第四章 向量组的线性相关性

§1 向量组及其线性组合

定义：n 个有次序的数 a1, a2, …, an 所组成的数组称为n 维向 量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量． 分量全为实数的向量称为实向量． 分量全为复数的向量称为复向量． 备注： 本书一般只讨论实向量（特别说明的除外） ． 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量． 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量． 本书中，列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向量则用 aT, bT, aT, bT 表示．

定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为 向量组． 当R(A) < n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向量组含有无穷多个向量． 有限向量组 结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．

定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am ， 对于任何一组实数 k1, k2, …, km ，表达式 k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1, k2, …, km 称为这个线性组合的系数． 定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am 和向量 b，如果存在一组 实数 l1, l2, …, lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + … + lmam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示．

e1, e2, e3的 线性组合 例：设 那么 线性组合的系数 一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有

n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．

回顾：线性方程组的表达式 一般形式 向量方程的形式 增广矩阵的形式 向量组线性组合的形式 方程组有解？ 向量 是否能用 线性表示？

结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应． P.83 定理1 的结论： 向量b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解

定义：设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示． 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量 组等价．

设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即 线性表示的 系数矩阵

若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即 则 结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示， B 为这一线性表示的系数矩阵．

若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即 则 结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示， A 为这一线性表示的系数矩阵．

口诀：左行右列 定理：设A是一个 m×n 矩阵， 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； 对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵. 结论：若 C = AB ，那么 矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵．（A 在左边） 矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵．（B 在右边）

存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ，使 AP1 P2 …, Pl = B 存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B 口诀：左行右列. A 经过有限次初等列变换变成 B 存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ，使 AP1 P2 …, Pl = B 存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B 矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 把 P 看成是 线性表示的 系数矩阵 同理可得 矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价

向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.85 定理3） 因为 R(B) ≤ R(A, B) 推论：向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)． 证明：向量组 A 和 B 等价 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 向量组 A 能由向量组 B 线性表示 从而有R(A) = R(B) = R(A, B) ． R(A) = R(A, B) R(B) = R(A, B)

例：设 证明向量 b 能由向量组 a1, a2, a3 线性表示，并求出表示式． 解：向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) ． 因为R(A) = R(A, b) = 2， 所以向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示．

行最简形矩阵对应的方程组为 通解为 所以 b = (－3c + 2) a1 + (2c－1) a2 + c a3 ．

n 阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量． 设有n×m 矩阵 A = (a1, a2, …, am) ，试证：n 维单位坐标向 量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是 R(A) = n ． 分析： n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示 R(A) = R(A, E) R(A) = n ． （注意到：R(A, E) = n 一定成立）

小结 向量 b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 向量组 B 能 由向量组 A 线性表示 矩阵方程组AX = B 等价

知识结构图 n维向量 向量组 向量组与矩阵的对应 向量组的线性组合 向量组的线性表示 判定定理及必要条件 向量组的等价 判定定理