共点力的平衡条件 1.知道什么叫共点力作用下的平衡状态。 2.掌握共点力的平衡条件。 3.会用共点力的平衡条件解决有关平衡问题。

一、平衡状态 1.定义：物体处于静止或者匀速直线运动的状态叫做平衡状态。 2、常见情形 F f N G N G 静止在桌面上的木块 匀速行驶的汽车 氢气球静止漂浮在空中 G N f 限 速40km/s G F2 F1 静止在斜面上的木块 限速牌静止挂在横杆上 小球静止在斜面上

思考与感悟 若物体的速度为0，则物体一定处于平衡状态吗？ 提示：不一定。例如竖直上抛的物体，运动到最高点时，速度为0，而受力不为0，故不能保持静止。 3、静止、平衡状态、速度为零的区别 （1）物体的平衡状态包括静止和匀速直线运动两种状态，因此,静止的物体一定处于平衡状态，但处于平衡状态的物体却不一定静止。 （2）静止的物体一定处于平衡状态，但速度为零的物体不一定是静止，也就不一定处于平衡状态。 （3）特别提醒：若物体做“缓慢”运动，速度的变化可以忽略不计，可认为是平衡状态，即为准平衡态。

二、两个共点力的平衡条件 1．二力平衡——是指物体在两个共点力的作用下处于平衡状态。 2、二力平衡条件：是这两个力方向相反、大小相等，作用在同一条直线上。 FN F 常见的情形 G G 3.共点力——作用在物体的同一点，或作用线相交于同一点的几个力称为共点力。 N 限 速40km/s F1 F2 f F 常见的情形 G G

4.寻找三个共点力的平衡条件： 根据力的合成定则，我们可以把任意两个共点力用一个力代替，据此，逐步的等效简化，三个以上的共点力最终也都可以等效简化为两个共点力。 5、三个共点力平衡条件： 一个物体受到三个以上的力作用而处于平衡状态时，其中任意两个力的合力应该与第三个力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。 平衡的物体：F合外力= 0。

6、推广： 物体在三个以上共点力作用下的平衡条件也是所受合力为零.即F合＝0 7、推论：当物体处于平衡状态时，它所受的某一个力与其余的力的合力等值反向。 (1)物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力必定等大反向，是一对平衡力。 (2)物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力与第三个力等大反向。 (3)物体受N个共点力作用处于平衡状态时，其中任意一个力与剩余(N－1)个力的合力一定等大反向。 (4)当物体处于平衡状态时，沿任意方向物体所受的合力均为零。

三、共点力作用下平衡问题的解题步骤与方法 1、步骤 ①确定研究对象; ②对研究对象进行受力分析，并画受力图； ③根据物体的受力和已知条件，确定解题方法； ④解方程，进行讨论和计算。

2、三个共点力平衡问题一般采用以下几种方法 ①合成法：对于三力平衡，一般根据“任意两个力的合力与第三个力等大反向”的关系，借助三角函数、相似三角形等手段求解 ②分解法：将某一个力分解到另外两个力的反方向上，得到的这两个分力势必与另外两个力等大、反向；借助三角函数、相似三角形等手段求解。 ③正交分解法：对于多个力的平衡，利用先分解再合成的正交分解法。即将各力分别分解到x轴和y轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件FX=0、FY=0 求解，多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。值得注意的是，对x轴、y轴方向选择时，尽可能使落在x轴、y轴上的力多，被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力。

④矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，肯定能构成一个矢量三角形；故利用矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识可求得未知力。 ⑤相似三角形法：通常寻找的是一个矢量三角形与一个结构（几何）三角形相似，用两个三角形对应边成比例，来求矢量三角形力的大小。 ⑥正弦、余弦定理法：三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。 ⑦正交分解法：将各力分别分解到x轴上和y轴上，运用两坐标轴上的合力分别等于零的条件，分别列出x轴与有y轴方向上的关于力的方程ΣFx＝0、ΣFy＝0求解。此方法多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。

例1：如图所示，三角灯架的横梁AO在水平方向，与绳子BO的夹角为300，横梁重力忽略不计，若灯的重力为20N，求绳子BO所受的拉力和横梁AO所受的压力。 解析：方法一 (力的分解法) 灯的重力G在O点可以产生两个效果: 即拉伸绳OB；压缩横梁OA。根据这两个效果，可将重力G按平行四边形定则分解为F1和F2，如图所示。 图3－5－1 绳子所受的拉力是40N，横梁所受的压力为32.9N

例1：如图所示，三角灯架的横梁AO在水平方向，与绳子BO的夹角为300，横梁重力忽略不计，若灯的重力为20N，求绳子BO所受的拉力和横梁AO所受的压力。 解析：方法二 (力的合成法) 根据共点力平衡的特点可知，F1和F2的合力必然与重力G大小相等，方向相反。作出平行四边形，根据受力图示知： 解题时可以以O点为研究对象,那么该点必然受到三个力的作用，即重力G、绳对O点的拉力F1、横梁对O点的弹力F2，如图所示。 图3－5－1 由牛顿第三定律可知，绳子所受的拉力FOB与F1等大反向，横梁所受的压力F横梁与F2等大反向。

例1：如图所示，三角灯架的横梁AO在水平方向，与绳子BO的夹角为300，横梁重力忽略不计，若灯的重力为20N，求绳子BO所受的拉力和横梁AO所受的压力。 解析：方法三 (正交分解法) 仍以O点为研究对象，该点受三个力作用，如图所示。 图3－5－1

图3－5－1 例1：如图，三角灯架的横梁AO在水平方向，与绳子BO的夹角为300，横梁重力忽略不计，若灯的重力为20N， 求绳子BO所受的拉力和横梁AO所受的压力。 T G F 解析：方法四 (矢量三角形法) 物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，肯定能构成一个矢量三角形； T G F 仍以O点为研究对象，该点受三个力作用，如图所示，平移重力G和杆对0点的支撑力（弹力），由矢量三角形定则，得： 图3－5－1 即绳子拉力和杆对0点的支撑力分别为：F1＝40N，F2≈32.9N。

例2：水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装一个小滑轮B，一轻绳的一端C固定在墙壁上，另一端跨过滑轮内后悬挂一质量m=10kg的重物， ，如图，g取 ,求绳子的B点受到滑论弹力。 解：方法五(余弦定理法)以B点为研究对象,因为是一轻绳,所以BC段与BD段拉力相等,大小均为G=mg=100N,并且两段绳子夹为 , 由余弦定理得绳子的 B点受到滑论弹力大小为： A C B D m F′ F 代入数字解得F=100N 绳子的B点受到滑论作用力的方向为F′

例3:如图4-2-4所示，左一细绳C点系住一重物P，细绳两端A、B分别固定在墙上，使AC保持水平，BC与水平方向成300角。已知细绳最大只能承受200N的拉力，那么C点悬挂物体的重量最多为___N。这时细绳的___段即将拉断。 F F1 F2 G 解法一：(力的合成法)根据一个物体受三个力的作用处于平衡状态，则三个力的任意两个力的合力都与第三个力等大反向。 解释：由此可看出BC的张力达到最大时。AC绳的张力还没有达到最大值。在该条件下，BC段绳子即将断裂。 在力的矢量图中，F1和F2的合力竖直向上，大小等于G，由三角函数关系得 设F2达到最大值200N时，可得G=115.6N，F1=231.2N > 200N 由此可看出AC的张力达到最大时，BC绳的张力已经超过其最大承受能力。在该条件下BC绳子早已断裂。 同时有： 从以上分析可知，C点悬挂物体的重量最多为100N，这时细绳BC段即将断裂。 当F1达到最大值200N时，得：G=100N，F2=173N。

如图4-2-6所示，将F1拉力按水平X轴和竖直方向y轴两个方向进行正交分解，由力的平衡条件可得：G=F1sin30°，即： 例3:如图4-2-4所示，左一细绳C点系住一重物P，细绳两端A、B 分别固定在墙上，使AC保持水平，BC与水平方向成30°角。已知 细 绳最大只能承受200N的拉力，那么C点悬挂物体的重量最多为________N。这时细绳的________段即将拉断。 解法二：正交分解法 如图4-2-6所示，将F1拉力按水平X轴和竖直方向y轴两个方向进行正交分解，由力的平衡条件可得：G=F1sin30°，即： Y X O F1 F2 G 而F2= F1cos30°= mg 30 设F1达到最大值200N时，可得G=100N，F2=173N

例4：如图，如果小球重3Ｎ，光滑斜面的倾角为300度，求斜面及竖直放置的挡板对小球的作用力。 N1 N 分析：以小球为研究对象，小球受到斜面对它 的作用力　 挡板对它的作用力　 和重力Ｇ这 三个力的作用，根据共点力的平衡条件，　和　 的合力Ｎ与重Ｇ的大小相等。　　 N2 解：小球的受力分析如图所示，由几何关系得：　 G 相关链接 代入数据解得： N1 N2 G 30 即斜面对球的作用力3.5Ｎ，挡板对球的作用力1.7Ｎ。

五、用共点力平衡解题方法和步骤 1、确定研究对象 (1)可以是一个物体 (2)一个结点 (3)一个系统（相互作用物体的全体）在分析外力对系统的作用时用整体法；在分析系统内部物体间相互作用力时用隔离法。 ①思路：确定对象 分析受力 画受力图。 ②方法：隔离法。 ③顺序：重力 弹力 摩擦力 其它力。 2、受力分析的三个判断依据： （1）从力的概念判断，寻找对应的施力物； （2）从力的性质判断，寻找产生的原因； （3）从力的效果判断，寻找是否产生形变或改变运动状态（是 静止，匀速运动还是有加速度）。

3、动态平衡问题的分析方法 例题5：(双选)重为G的物体系在两根等长的细绳OA、OB上，轻绳的A端、B端挂在半圆形的支架上，如右图所示，若固定A端的位置，将绳OB的B端沿半圆形支架从水平位置逐渐缓慢地移至竖直 位置C的过程中，则(　　) A．OB绳上的拉力先增大后减小 B．OB绳上的拉力先减小后增大 C．OA绳上的拉力先增大后减小 D．OA绳上的拉力不断减小 解析：绳子OA的拉力FA和绳子OB的拉力FB的合力F始终与G大小相等、方向相反，随B沿半圆形支架从水平位置逐渐移至C的过程中，合力F与FA、FB的关系如左图所示。从图可以看出FB先减小后增大，FA逐渐减小。

例6：半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板MN．在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于平衡状态，如图所示是这个装置的截面图．现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，发现P始终保持静止．则在此过程中，下列说法中正确的是（ ） A．MN对Q的弹力逐渐减小 B．P对Q的弹力逐渐增大 C．地面对P的摩擦力逐渐增大 D．Q所受的合力逐渐增大 解析：选B、C，圆柱体Q的受力如图所示，MN缓慢地向右平移过程中，它对圆柱体的作用力F1方向不变，P对Q的作用力F2的方向与水平方向的夹角逐渐减小，由图可知MN对Q的弹力F1逐渐增大，A错误；P对Q的弹力F2逐渐增大， B正确；以P、Q为整体，地面对P的摩擦力大小等于MN对Q的弹力F1，，故地面对P的摩擦力逐渐增大，C正确；Q所受的合力始终为零，D错误。

例7：如图所示，一个重为G的匀质球放在光滑斜直面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化？ 解析：（图解法）小球受重力G、挡板弹力F和斜面弹力FN三力作用而处于平衡状态。则G、FN、F三力可组成一闭合矢量三角形。 FN F4 当挡板与斜面夹角β逐渐增大时，力FN的方向不变，力G的大小方向都不变，而挡板对球的弹力F的方向则绕球心O逆时针旋转，依次变为F1、F2、F3……。挡板对球的弹力F变化的同时，斜面对球的弹力FN也将变化，但G、FN、F三力将不断组成新的闭合矢量三角形，如图所示。由图可知，随着β角的增大，F的变化是先减小，后增大，当β＝90°时F取最小值；而随着β角的增大，FN却一直在减小。 F3 F2 G F1 F 答案：球对挡板的压力先减小后增大，球对斜面的压力一直减小。

例8：如图，长L=5m 的细绳两端，分别系于竖立在地面上相距为S=4m的细杆A、B点上，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下端连着重G=12N的物体P，平衡时绳中的张力为T= ，若将A点缓慢向杆下方移动一小段时，绳上张力的变化情况是（ ）。 A. 均不变 B. 均变大 C. 均变小 D. 均先变小后变大 结论：由于挂钩是光滑的，相当于动滑轮，则BO与AO实际上是同一根绳子，则知整根绳子的张力处处相等。选轻质挂钩为研究对象，经受力分析可知两根绳子与水平方向的夹角相等，而将A点下移一点后，由于长绳和A、B两点水平间距不变，可推知绳子与水平方向的夹角不变，则绳中张力不变。 解：设OA绳受力为F1 ，OB绳受力为F2 由于 那么： 得 沿长AO到C，由于OC等于OB，则： B A C O 12N 则 又由于

补充例题： 例9：如图所示，现用两根绳子AO和BO悬挂电灯，已知AO绳与天花板水平顶棚间的夹角为，BO绳水平，每根绳子所能承受的最大拉力均为10N，则以下几个不同重力的电灯中能安全悬挂的是（ ） A. 2N B. 5N C. 8N D. 10N 分析：此题中尽管两根绳子能承受的最大拉 力均为10N，由于 可 知，他们各自所受的实际弹力并不相同。 可通过分析O点的受力，找出两根绳子的弹力与所挂电灯的 重力间的关系，进而分析得出实际承受的弹力最大的绳子以及它与重力之间的关系，既可判断所能挂电灯的最大重力。答案：AB

例10：如图4所示的直角三角形支架，是由轻杆AB和BC利用铰链连接组成，若在B点处悬挂着一个重10N的物体，求AB和BC杆所受的弹力各是多大。 解析：解法1：取结点B为研究对象，它受到三个力的作用：悬线的拉力F，AB杆的拉力F1和BC杆的支持力F2（如图所示，因为各结点均用绞链连接，所以杆上力沿杆）。据共点力的平衡条件，F1与F2的合力F′必与F等大反向。据图和数学知识可得：

例10：如图4所示的直角三角形支架，是由轻杆AB和BC利用铰链连接组成，若在B点处悬挂着一个重10N的物体，求AB和BC杆所受的弹力各是多大。 解得： F1＝F2cos53°＝7.5N 4、隔离法分析平衡问题的方法

例11:如图所示，A球重G1＝60N，斜面体B重G2＝100N，斜面倾角30°，一切摩擦均不计，则水平力F为多大时，才能使A、B均处于静止状态?此时竖直墙壁和水平地面受到的弹力各为多大? 对A有：F2sin30°＝F1 ① F2cos30°＝G1 ② 对B有：F＝F2'sin30° ③ F3＝F2'cos30°+ G2 ④ 其中F2和 是一对作用力与 反作用力 ⑤ 代入数据，联解得： 则竖直墙壁和水平地面受到的弹力分别为 、160N。

例11：如图所示，A球重G1＝60N，斜面体B重G2＝100N，斜面倾角30°，一切摩擦均不计，则水平力F为多大时，才能使A、B均处于静止状态?此时竖直墙壁和水平地面受到的弹力各为多大?

C．桌面对A、B对A都有摩擦力，两者方向 相同，合力大小为m0g D．桌面对A、B对A都有摩擦力，两者方向 相反，合力大小为m0g 5、隔与摩擦力相关的平衡问题的分析方法 例12：A、B、C三个物体质量分别为M、m和m0, 作如下图所示的连结，绳子不可伸长，且绳子质量、滑轮的摩擦均不计，若B随A一起沿水平桌面做匀速运动，则可以断定: 解析：A、B一起做匀速运动，它们所受的合外力必为零．为了便于分析A、B之间的作用力，可隔离A、B，逐个分析受力情况。先分析B的受力情况：B在水平方向只可能受到A对它的摩擦力作用，除此之外没有其他物体对B施加水平方向的作用力，而由B做匀速运动可知，B在水平方向上所受合力必为零，所以B不可能受到A施加的摩擦力作用。 A．物体A与桌面间有摩擦力，大小为m0g B．物体A与B间有摩擦力，大小为m0g C．桌面对A、B对A都有摩擦力，两者方向 相同，合力大小为m0g D．桌面对A、B对A都有摩擦力，两者方向 相反，合力大小为m0g 　　对于A物体在水平方向与绳子相连，而绳子系着C物体做匀速运动，所以绳子的拉力等于C的重力大小，故绳子对A物体施加一水平向右的拉力作用，大小为m0g，要使A物体平衡，桌面需对A施加一水平向左的摩擦力作用。故本题的正确选项应为A。

例13:如图所示，置于倾角θ＝37°的斜面上的物体，质量m＝8kg、在水平力F作用下保持静止，试求下列情形下物体与斜面之间的静摩擦力Ff的大小。（1）F＝50N；（2）F＝60N；（3）F＝70N（已知sin37°＝0.6；cos370＝0.8；g＝10m/s2） 解答：Fcosθ＋Ff－mgsinθ＝0 ① 解析：m受力如图所示（在不明确摩擦力的方向时可以按自己想象的假设一个，本题中假设向上），将力F、mg分别沿斜面和垂直于斜面方向分解、由平衡条件得： FN－Fsinθ－mgcosθ＝0 ② 由①得Ff＝mgsinθ－Fcosθ (1)F＝50N时 Ff＝mgsinθ－Fcosθ ＝8×10×0.6N－ 50×0.8N ＝8N (2)F＝60N时，Ff＝0N (3)F＝70N时，Ff＝－8N (负号表示Ff方向沿斜面向下)

针对练习：1．如图所示，物体A在水平力F1=400N的作用下，沿倾角 的斜面匀速下滑．物体A的重力G=400N，求斜面对物体A的支持力和A与斜面间的动摩擦因数 ． 解析：取物体A为研究对象，物体A受到四个力的作用：竖直向下的重力G，水平向右的力FI，垂直于斜面斜向上方的支持力F2，平行于斜面向上的滑动摩擦力F3，如图所示。物体A在这四个共点力的作用下处于平衡状态，取平行于斜面的方向为X轴，垂直于料面的方向为y轴，分别在这两个方向上应用平衡条件，由平衡条件可知，在这两个方向上的合力FX合和FY合应分别等于零，即 由②式可解得 由①式可解得 由滑动摩擦定律 答案：56N；0.27 30

六、小结 　 共点力作用下物体平衡的运动学特征是保持静止或匀速直线运动状态。 　 共点力作用下物体的平衡条件是合力为零。 　 共点力作用下物体平衡的解法有多种，但每种都以F合=0为根据。 　 常用的解法是将力正交分解后，按Fｘ=0，Fｙ=0求解。