5.1 传染病模型 背景 与 问题 基本方法 传染病的极大危害(艾滋病、SARS、) 描述传染病的传播过程. 分析受感染人数的变化规律. 5.1 传染病模型 传染病的极大危害(艾滋病、SARS、) 背景 与 问题 描述传染病的传播过程. 分析受感染人数的变化规律. 预报传染病高潮到来的时刻. 预防传染病蔓延的手段. 基本方法 不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理,而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.

? 模型1 已感染人数 (病人) i(t) 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为 假设 建模 若有效接触的是病人,则不能使病人数增加 必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)

模型2 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 . 假设 SI 模型 2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病.  ~ 日 接触率 建模

模型2 ? Logistic 模型 t=tm, di/dt 最大 tm~传染病高潮到来时刻 病人可以治愈！  (日接触率)  tm 1 t 1/2 tm t=tm, di/dt 最大 ? tm~传染病高潮到来时刻 病人可以治愈！  (日接触率)  tm

模型3 m l s / = 传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染. SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为  ~日治愈率 增加假设 建模 m l s / =  ~ 日接触率  ~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数. 1/ ~感染期

模型3 接触数 (感染期内每个病人的有效接触人数) i(t)单调下降 感染期内有效接触使健康者感染的人数不超过原有的病人数 接触数 (感染期内每个病人的有效接触人数) 模型3 i di/dt O 1  >1 O t i  >1 1-1/ i O t  1 i0 i0 di/dt < 0 1-1/ i0 i(t)单调下降 感染期内有效接触使健康者感染的人数不超过原有的病人数  >1, i0< 1-1/ i(t)按S形曲线增长 接触数 =1 ~ 阈值 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例

模型4 传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者. SIR模型 1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为 . 假设 2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数  =  /  建模 需建立 的两个方程.

模型4 SIR模型 无法求出 的解析解 先做数值计算, 再在相平面上研究解析解性质 (通常r(0)=r0很小)

模型4 SIR模型的数值解 设=1, =0.3, i0=0.02, s0=0.98, 用MATLAB计算作图i(t), s(t)及i(s) s i 相轨线i(s) i(t)从初值增长到最大; t, i0. s(t)单调减; t, s0.04.

模型4 SIR模型的相轨线分析 消去dt 相轨线 相轨线 的定义域 1 s i O D 在D内作相轨线 的图形，进行分析

模型4 相轨线 及其分析 SIR模型 s(t)单调减相轨线的方向 P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 传染病蔓延 相轨线 及其分析 SIR模型 s i 1 O D P4 P2 S0 s(t)单调减相轨线的方向 im P1 s0 P3 P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 传染病蔓延 1/ ~阈值 P2: s0<1/ i(t)单调降至0 传染病不蔓延

模型4 预防传染病蔓延的手段 SIR模型 传染病不蔓延的条件——s0<1/ 提高阈值 1/ 降低  (=/)  ,    (日接触率)  卫生水平 (日治愈率)  医疗水平 降低 s0 提高 r0 群体免疫  的估计 忽略i0

模型4 预防传染病蔓延的手段 降低日接触率 提高日治愈率 提高移出比例r0 以最终未感染比例s和病人比例最大值im为度量指标. 1/ s0 i0 s i 1 0.3 0.98 0.02 0.0398 0.3449 0.6 0.5 0.1965 0.1635 1.0 0.8122 0.0200 0.4 1.25 0.9172 1 0.3 0.70 0.02 0.0840 0.1685 0.6 0.5 0.3056 0.0518 1.0 0.6528 0.0200 0.4 1.25 0.6755  ,   s , im  s0 (r0 ) s , im 

模型4 被传染人数的估计 SIR模型 记被传染人数比例 s0 - 1/ =  提高阈值1/  小, s0  1 i0 0, s0 1 i O P1 x<<s0  s0 - 1/ =  提高阈值1/ 降低被传染人数比例 x  小, s0  1

传染病模型 模型3 (SIS) 模型1 模型2 (SI) 模型4 (SIR) 模型3, 4: 描述传播过程, 分析变化规律, 考虑治愈 模型1 模型2 (SI) 区分病人和健康人 模型4 (SIR) 模型3, 4: 描述传播过程, 分析变化规律, 预报高潮时刻, 预防蔓延手段. 模型4: 数值计算与理论分析相结合.