第一模块 向量代数与空间解析几何 第四节 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
一、平面的点法式方程 设平面 过点 现在来建立平面 的方程. 是平面 的法向量. 则点 M 在平面 上的充要条件是 在平面 上任取一点 M(x, y, z)， n M M0
所以有 该方程称为平面 的点法式方程.
求过点(2, 1, 1)且垂直于向量 i + 2j + 3k 的平面方程 . 例 1 显然，所求平面的法向量 n = i + 2j + 3k ， 解 所以由公式可得该平面方程为 又因为平面过( 2, 1, 1 )， 即 x + 2y + 3z－7 = 0 .
且和平面 x - y + z + 1 = 0 垂直的平面方程. 例 2 求过点 M1( 1, 2, -1 ), M2( 2, 3, 1 ) 解 因为点 M1 ，M2 在所求平面上，所以向量 在该平面上， 且与已知平面的法向量 n1 = 1, 1, 1垂直. 故该平面的法向量 n1 M2 M1
由于该平面过点 M1(1, 2,－1)， 因此 即 为所求的平面的方程.
二、平面的一般方程 将方程 ① 展开， 得 所以平面可用 x，y，z 的一次方程来表示. 这是关于 x，y，z 的一次方程， ② (式中 A，B，C 不全为零)有无穷多组解.
设 x0，y0，z0 是其中的一组解， 则有 用方程 ② 减去上式， 得 这就是方程 ①， 它表示过点(x0, y0, z0 )， 且以 由此可知 x，y，z 的一次方程 ② 都表示平面， 为法向量的平面， 其中系数 A，B，C 表示法向量的坐标. 方程 ② 称为平面的一般方程.
Ax + By + Cz + D = 0 ( A、B、C 不全为零)， 因为点 M1，M2，M3 在平面上， 所以 和 M3(0, 0 , c ) 例 3 求过点 M1( a, 0, 0 )， M2( 0, b, 0 ) 的平面方程(其中 abc 0). 解 设所求的平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0 ( A、B、C 不全为零)， 因为点 M1，M2，M3 在平面上， 所以 z c M3 M2 O b y 解此方程组，可得 M1 a x
代入所设的方程， 有 消去 D ， 得 ③ 其中 a，b，c 分别称为在 x 轴，y 轴，z 轴上的截距. 方程 ③ 称为平面的截距式方程，
例 4 设一平面过 M1(1, 0, 2) 和 M2(1, 2, 2)， 且与向量 平行， 试求此平面的方程. 解 设所求平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0 . 因为此平面过点 M 1，M2 ， 所以 ① ② 又由于所求平面与向量 平行， 因此它的法向量与 a 垂直， 即 ③ A + B + C = 0 解联立方程①、②、③，得 A = C，B = 2C，D = C， 所以有 消去 C ， 即为所求的平面方程为
例 5 设一平面通过 x 轴和点 M(4, 3, 1)， 试求该平面的方程. 所以可设它的方程为 解 因为所求平面通过 x 轴， By + Cz = 0 . ④ 由于点 M 在所求的平面上， 因此有 3B C = 0 ， 将 C = 3B 代回方程 ④，并简化，即得所求平面方程为 y 3z = 0
三、两平面的夹角 设平面 1、2 的方程分别为 两平面法向量的夹角， 称为两平面的夹角. 它们的夹角为 . ④ 则平面1、2 垂直的充要条件是 A1A2+ B1B2 + C1C2 = 0； 平行的充要条件是
与 2x + y + z 5 = 0 的夹角 . 例 6 求两平面 x y + 2z + 3 = 0 解 由公式 ④ 得