1.645個標準差之間的面 積就是0.90。

第一節 常態分佈的特性 （20） 平均數上下1.96個標準差的數值為160.2和179.8。從負無限大到160.2的面積為0.025，從負無限大到179.8的面積為0.975。平均數上下1.96個標準差之間的面積就是0.95。 平均數上下3個標準差的數值為155和185。從負無限大到155的面積為0.0014，從負無限大到185的面積為0.9987。因此在平均數上下3個標準差之間的面積就是0.9973。

第一節 常態分佈的特性 （21） 對任何的常態分佈而言，平均數上下0.5個標準差之間的面積為 0.38；上下1個標準差之間的面積為 0.68；上下1.645個標準差之間的面積為 0.90；上下1.96個標準差之間的面積為 0.95；上下3個標準差之間的面積為 0.997。

第一節 常態分佈的特性 （22） 例子2： 假設某廠牌汽車電池的壽命是常態分佈，平均數為800天，標準差為100天。現隨機抽取一個汽車電池，其壽命小於500天的機率有多大？大於1000天的機率有多大？介於700天至900天的機率有多大？ 如果該公司想訂定一個保固期，在保固期限內可以免費更換電池，公司最多可以承擔1%的免費更換，保固期應該定多久？

第一節 常態分佈的特性 （23） 作法： 鍵入「=NORMDIST(500,800,100,TRUE)」得0.001，因此小於500天的機率為0.001。 鍵入「=NORMDIST(1000,800,100,TRUE)」得0.977，這是小於1000天的機率。大於1000天的機率為1 – 0.977 = 0.023。

第一節 常態分佈的特性 （24） 鍵入「=NORMDIST(700,800,100,TRUE)」得0.159。鍵入「=NORMDIST(900,800,100, TRUE)」得0.841。介於700天到900天的機率就是0.841 – 0.159 = 0.683。 由於最多承擔1%的免費更換，等於要找到一個電池壽命的天數， 其左邊的面積為1%。鍵入「=NORMINV(0.01,800,100)」得 567天。電池壽命小於567天的機率為1%。

第二節 標準常態分佈（1） 標準常態分佈（standard normal distribution），又稱Z分佈，就是將平均數訂為0，變異數訂為1的常態分佈。 任何常態分佈都可以換做標準常態分佈，只要它的值減去平均數再除以標準差。即

第二節 標準常態分佈（2） 此Z變項所形成的分佈稱為標準常態分佈，又稱Z分佈。此分佈的機率密度函數為：

Z分佈的機率密度函數圖

Z分佈的累積分佈函數圖

第二節 標準常態分佈（3） 對Z分佈而言，其值介於 ±0.5的機率為38%；其值介於 ±1的機率為68%；介於±1.645的機率為90%，介於±1.96的機率為95%，介於±3的機率為99.7%。 定義za/2為Z分佈「右邊」起算面積為a/2的z值，如下圖所示，由於Z分佈左右對稱於0，因此 z1-a/2 = - za/2 Z介於- za/2是za/2的機率為1- a： P(- za/2 < Z < za/2) = 1- a

第二節 標準常態分佈（4） 利用Excel計算Z分佈的累積分佈函數及其反函數，除了可以援用上述常態分佈的函數NORMDIST和NORMINV外（此時請鍵入平均數0，標準差1。）還可以利用NORMSDIST和NORMSINV。 不過若要計算Z分佈的機率密度函數，還得用NORMDIST，因為NORMSDIST只能計算累積分佈函數。

第二節 標準常態分佈（5） 在進行線性轉換之前，X變項是常態分佈，由於線性轉換不會改變其分佈形狀，因此Z變項仍是常態分佈。 如果X變項原本就不是常態分佈，即使進行線性轉換成為Z變項，並不使得Z變項變為常態。

第三節 峰度與偏態 （1） 峰度（kurtosis）和偏態（skewness）常被分別用於描述資料分佈的高度和左右對稱性。 常態分佈的峰度等於0。如果資料的峰度大於0，那麼該資料的分佈較高聳且狹窄，稱為高狹峰分佈（platykurtic distribution）。 如果峰度小於0，資料的分佈較平坦且寬闊，稱為低闊峰分佈（leptokurtic distribution）。

高狹峰分佈 常態分佈 低闊峰分佈

第三節 峰度與偏態 （2） 峰度的公式是 如果是樣本的話，峰度為：

第三節 峰度與偏態 （3） Excel資料分析的「敘述統計」功能可計算峰度。 或利用KURT的函數。例如資料為1, 2, 3, 4, 5, 6, 7，鍵入「=KURT(1,2,3,4,5,6,7)」就得峰度-1.2。該值小於0，因為1到7這些值的分佈比常態分佈來得平坦。 如果數值換為1, 2, 2, 2, 2, 2, 3，此7個值的分佈中間非常陡峭（2的次數非常多），鍵入「=KURT(1,2,2,2,2,2,3)」得峰度為3。

第三節 峰度與偏態 （4） 偏態也和峰度一樣在描述資料分佈的形狀，如果分數往右邊延伸，其偏態值會大於0，故稱正偏態或右偏態。 如果分數往左邊延伸，偏態值小於0，故稱負偏態或左偏態；如果對稱分佈，偏態值等於0。 第三章變異量數的圖2(c)就是負（左）偏態，2(d)則是正（右）偏態。

第三節 峰度與偏態 （5） 偏態的公式為 如果是樣本的話，則是：

第三節 峰度與偏態 （6） Excel的SKEW的函數可用來計算偏態。