1.3 在整除性問題之應用 附加例題 3 © 文達出版 (香港 )有限公司
1.3 附加例題 3 利用數學歸納法，證明對所有正整數 n，an bn 能被 a b 整除。 解 © 文達出版 (香港 )有限公司
解 設 S(n) 為以下的命題： “ an bn 能被 a b 整除”， 又設 (n) = an bn。 附加例題 3 利用數學歸納法，證明對所有正整數n，an bn 能被 a b 整除。 設 S(n) 為以下的命題： “ an bn 能被 a b 整除”， 又設 (n) = an bn。 當 n = 1 時， (1) = a b (1) 能被 a b 整除，也就是 S(1) 是正確的。 假設對於正整數 k，S(k) 是正確的， 即 (k) 能被 a b 整除，也就是存在一個正整數 m，使得： (k) = ak bk = m(a b) © 文達出版 (香港 )有限公司
解 當 n = k + 1 時，我們有 (k + 1) = ak+1 bk+1 = a ak b bk 附加例題 3 利用數學歸納法，證明對所有正整數n，an bn 能被 a b 整除。 當 n = k + 1 時，我們有 (k + 1) = ak+1 bk+1 = a ak b bk = a(ak bk) + a bk b bk = am(a b) + bk(a b) = (a b)(am + bk) m 和 k 皆為整數， am + bk 為一整數。 (k + 1) 能被 a b 整除，也就是 S(k + 1) 是正確的。 根據數學歸納法的原理，對所有正整數 n，S(n) 是正確的。 © 文達出版 (香港 )有限公司