第一篇 力 学 第五章 波动学基础

内　容　结　构 一　波动的运动学规律 (引入运动学参量、运动学方程、波动的合成) 二　波动的动力学规律 三　波动的能量 四　多普勒效应

§5-1 波动的运动学规律 一 有关机械波的基本概念 1.机械波：机械振动在介质中的传播过程称为机械波 §5-1　波动的运动学规律 一　有关机械波的基本概念 1.机械波：机械振动在介质中的传播过程称为机械波 说明：A.机械波产生的前提条件是：存在波源；存在传播 　　　　振动的弹性介质（但不是所有的波都需要弹性介质） 　　　B.波动产生的物理机制：波是振动质点带动邻近质点 　　　　振动，由近及远向外传递振动的结果。是振动的向 　　　　外传递，不是介质质点自身向外运动的结果。 2.机械波的种类：纵波和横波 　纵波：振动方向与波的传播方向垂直的波，称为纵波 　　　纵波依靠介质纵向的弹性使振动由近及远向外传播。 　　　纵波可在固体、液体、气体中传播。

影响纵波的传播速度的因素有：介质的密度；介质的杨氏弹 　性模量(Y，固体)，体变模量(B，液体、气体)等。 纵波的特征是有凹凸的波峰、波谷。 横波：振动方向与传播方向平行的波称为横波 　　　横波依靠介质切向的弹性使振动由近及远向外传播

横波只能在固体中传播。 影响横波的传播速度的因素有：介质的密度；介质的切变弹 　性摸量(G，固体)。 横波的特征是有稀密相间的不同介质区域。 二　理想机械波模型 1.振源与弹性介质保持相对静止 　——介质振动频率与振源振动频率相同。 　A.从机械波产生的物理机制角度理解。 　B.稳定、无阻尼受迫振动的振动频率与受迫力频率相等 2.弹性介质无阻尼或能量吸收——波在传递过程中振幅不变 三　描述机械波的物理参量 1.描述机械波的解析物理参量——波长、频率(周期)、波速

(1).波长(λ)：沿波传播直线上两个相邻同相点 　　（相位差为2π）之间的距离。 说明：一个波长范围内包含了一个“完整的波”，即包含了质 　　 点振动的各种可能振动步调(相位) 波数( )：波长的倒数称为波数。或：单位长度所包含的完整 　　波的数目，称为波数。 (2).频率(　)：单位时间内给定的完整波的个数。 　 周期(T)：传递一个完整波所需的时间。或：频率的倒数 (3).波速( v )：单位时间波向外传播完整波数对应的距离 说明：波的传播速度等于振动的相位传播速度

波长、频率、相位之间的普适关系 2.描述机械波的辅助物理参量——波线、波面、波前(几何描述) (1).波线：波向外传播的方向构成的曲线，称为波线。 　 波线上任意一点的切线方向与该点波的传播方向相同 波矢：特定的波线的矢量，　　　　　称为波矢 　其中　　为波矢的单位矢量 (2).波面：介质中振动相位相同的点构成的曲面，称为波面 　 不同波面上振动的质点有一定的 　相位差。相距一个波长的两波面 　的相位差为2π 波面 波前 波线 (3).波前：某时刻介质中刚开始振动的 　 点构成的曲面，或者位于所有波面 之前的波面

A.波线与波面、波前一定垂直。 B.波向外传播过程可以看作为波前以波速向前推进的过程 C.理想机械波模型中，波前的相位一定等于振源的初相位 证明：设振源的简谐振动为 任意时刻t振源的相位为 设机械波传递到波前处所需时间为t，考虑到介质质点振动 频率与振源振动频率相等，如所有介质质点振动采用同一 记时起点，则波前的相位比振源相位落后 于是，t 时刻波前的相位为 例：声音在空气和水中的波速分别为340m/s，1450m/s。 求：(1).频率分别为200Hz，2000Hz的声波在空气、水中的波长 (2).说明声音在空气和水中的频率为何保持不变

解：(1).空气中 水中 (2).在理想机械波模型下，介质中质点的振动频率始终与振源 　 振动频率相等。与介质结构无关 四　平面简谐波的运动学描述 平面波：波面为平面的波，称为平面波。 简谐波：传递简谐振动的波，称为简谐波 1.平面波的运动学方程——波函数 目的：描述距振源任一距离处质点的振动情况 设 t 时刻x=0的质元振动方程为

设平面波的波速为v，则距离振源x点处的相位 或者写为 波函数的标准形式 讨论：波函数的物理意义 A.波函数表示沿波线方向振动状态的周期性分布

当　　　时，波函数表示该点质点的振动方程 任意两点　，　的相位差为 称为波程差。 相位差与波程差之间的关系 当　　　　　　　 （　　）时 。两点振动的相位相同 当　　　　　　　　 　　（　　）时 　　。两点振动的相位相反

B.波函数表示各质点相对于各自平衡位置的位移分布 当　　时，波函数表示各质点相对于各自平衡位置的位移分布 当　　　　（　　　）时，　　　　　　， 波形向前推进　　的距离(波形向前推进的速度为v)。 例：已知平面简谐波的波动方程 求：1.波的振幅、周期、频率、波长 2.距波源　处质点的振动方程 　 3.距波源x1=0.20m，x2=0.40m两处的相位差。 解：1.由于波函数的标准形式能直接读出振幅、周期、波长， 　　因此，在求波函数的基础物理量时，一般将波函数改写 　　为波函数的标准形式来求解

将波函数改写为标准形式为 与波函数的标准形式对比可得 2.将　　　代入波动方程可得 3.由　　　　　可得 例：一平面简谐波的波速为20m/s，沿直线传播。在路径中A 　点的振动方程为,如图 求：1.以A为坐标原点，写出波动方程 　　2.以B为坐标原点，写出波动方程 　3.以B为坐标原点，写出C、D的振动方程及振动速度表达式

解：1.由波动方程的普遍形式 以A为原点写波动方程，关键要求出波函数的基础物理参量 由 可得 波函数为 2.以B为坐标原点时，由于B点比A点坐标超前，即 因此，只需要将以A为坐标原点的波动方程中的记时起点换 为以B为坐标原点的记时起点即可

3.将C、D两点坐标代入上式即可求出C、D两点的振动方程 速度振动方程只需对上面两式求导 例：一平面波沿x轴正向传播，振幅为A，频率为ν，波速为v 　　设t=t’时波形如图。 求：1.x=0 处质点的振动方程 2.该波的波动方程 分析：求振动方程、波动方程即求 已知：A

因此，关键求出 对　　　处，由振动方程可得 由已知，此时波沿x轴正向传播，理解为波整体向右移动，可 知此时振动的速度为负，即 于是

§5-2　波动的动力学规律 一　波的动力学方程 例：推导轻质、柔弦的微振动方程 如图，由牛顿定律有 微振动时 联立求解得

讨论：1.波动动力学方程的推导步骤 取微元对象受力分析列动力学方程取近似得微分方程 二　波速 由波动方程 可得 所以 对比 可知 即：波动方程空间二次导数前的系数就是波的传播速度

讨论：影响波的传播速度的因素 对其它波动形式的方程作类似推导，可得各种波动的波动方 程及传播速度，由传播速度的表达式，容易知道影响波传播 速度的因素 绳的微振动横波 T：绳的张力 杆的纵向微振动波 Y：杨氏弹性模量 杆的横向微振动波 G：切变弹性摸量 声音在空气中传播 B：体变模量 真空中的电磁波 ０真空介电常数，０真空磁导率

§5-3 波动的能量和能流 一 简谐波的能量 设简谐波为 则在点处 介质内的机械能为 (1).动能 (2).弹性介质 内的势能 §5-3　波动的能量和能流 一　简谐波的能量 设简谐波为 则在点处 介质内的机械能为 (1).动能 (2).弹性介质　　内的势能　 A.弹性微元的弹性应变 如图，取微元 初始时刻微元端点坐标分别为 x，x+x。某一振动时刻两端 点位移分别为y(x,t)和y(x+x,t)

B. 弹性介质　　内的势能 由弹性模量Y的定义 可得 (其中， ) 与弹簧谐振子回复力公式类比，可得杆纵振动的弹性势能为 或 于是

讨论 1.能量密度：弹性介质单位体积的能量，称弹性介质的能量密度 A.能量密度随时、间变化，不构成简谐波，但传递速度仍为v B.能量密度的角频率为简谐振动角频率的二倍，因而周期、波 　长为简谐振动的一半 C.平均能量密度为 2.微元机械能不守恒 知：微元的动能、势能、总机械能同时达到最大或最小。微元 的总机械能是不守恒的，这正表明机械波是要向外传播能量， 这一点，刚好与简谐谐振动机械能守恒相反

二　简谐波的能流密度(波的强度) 1.能流矢量 　单位时间通过介质中与传播速度垂直的某一面积的能量 2.平均能流矢量 3.能流密度矢量（坡印亭矢量） 单位时间通过介质中与传播速度垂直的单位面积的能量 4.平均能流密度矢量 对平面简谐波

例：在各向同性的理想介质中 求：点波源振幅、强度随距离的变化关系 解：由能量守恒 可得 振幅随距离呈1次方衰减 波的强度随距离呈2次方衰减 (1).z-2衰减曲线　(2). z-１衰减曲线 (3).三角形脉冲 (4).高斯脉冲 (5).正弦脉冲　　 (6).等腰梯形脉冲 (7).矩形脉冲 不同波形的衰减特性 log(z) log(Gc/g0) 1 2 4 5 6 3 7 可得 振幅随距离呈1次方衰减 波的强度随距离呈2次方衰减

例：声波在液体中的强度： ；频率； 液体的密度：　　　　　　声速： 求：液体质元振动的振幅 解：由 可得 由此可见，声波在液体中的振幅实际上是很小的 三　声强与声级 人的听觉与声强的对数成正比，于是声强定义为 采用分贝dB单位

§5-4 波的干涉 驻波 一 惠更斯原理 1.惠更斯原理 任一时刻波前上各点都可作为子波的波源，向前发出子波， §5-4　波的干涉　驻波 一　惠更斯原理 1.惠更斯原理 任一时刻波前上各点都可作为子波的波源，向前发出子波， 后一时刻各子波的包迹，就是该时刻新波的波前 惠更斯原理的重要性在于：只要知道了某一时刻波的波阵面， 就可以用几何方法决定下一时刻的波阵面及波的传播方向

2.惠更斯原理的应用 例：用惠更斯原理解释平面波、球面波的传播 方法：1.找出t时刻波的波阵面 2.以t时刻的波面为新的波源，画出经时刻后的t1时刻子波波前 3.画出t1时刻子波波前的包迹，即为该时刻的波阵面 4.确定求出的波阵面的几何形状和传播方向 例：用惠更斯原理解释波的衍射、折射、 反射等规律 二　波的叠加原理(波的独立性原理) A.各列波相遇后它们各自原有的特点 (频率、波长、振幅、振动方向等)不变， 按各自原有的方向　传播，好象在各自 的传播过程中没有遇到其他波一样

B.在各列波相遇的区域里，任意质点的振动，为各列波在该点 　引起的振动的矢量叠加 三　波的干涉 1.波的干涉的相关概念 A.相干波：满足相差恒定、振动频率相同、振动方向相同的波 B.波的干涉：相干波在其公共区域内叠加，形成公共区域内合 　成波强度随空间坐标而异的强度稳定分布现象，称波的干涉 2.干涉现象中的波的强度空间分布 设两列相干波源的振动分别为

在空间相遇点P的振动分别为 由叠加原理，两列波在公共区域内的合成振动为 其中 讨论 1.相长干涉 2.相消干涉

3.特例 当　　　时 即相位差取决于： 称　为波程差 此时的相长干涉条件为 此时的相消干涉条件为

例：已知振源S1，S2如图，PS1=4m，S1S2=3m，两振动有如下 　　共同物理量：A=5cm，v=330m/s，v=165Hz，2-1= 求：在P点的干涉结果 解：求干涉结果，即求解以下两个物理量 由于 2-1= 于是

四　驻波 1.驻波的相干条件：两波振幅相同、频率相同、振动方向相 　同、在同一条直线上反向传播 2.驻波的形成及数学表达式 设两列满足驻波条件的相干波分别为 于是，合成波为 讨论：(1).振幅分布规律 A.振幅只与空间位置有关，与时间无关。即对一确定的空间 　位置，振幅是一定的

B.当 ，即 时， 此时对应的坐标点点称为波腹 相邻波腹的距离为 当 即 时， 此时对应的坐标点点称为波节 相邻波节的距离为 (2).相位分布规律 每一波节两侧半个波长内的质点振动的相位相反，相邻两波 节之间的质点振动相位相同

因 当　　　　　　时，　　　　　 即相邻两波节之间的质点振动相位相同 当　　　　　　时，　　　　　 即每一波节两侧半个波长内的质点振动的相位相反 (3).驻波的能量：由形成驻波的条件可知，驻波并不传递能量 (4).半波损失的概念 实验发现，对于绳子的固定端，该点是入射波与反射波在绳上 形成的驻波之波节。由振动的合成可知，该点的入射波与反射 波的相位一定相差半个周期(入射波在该点反射时有的相位突变 或半个波长)。称该现象为半波损失

对绳子的自由端，入射波与反射波没有相位突变，或不构成 驻波波节。因此，没有半波损失 一般情况下，入射波在反射时是否存在半波损失，取决于介 质密度、入射角等因素 对于两端固定绳子上形成的驻波，由于在两个端点必然是驻 波节点，因而，可能的驻波波长必须满足 或 即：可能的驻波必须是某一基波的整数倍。m=1的频率称基频 其它的波称为谐波。所有这些振动称为简正振动。所有的频率 构成弦振动的本征频率 当外界激发频率等于振动系统的本征频率时，就会引起驻波， 这种现象也称为共振

例：波源位于O点处，振动方程为：　　　　　，在　　　　 　　处的Q点有一反射墙壁。 求：(1).沿x轴正向、负向传播的波动方程 (2).反射的波动方程 (3).OQ区域内合成波的方程 (4).x>0区域内的合成波动方程 解：(1). 沿x轴正向传播的波动方程 沿x轴负向传播的波动方程 (2).反射的波动方程，入射到Q点的振动方程为 考虑到墙壁引起的相位突变，Q点的振动方程为

故QO区域内反射波的方程为 在x>0区域内反射波的方程为 即，反射波波动方程可以统一表示为 (3).OQ区域内合成波的方程 (4).x>0区域内的合成波动方程

例：长为l的绳两端固定，线密度为　，张力为T 求：此弦中的振动频率（固有振动的本征频率） 解：弦两端固定，端点应为节点。而驻波相邻两点的距离为　 　　的整数倍。于是 其中 于是 基频为　　　　　，基频取决于绳子的长度、密度、张力 例：假定原子中核外电子绕核运动遵守某种简谐波的波动规律 求：原子中电子的轨道半径必须满足的条件 解：原子必须是稳定的，由波的干涉情况可知：只有当电子的

§5-5 多普勒效应 波形成稳定驻波时，原子才可能稳定。由驻波条件，轨道周长 必须为电子波长的整数倍，于是 §5-5　多普勒效应 多普勒效应：当波源与观察者发生相对运动时，观察者测得 的波的频率发生变化 一　波源与观察者均相对于媒质静止情况 当波源与观察者保持相对静止时，观察者测得波的频率为单位 时间内经过观察者所在观察点的完整波数 即观察者测得的频率等于振源的振动频率

二　波源不动，观察者以速度vR运动 当波源与观察者保持相对静止时，观察者测得波的频率为 当观察者以速度 相向光源运动时，他将多测到经过观察点 的波数为　　，观察者测得波的频率为 vR 即，观察者测得的波的频率为静止时的　　　倍 当观察者以速度远离光源运动时 三　观察者不动，波源相对于媒质以速度vS运动

相对静止时观察者观察到的波长为　　　，则当波源以速度 　相向观察者运动时，观察到的波长为 现在的频率为 当波源以速度　 远离观察者运动时，观察到的频率为 四　观察者与波源同时相对于媒质运动 观察者与波源同时运动时，可以将该运动分解为两个分运动的 叠加——波源静止，观察者运动叠加波源运动而观察者静止

于是，当两者相向运动时 当两者远离运动时 例：设原子静止时所发射光波波长为0 求：相对于原子以速度v的观察者观察到的光波波长 解：光波与机械波的差别在于它不需要介质传播，而是自身传 　播，且光速恒为c。因此，影响观察者测量的频率只取决于 　光源与观察者之间的相对运动。 　如图，设观察者以速度v相对于光源运动，为使讨论具有一般 　性，我们考虑相对论效应。 　设在静止系中测量原子光谱的周期为T，则观察者测得的周期

由 可得 而 于是 考虑到 可得 或

即：光线的传播方向与相对运动的速度方向一致时，波长变短 反之，波长会变长 在地球上的观察者观察天体的运动，当天体远离地球而去时， 相对运动方向与光线传播方向相反，此时，测得的光波波长 变长。称此现象为“红移”。 测量光线的红移程度，可知天体的运动情况。 例：飞行物以速度uR远离观察者飞行，由静止波源向飞行物发 　射频率　　　　　的超声波，波源测得反射波与发射波引起 　的拍频为100Hz，声速为v=340m/s。 求：飞行物的飞行速度。 解：拍频为发射波与反射波频率之差：　　　　。其中　为反 射波的频率。反射波的频率应等于飞行物接收到的超声波的频

率，由于飞行物以速度vR远离波源运动，因此，飞行物接受到 的频率应为： 于是