Stable機率分布介紹 Joshua Chen, 2009

Stable的涵義 廣義的常態分布。 廣義的中央極限定理。 獨立隨機變數的加總的分布所趨近的分布。 白色噪音的模型，科學模型以外的“模 型”。

常態分布 常態分布的加總還是常態分布。 對稱鐘型曲線。 六個標準差幾乎就是不可能。 近代幾乎所有統計機率及品質管理科學的基石。

中央極限定理 任何一個機率分布，如果標準差存在，則n個iid的隨機變 數的加總的分布，當n趨於無限大的時候，會趨於常態分 布。

中央極限定理 iid的加總。給定定義域大於等於0的這個分布

中央極限定理 What-if。任何一個機率分布，則n個iid的隨機變 數的加總的分布會如何呢？

中央極限定理 iid的加總。給定定義域大於等於1的這個 分布 怎麼看都不像

Stable分布 所謂兩個機率變數X和Y分布是一樣形狀意思是它 們只差個location和scale： 定義：如果對任意n個iid機率變數，線性組合加總 的分布和原來分布一樣形狀，有此性質的分布叫作 Stable分布。

Stable分布 （Stable定理）數學上可以證明有此性質的機率變數的特徵函數一定是： 其中

Stable分布 一般而言，機率密度函數沒有熟悉的式子。 除了少數幾個例外 α=2（此時β的值沒影響），高斯常態分布 α=1且β=0，Cauchy分布 α=0.5且β=0，Levy分布 你可以玩玩看不同α或β的機率累積函數 α越小越fat tail β>0右偏， β<0左偏

Stable分布 α如何影響fat tail，β如何影響skew

Stable分布 以　　　　　表示Stable分布的機率變數。 　　　　　稱之為標準Stable分布，並略以　　　　　　 表示。

Stable分布 兩個獨立Stable機率變數的加總的參數： Stable機率變數和標準Stable機率變數的關係： 時間長度和scale的關係：

Stable分布 由觀察特徵函數在 的可微分程度得出： 由觀察特徵函數在　　　的可微分程度得出： 當　　　　　，標準差不存在。 當　　　，期望值不存在。 給定一個高斯常態分布，如果它的標準差是一個 由Levy機率變數選出的數字，則此分布成為 Cauchy分布。 標準常態分布和　　　　的關係：

Fat Tail 一個機率變數的極端值稱之為Tail。 越肥的Tail表示極端值越可能，越瘦的Tail表示極端 值越不可能。

Fat Tail 大腿燕瘦環肥的定義是一個正數α值： 右腿，使得 不是零的最小α值。 左腿，使得 不是零的最小α值。 右腿，使得　　　　　　　　　不是零的最小α值。 左腿，使得　　　　　　　　　不是零的最小α值。 雙腿，右腿的α值和左腿的α值的較小值。 α值越小越肥。

一般中央極限定理 任何一個機率分布，設其雙腿的肥胖程度值為α，且 定義下列數字： 則依據α值的大小有下列幾種情形：

一般中央極限定理 當　　　，傳統中央極限定理：

一般中央極限定理 當　　　　，標準差不存在，

一般中央極限定理 當　　　　，期望值也不存在， 因為　　　　，樣本平均的分布無法收斂到一個數值上（大數法則）。

機率分布的分類 由上述一般中央極限定理，我們可以把所有的機率分布 做個分類。 那些iid加總會收斂到 的分布，稱為α/β類。 此機率變數的基本性質和對應的Stable分布一樣。 有無期望值 有無大數法則，樣本平均機率變數越平均越不平均。 有無標準差 肥胖程度 skew程度

伊甸園實驗 想像自己是上帝，建立了一個伊甸園，裡面某個 隨機過程遵循 的分布。 想像自己是上帝，建立了一個伊甸園，裡面某個 隨機過程遵循　　　　　　的分布。 亞當只學過傳統常態分布，所以他用學校教的方 法去估平均值和標準差。 亞當會看到什麼現象？

伊甸園實驗 　　　　　 　的情形，三萬個樣本：

伊甸園實驗 　　　　　 　的情形，三萬個樣本：

White Noise 但是，哪有這麼好的事！ 當模型一個現象的時候，最好沒有不確定性。例如明天的匯率，完全由現在已經知道值的諸多變數決定： 這個 f 通常也不是一下就找到，而是在做完一個one-to-one的變換（以g代表）之後，找到了一個確定的模式： 在此稱這個 g 和 f 為科學模型。 但是，哪有這麼好的事！

White Noise 所以預測的和到時候真的的匯率，期間的差別得引進一個誤差項： 誤差項就是目前科學模型無法解釋的事（未來科學進步後會找到更好的科學模型）。 因此....

White Noise 該如何描述這個誤差項呢？ 它一定和現在的時刻無關，因為如果有關的話，那早該就先被整理進去原本的科學模型裡面了。 隨著時間的前進，累積的誤差項的值的分布形狀應該是一樣的，因為如果形狀會變的話，例如，越久越右偏，那這個訊息早該就先被整理進去原本的科學模型裡面了。 每個期間的誤差項沒有理由不是獨立，例如，如果 　　　和　　是同樣的值，那這個訊息早該就先被整理進去原本的科學模型裡面了。 任意加權不同時間的誤差累加起來的誤差的形狀還是一樣．

White Noise 由Stable定理， 和 要一樣的形狀，所以這個誤差項必須是Stable分布。 Stable分布是white noise的唯一模型。

Stable分布例子 蒼蠅找西瓜的路徑 蒼蠅在一個房間裡面找西瓜的飛行路徑 被證明是，完全不知道目標在哪，搜尋除了花時間外沒有任何成本（例如體力衰竭），沒有任何一種（抽象的）居高臨下獲取額外資訊幫助搜尋的可能性的情況下，縮短搜尋時間最好的演算法。 千百萬年的演化，如果燒在蒼蠅的腦子裡的演算法不夠好的話，蒼蠅大概早絕種了。

Stable分布例子 花粉布朗運動

Stable分布例子 因為常態分布是Stable分布的特例，所以用Stable去fit誤差項資料一定比用常態分布去fit來得準。 1437.TT的每日報酬，fit結果為： 常態分布 Stable分布

應用時機 不是所有的分布都有期望值或標準差。 因為樣本數一定有限個，所以樣本平均值 和樣本標準差一定有限，但這不是拒絕使 用沒有期望值或標準差的機率分布來模型 的理由。 當研究任何隨機事件有下列這些現象的時 候，上帝已經在暗示你用錯了模型。

應用時機 當樣本平均值像得了燥癒症，n再大就是不 會收斂的時候，這個隨機變數是屬於　　　 的α/β類的分布。

應用時機 當樣本的標準差，好像收斂了，但一陣子 後又突然因為實現了一個fat tail裡面的樣 本，跳到更高的一個level，這個隨機變數 是屬於　　　　的α/β類的分布。

應用時機 當套用傳統常態分配做模型的時候，在實 際應用上被逼得好像要讓標準差也是一個 機率變數才夠用。

應用時機 當fat tail惱人，心裡經常覺得運氣背的時 間比常態模型預期背的時間多。 LTCM短短幾年就號稱遇到一個100個標準 差的事件。

應用時機 當被研究的問題本質上是一種搜尋過程， 像是 蒼蠅找西瓜 市場尋找買賣平衡點

c’est fini