电子测量技术 贾丹平

第二章 测量误差和测量数据处理 §2.1 测量误差的基础知识 第二章 测量误差和测量数据处理 §2.1 测量误差的基础知识 §2.1.1 基本概念 一、误差 1、真值：指该物理量在测量进行的时间和空间条件下的真实量值。 2、实际值：在每一级比较中，都以上一级标准所体现的值当作准确无误的值，通常称为实际值，也叫作相对真值。 3、标称值：测量器具上标定的数值为标称值。由于制造和测量精度不够以及环境等因素的影响，标称值不一定等于它的真值或实际值。

4、示值：测量器具指示的被测量的量值，包括数值和单位。 示值与仪表的读数有区别。 对于数字显示的仪表，其示值与读数一致。 5、测量误差：测量仪表的测得值与被测量的真值之间的差异。 产生误差的原因：测量器具不准确、测量手段不完善、环境影响、测量操作不熟练、工作疏忽。 具有必然性和普遍性 6、单次测量和多次测量： 7、等精度测量和非等精度测量：

二、误差的表示方法： 1、绝对误差： （1）定义：由测量所得到的被测量值x与其真值A0的差。 △x=x- A0 A0可用实际值A代替：△x=x- A 是有单位有符号的量 【例2.1.1】一个被测电压，其真值U0为100V，用一只电压表测量，其指示值U 为101V，则绝对误差 　　　　　　△U=U-U0=101-100=1V 注意啦!

(2)修正值（校正值）：与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值称为修正值，用C表示。 【例2.1.2】一台晶体管毫伏表的10mV挡，当用其进行测量时，示值为8mV，在检定时8mV刻度处的修正值是-0.03mV，则被测电压的实际值为 U=8+(-0.03)=7.97(mV) * 测得值与被测量实际值间的偏离程度和方向通过绝对误差来体现，但仅用绝对误差，通常不能说明测量的质量。 想想!

（1）定义：测量的绝对误差与被测量的真值之比。 A0可用实际值A代替 实际相对误差： 示值相对误差： 2、相对误差： （1）定义：测量的绝对误差与被测量的真值之比。 A0可用实际值A代替 实际相对误差： 示值相对误差： 【例2.1.3】测量两个电压，其实际值为U1=100V, U2=5V，而测得值分别为101V和6V。则绝对误差为 △U1=101-100=1V △U2=6-5=1V 相对误差为：γ1=△U1/U1=1% γ2=△U2/U2=20%

(2) 满度相对误差 (引用误差): 我国电工仪表的准确度等级S就是按满度误差分级的,可划分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0七级。 【例2.1.4】某电压表S=1.5，试计算出它在0V~100V量程中的最大绝对值误差。

【例2.1.5】某1.0 级电流表,满度值Xm=100vA ,求测量值分别为X1=100vA ，X2=80vA， X3=20vA 时的绝对误差和示值相对误差。 通过计算你能得到什么结论? 说说看!

1、在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。 2、仪表的准确度并不是测量结果的准确度，通常测得值的准确度将低于仪表的准确度等级。 结论： 1、在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。 2、仪表的准确度并不是测量结果的准确度，通常测得值的准确度将低于仪表的准确度等级。 3、在进行量程选择时应尽可能使示值接近满度值，一般以示值不小于满度值的2/3为宜。 【例2.1.6】要测量100℃的温度，现有0.5 级,测量范围为0~300 ℃; 1.0 级测量范围为0~100 ℃的两种温度计,试分析各自产生的示值误差.

(3)分贝误差：分贝误差是用对数形式表示的一种误差，单位为分贝(dB).分贝误差广泛用于增益(衰减)量的测量中。

【例2.1.7】某电压放大器，当输入端电压Ui=1.2mv时, 测得输出电压Uo=6000mv, 设Ui误差可忽略, Uo的测量误差为±3%.求: 放大器电压放大倍数的绝对误差, 相对误差, 及分贝误差和实际电压分贝增益.

§2.1.2 测量误差的来源 一、仪器误差 (设备误差）: 1.999999V 1.999V 读数误差、噪声误差、稳定误差、动态误差、辅助设备误差 指针式仪表的零点漂移、刻度误差以及非线性引起误差； 非线性 数字式仪表的量化误差（如6位半的电压表比3位半量化误差小）； 1.999999V 1.999V 比较式仪表中标准量本身的误差 （如天平的砝码）均为仪器误差。

§2.1.2 测量误差的来源 二、使用误差（操作误差）: 三、人身误差： 是由于对测量设备操作使用不当 减少使用误差的最有效途径是提高操作技能 三、人身误差： 由于测量者感官的分辨能力、视觉疲劳、固有习惯等而对测量中实验中的现象与结果判断不准确而造成的。

§2.1.2 测量误差的来源 四、影响误差 五、方法误差（理论误差） 是指各种环境因素与要求条件不一致 环境温度、湿度、电源电压、电磁干扰等 使用的测量方法不当，测量依据的理论不严密、对测量计算公式不适当简化等原因造成的。

§2.1.2 测量误差的来源 例如：用普通模拟式万用表测量高阻上的电压。 100k 1mA v 电压表内阻

§2.1.2 测量误差的来源 测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似值计 算测量结果时所引起的误差称为理论误差。例如，用谐振法测量 频率时，常用的公式为 但实际上，回路电感L中总存在损耗电阻r，其准确的公为

§2.1.3 测量误差的分类 一、系统误差 1、定义：在多次等精度测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或当条件改变时按某种规律变化的误差称为系统误差，简称系差。 2、分类：恒定系差、变值系差（累进性系差、周期性系差、按复杂规律变化的系差） 3、系统误差的主要特点： 条件不变，误差不变 条件改变，误差遵循某种确定的规律而变化，具有可重复性。

4、产生系差的原因： 测量仪器设计原理及制作上的缺陷 测量时环境条件与仪器使用要求不一致 采用近似的测量方法或近似的计算公式 测量人员主观原因

二、随机误差 1、定义：对同一量值进行多次等精度测量时，其绝对值和符号均以不可预定的方式无规则变化。 2、特点：有界性、对称性、补偿性、单峰性

N Ri Vi 1 85.30 +0.09 9 85.21 0.00 2 85.71 +0.50 10 84.97 -0.24 3 84.70 -0.51 11 85.19 -0.02 4 84.94 -0.27 12 85.35 +0.14 5 85.63 +0.42 13 6 85.24 +0.03 14 85.16 -0.05 7 85.36 +0.15 15 85.32 +0.11 8 84.86 -0.35 平均值 ∑Vi=0

可以看出以下几点： ①正负误差出现的概率基本相等，反映了随机误差的对称性. ②误差的绝对值介于(0,0.1)(0.1,0.2) (0.2,0.3) (0.3,0.4)、 (0.4，0.5)区间，大于0.5的个数分别为6、3、2、1、2个和1个，反映了绝对值小的随机误差出现的概率大，绝对值大的随机误差出现的概率小. ③ ∑ui＝0，正负误差之和为零，反映了随机误差的抵偿性。 ④所有随机误差的绝对值都没有超过某一界限，反映了随机误差的有界性。

3、随机误差产生的主要原因： 测量仪器产生的噪声、零部件配合的不稳定、摩擦、接触不良 温度及电源电压无规则波动，电磁干扰等 测量人员感觉器官的无规则变化而造成的读数不稳定等

三、粗大误差 1、定义：在一定的测量条件下，测得值明显地偏离实际值所形成的误差，称为疏忽误差。 2、产生原因： 测量方法不当 测量操作疏忽和失误 测量条件的突然变化

精度定义：测量结果与被测量真值相一致的程度。 不仅用来评价测量仪器的性能，也是评定测量结果的最主要最基本的指标。 四、测量结果的评定 精度定义：测量结果与被测量真值相一致的程度。 不仅用来评价测量仪器的性能，也是评定测量结果的最主要最基本的指标。 精密度：表示测量结果的分散程度。反映随机误差的影响。 准确度：说明仪表指示值与真值的接近程度。反映系统误差的大小。 精确度：是精密度和准确度的综合反映。

系统误差 ε 小，准确度高 A 或 Xi 随机误差 δ 小 ，精密度高 或 A Xi A 系统误差和随机误差都较小，称精确度高 A 或 Xi

§2.2 随机误差的分析 1、样本平均值： 一、测量值的数学期望和标准差 2、数学期望（总体平均值）： 注意：☆随机误差的数学期望为0. ☆测得值的数学期望等于被测量真值.

2、残差（剩余误差）： xi xi 注意： ☆残差的代数和等于0. ☆当测量次数趋于无穷时，残差等于随机误差. 例：两批电池的测量数据 · n X xi · n X xi 误差离散性小 误差离散性大

3、方差和标准差 结论： ☆标准差反映测量的精密度。

举例：对一电阻进行n=100次重复性测量 表 2.2 按大小排列的重复性测量结果 测量值xi（Ω） 相同测值出现次数mi 表 2.2 按大小排列的重复性测量结果 测量值xi（Ω） 相同测值出现次数mi 相同测值出现的概率Pi=mi/n 9.95 2 0.02 9.96 4 0.04 9.97 6 0.06 9.98 14 0.14 9.99 18 0.18 10.00 22 0.22 10.01 16 0.16 10.02 10 0.10 10.03 5 0.05 10.04 10.05 1 0.01

二、随机误差的正态分布 1、正态分布

结论： ☆ δ愈小、Φ(δ)愈大, 说明绝对值小的随机误差出现的概率大. ☆随着δ的加大, Φ(δ)很快趋于0,即超过一定界限的随机误差实际上几乎不出现(有界性). ☆ σ愈小,正态分布愈尖,表明测得值愈集中,精密度高. ☆ 大小相等符号相反的误差出现的概率相等.(对称性、补偿性)

2、极限误差： 3、贝塞尔公式： 4、算术平均值的标准差 5、用极差法求标准差

§2.3 系统误差的分析 一、系统误差的特性： 系差与随机误差同时存在时，若测量次数足够多，则各次测量绝对误差的算术平均值等于系差。

二、系统误差的判断 1、理论分析法 凡属由于测量方法或测量原理引入的恒差，只要对测量方法和测量原理进行定量分析，就可找出系差的大小。 2、校准和比对法 用高档仪器定期计量检查，可以确定恒差是否存在，如电子秤校验后，则知其是偏大还是偏小。用校准后的修正值（数值、曲线、公式或表格）来检查和消除恒差。 3、改变测量条件法 4、剩余误差法

5、公式判断法 马利科夫判据: 用于发现累进性系差 当n为偶数时 当n为奇数时 阿卑—赫梅特判据: 用于发现周期性系差

三、消除系统误差产生的根源 采用的测量方法和依据的原理正确 选用的仪器仪表类型正确，准确度满足要求 测量仪器定期校准、检定。 尽量用数字仪器代替指针式仪器 提高测量人员操作水平

四、削弱系统误差的典型测量技术 1、零示法 : 在测量过程中, 只要判断检流计中有无电流, 而不需要用检流计读出读数, 因此只要检流计转动灵敏, 测量的准确度仅与标准量的准确度有关. 广泛用于电桥测量中.

（a)电位差计原理图 (b)电子自动电位差计

2、替代法(置换法): 由于替代前后整个测量系统及仪器示值均未改变, 因此测量中的恒定系差对测量结果不产生影响, 测量准确度主要取决于标准已知量的准确度及指示器灵敏度.

3、补偿法（部分替代法）: 此法常用于高频阻抗、电压、衰减量等测量。

4、微差法（虚零法、差值比较法）：

5、对照法（交换法）： 适于在对称的测量装置中用来检查其对称是否良好，或从两次测量结果的处理中，削弱或消除系统误差。

五、消除或削弱系差的其它方法 1、利用修正值或修正因数加以消除 2、随机化处理 根据检定书中给出的校正曲线、校正数据或校正公式对测得值进行修正。 2、随机化处理 是利用同一类型测量仪器的系统误差具有随机特性的特点，对同一被测量用多台仪器进行测量，取各台仪器测量值 的平均值作为测量结果。

3、智能仪器中系差的消除 （1）直流零位校准 （2）自动校准：测量仪器中模拟电路部分的漂移、增益变化、放大器的失调电压和失调电流等都会给测量结果带来系差，可以利用微处理器实现自动校准或修正。

2.4 粗大误差及其判断准则 1、 定义 2、 处理 3、剔除法则 在一定条件下，测量值显著偏离其实际值所对应的误差。 1、 定义 在一定条件下，测量值显著偏离其实际值所对应的误差。 产生原因：主要是表现为读数错误、测量方法错误、仪器有缺 陷、电磁干扰及电压跳动等。 2、 处理 粗大误差无规律可循，故必须当作坏值予以剔除。 3、剔除法则

检验方法常见的有三种： 1 ）莱特检验法（n>200） 2） 格拉布斯检验法（理论与实验证明较好） 3 ）中位数检验法 大量统计表明，当数据列中没有粗大误差时 中位数≈平均值 中位数 例 991、996、999、1001、1004、1008、1011、1014、1019

在对粗大误差处理中要注意以下几个问题： (1)所有的检验法都是人为主观拟定的，至今尚未有统一的规定。这些检验法又都是以正态分布为前提的，当偏离正态分布时，检验可靠性将受影响，特别是测量次数较少时更不可靠。 (2)若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应逐个剔除，然后重新计算。 (3)在一组测量数据中，可疑数据应极少。否则，说明系统工作不正常。要对异常数据的出现进行分析，找出原因，不要轻易舍去异常数据而放过发现问题的机会。 (4)上述三种检验法中，莱特检验法是以正态分布为依据的，测值数据最好n>200，若n<10则会失效；格拉布斯检验法理论严密，概率意义明确，实验证明较好；中位数检验法简捷方便，也能满足一般实用要求。

例 : 对某温度进行多次等精度测量，所得结果列于表中， 试检查数据中有无异常。 序号 测得值xi 残差ui 1 20.42℃ +0.016℃ 6 20.43℃ -0.026℃ 11 2 +0.026℃ 7 20.39℃ -0.014℃ 12 20.41℃ +0.006℃ 3 20.40℃ -0.004℃ 8 20.30℃ -0.104℃ 13 4 9 14 5 10 15

℃ ，故为正常数据。 (1）莱特检验法 ： 从表中可以看出x8=20.30℃残差较大，是个可疑数据， 其余的14个数据的 均小于 ，故为正常数据。

剔除 20.30 前 剔除 20.30 后 （2）格拉布斯检验法 （3）中位数检验法 取置信概率 Pc=0.99，以 n=15查表2.6得 G=2.70 Gs=2.7×0.033=0.09＜ ，剔除x8后重新计算判别， 得n=14，pc=0.99下G值为 2．66 GSˊ＝ 2.66 × 0.016＝ 0.04 余下数据中无异常值。 （3）中位数检验法 20.30，20.39，20.39，20.39，20.40，20.40，20.40，20.41， 20.42，20.42，20.42，20.43，20.43，20.43，20.43 中位数 平均值 剔除 20.30 前 20.41 20.404 剔除 20.30 后 20.415 更接近 20.411

2.5 测量结果的置信度 1.置信度与置信区间 (百分比) (范围) 置信度（置信概率）就是用来描述测量结果处于某一范围内可 2.5 测量结果的置信度 1.置信度与置信区间 (百分比) (范围) 置信度（置信概率）就是用来描述测量结果处于某一范围内可 靠程度的量，一般用百分数表示。 置信区间: 即所选择的这个范围，一般用标准差的倍数表示， 如± 给定2个标准差± 范围内数据的可信度是百分之几？ 条件：必须先知道测值的分布，才能讨论置信问题。 

2.正态分布下的置信度 K=1时， K=2时， K=3时， k=3时，即在以3倍标准差±3σ区间内，随机误差出现的概率为 99.7% 95.4% 68.3% K=1时， K=2时， K=3时， k=3时，即在以3倍标准差±3σ区间内，随机误差出现的概率为 99.73%，而在这个区间外的概率非常小。

3. t分布下的置信度 （n<20） t分布一般用来解决有限次等精度测量的置信度问题。 在实际测量中，总是进行有限次测量，只能根据贝塞尔公式求出标准差的估值s(x)，但因测量次数较少（如n＜20时)，测值不服从正态分布。 t分布图形类似于正态分布。但t分布与标准差σ无关，与测量次数n关系紧密。当n＞20以后，t分布与正态分布就很接近了。可以用数学证明当n→∞时，t分布与正态分布完全相同 t分布一般用来解决有限次等精度测量的置信度问题。

例 对某电感进行12次等精度测量，测得的数值（单位mH） 为20.46、20.52、20.50、20.52、20.48、20.47、20.50、 20.49、20.47、20.49、20.51、20.51，若要求在P=95%的 置信概率下，该电感测值应在多大置信区间内？ 解：第一步：求出 及 电感的算术平均值 电感的标准差估值 算术平均值标准差估值

第二步： 查附录B：t分布表，由n－1=11及P=0.95，查得t=2.20 k (n-1) P 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 .098 0.99 0.999   1 10 11？ 2.228 第三步： 估计电感L的置信区间 ，其中 则在95%的置信概率下，电感L的置信区间为 [20.48mH，20.51mH]。

4. 非正态分布 以上分析中都认为测量值和误差是服从正态分布（包括t分布). 在测量实践中会遇到有些情况下，误差是非正态分布的。下面 介绍几种常见的非正态分布曲线及置信度问题。 1)均匀分布 均匀分布又称为等概率分布、矩形分布，是仅次于正态分布的 一种重要分布，如图2.10所示。其特点是在误差范围内，误差 出现的概率各处相同。如仪器中的度盘回差所导致的误差；数 字仪器中的量化误差（在±1单位以内不能分辨的误差）；数 据计算中的舍入误差（舍掉的或进位的低位数字的概率是相同 的）等，均为均匀分布误差。

均匀分布的概率密度为 a ≤ x ≤ b 可以证明，均匀分布的数学期望为 标准差为

2.6 非等精度测量 1.“权”的概念和确定方法 对于非等精度测量，计算最后测量结果及其精度（如标准差）， 2.6 非等精度测量 对于非等精度测量，计算最后测量结果及其精度（如标准差）， 不能套用前面等精度测量的计算公式，需要采用新的计算公式。 1.“权”的概念和确定方法 日常统计中也用“权”的概念，如按学分加权课程统计学生的 各科总平均成绩，以显示学分多的课程重要性。例如，三门学 分为3、1、2课程的加权平均成绩为

2. 加权算术平均值 若对同一被测量进行m组非等精度测量，得到m组测量结果 ，设相应的权值为 ，则 加权算术平均值为 999.94 例2.11 工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度分别为999.9425mm（3次测量的），999.9416mm（2次测量的），999.9419mm（5次测量的），求最后测量结果。 解： 按测量次数来确定权：w1=3，w2=2，w3=5 ，取x0=999.94mm，则有 999.94 = 999.9420 mm

3. 加权算术平均值的标准差 对同一被测量进行m组非等精度测量，得到m个测量结果， 经推导可得加权算术平均值的标准差：

§2.7 误差的合成与分配 2.7.1 误差的合成 一、误差的综合 绝对误差传递公式： 相对误差传递公式：

二、常用函数的合成误差 1、和差函数的合成误差： [例1] 电阻R1=1K欧姆，R2=2K欧姆，相对误差均为±5%，求串联后总的相对误差。 结论：相对误差相同的电阻串联后总电阻的相对误差 与单个电阻相同

[例2] 用指针式频率计测量放大电路的频带宽度，仪器的满度值fm=10MHz, 准确度±1%，测得高端截止频率fh=10MHz, 低端截止频率fl=9MHz,试计算频带宽度的合成误差. 结论：所用仪器为1.0 级，准确度已很高，但是最终测量结果的相对误差却很大

2、积函数的合成误差 [例3] 已知电阻上电压和电流的相对误差分别为±3%、±2%，用P=UI计算功率，则P 的相对误差是多少？

3、商函数的合成误差 [例4] 用间接法测电阻上直流电流.已知电阻为1K欧姆，标称值相对误差为±2%，电压表测得该电阻端电压U=2.0V, 相对误差±3%, 求流过该电阻的电流I 及其相对误差.

4、幂函数的合成误差 [例5] 电流流过电阻产生的热量Q=0.24I2Rt, 若已知电流、电阻、时间的 相对误差分别为±2%、±1%、±0.5%, 求热量的相对误差。

5、积商幂函数的合成误差 [例6]用电桥法测电阻，RX=R1R3/R2,已知R1=R3=100欧, R2=1000欧, 各电阻绝对误差均为正值：△R1=0.01欧， △R3=0. 1欧， △R2=1.0欧, 求测得值Rx的相对误差。

三、系统误差的合成 由误差传递公式，很容易求得确定性系统误差的合成值。 一般说来各分项误差Δx由系统误差ε及随机误差δ构成，即 若测量中各随机误差可以忽略，则总合的系统误差εy可由各分项系统误差合成

四、随机误差的合成 2.7.2 测量误差的分配 分项误差 总合误差 合成 分配 1.等准确度分配

例：用量程为500V交流电压表测副边总电压，要求相对误差小于±2%，问应选几级电压表？ 设 δ=0 ε1=ε2… 副边总电压U=880V 则，测量允许的最大总误差为 = U ×（±2％）=±17. 6 V

可以认为测量误差主要是由于电压表误差造成的，而且由于两次测量的电压值基本相同，可根据等准确度分配原则分配误差，则 可见选用1.5级（1.5%）的电压表能满足测量要求。

2. 等作用分配 等作用分配是指分配给各分项的误差在数值上虽然不一定相等，但它们对测量误差总合的作用或者说对总合的影响是相同的，即 可求出应分配各分项的误差为

系统误差： 5% ？(75mV） ？（2.5mA） 随机误差 ： 5mW ？35mV） ？（1.2mA） 例： 通过测电阻上的电压、电流值间接测电阻上消耗的功率，已测出 电流为100mA，电压为3V，算出功率为300mW。若要求功率测量的系 统误差不大于5%，随机误差的标准偏差不大于5mW，问电压和电流的 测量误差多大时才能保证上述功率误差的要求。 P = U I 300mw 3v 100mA 系统误差： 5% ？(75mV） ？（2.5mA） 随机误差 ： 5mW ？35mV） ？（1.2mA） 在按等作用分配原则进行误差分配以后，可根据实际测量时各分项误差达 到给定要求的困难程度适当进行调节，在满足总误差要求的前提下，对不 容易达到要求的分项适当放宽分配的误差，而对容易达到要求的分项，则 可适当把分给的误差再改小些，以使各分项测量的要求不致难易不均。

2.7.3 最佳测量方案的选择 对于实际测量，我们通常希望测量的准确度越高即误差的总合越小越好。 所谓测量的最佳方案，从误差的角度看就是要做到 当然，若能使上述各式中每一项都能达到最小，总误差就会最小。有时通 过选择合适的测量点能满足这一要求，但是通常各分项误差 是由一些客观条件限定的，所以选择最佳方案的方法一般只是根据现有条件， 了解各分项误差可能达到的最小数值，然后比较各种可能的方案，选择合 成误差最小者作为现有条件下的“最佳”方案。

2.7.4 系统不确定度 系统误差可能变化的最大幅度称为系统不确定度。 1、系统不确定度的绝对值合成法：

2、系统不确定度的均方根合成法

§2.8 测量数据的处理 一、有效数字的处理 1、有效数字 为了表示确切，通常规定误差不得超过末位单位数字的一半。 §2.8 测量数据的处理 一、有效数字的处理 1、有效数字 为了表示确切，通常规定误差不得超过末位单位数字的一半。 对于其绝对误差不大于末位单位数字一半的数，从它左边第一个不为零的数字起，到右边最后一个数字（包括零）止，都叫做有效数字。 例：3.1416 3.142 8700 87*102 0.087 0.807 有效数字中除末位外前面各位数字都应该是准确的,只有末位欠准,但包含的误差不应大于末位单位数字的一半. 决定有效数字位数的标准是误差,多写则夸大了测量准确度,少写则带来附加误差.

当测量结果未注明误差时，就认为最末一位数字有0.5误差，称此为“0.5误差法则” 2、多余数字的舍入规则 小于5舍，大于5入，等于5时取偶数 [例1] 将下列数字保留3位有效数字: 45.77 36.251 43.035 38050 47.15 当测量结果未注明误差时，就认为最末一位数字有0.5误差，称此为“0.5误差法则” [例] 用一台0.5级电压表100V量程档测量电压,电压表指示值为85.35V,试确定有效位数. 测量报告值与测量记录值不同.习惯上将测量记录值的末位与绝对误差对齐.

二、等精度测量结果的处理 1、利用修正值等办法，对测得值进行修正，将已减弱恒值系差影响的各数据依次列成表格。 2、求出算术平均值 3、列出残差，并验证残差等于零 4、列出残差的平方，按贝塞尔公式计算标准差的估计值 5、判断疏失误差，剔除坏值 6、剔除坏值后，再重复求剩下数据的算术平均值、剩余误差及标准差，并再次判断，直至不包括坏值为止。 7、判断有无系差 8、求算术平均值的标准差估计值 9、求算术平均值的不确定度 10、给出测量结果的表达式（报告值）

【例】 对某电压进行了16次等精度测量，测量数据中已记入修正值，列于表中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。

三. 测量结果的曲线表示 用分组平均法修均曲线

2.经验公式的确定 在实际应用中，经验公式，也称回归方程，是实验测量的基础上归纳出来的， 可在一定的条件下使用。这种经验公式以数学表达式客观地反映事物的内在 规律性，形式紧凑，且便于从理论上作一步分析研究，对认识自然界量与量 之间关系有着重要意义 1)最小二乘法 最小二乘法的原理指出：在具有同一精度的测量值中，最佳值就是能使各 测量残差 的平方和为最小的那个值，即 最小。或者说， 测量结果的最可信赖值应在残差平方和为最小的条件下求出。

2）回归分析法 回归分析法是处理多个变量之间相互关系的一种常用的数理统计方法。 回归分析法包括两个方面的任务：一是根据测量数据确定函数形式，即回 归方程的类型；二是确定方程中的参数。确定回归方程的类型，通常需要 结合专业知识和实际情况来选择。 电子测量中，经常用到单变量的线性回归（例如y=bx+a），这里仅举 一元线性回归的例子，即处理两个变量x和y之间的线性关系。这是工程 上和科研中常遇到的直线拟合问题。例如，温度、湿度、压力等传感器 的输出电压与温、湿度、压力之间就是这种直线方程(y=bx+a)关系。

例2.28 在温度传感器校验测量中测得一组数据如表2.13所示，这里x 可以看作是温度（℃），y是传感器输出的电压值（V）。试用最小二 乘法拟合，求表中实验数据的最佳曲线和经验公式。 表2.13 温度传感器测量原始数据 xi 6 17 24 34 36 45 51 55 74 75 yi 10.3 11.0 10.01 10.9 10.2 10.8 11.4 11.1 13.8 12.2 解：设要求的最佳曲线为线性方程：y=bx+a 如图2.22所示。 实际测量中有误差，可写成 图2.22 用最小二乘法拟合曲线 x y y=bx+a yi

解题步骤： ① 残差表达式 ② 最小二乘法 （测量结果的最可信赖值应在残差平方和为最小的条件下求出） 求上式的极小值，即对可变系数b 和a 进行偏微分

③ 条件方程 （满足最小二乘法条件的方程） 对b求偏微分 得条件方程（1），同理对a求极小值得条件方程（2） （1） 条件方程 （2） 将10组测量的原始数据代入条件方程，再求正规方程：

+ 12.2=75b+a ④ 正规方程 10.3=6b+a 61.8=36b+6a 10.8=45b+a 486=2025b+45a 代入题中给出10个的测量 数据，为计算方便先代入（2） 再将（2）式10个方程分别乘以xi 即得（1）式的10个方程: 10.3=6b+a 10.8=45b+a 11.0=17b+a 11.4=51b+a 10.01=24b+a 11.1=55b+a 10.9=34b+a 13.8=74b+a 10.2=36b+a + 12.2=75b+a 111.71=417b+10a (2)´ 61.8=36b+6a 486=2025b+45a 187=289b+17a 581.4=1601b+51a 240.24=576b+24a 610.5=3025b+55a 370.6=1156b+34a 1021.2=5476b+74a 367.2=1296b+36a + 915=5625b+75a 4841=22105b+417a (1)’