香港道教聯合會圓玄學院第三中學 賴俊榮老師 韶關始興縣始興中學教育交流 12.12.2005 空間幾何體的體積 香港道教聯合會圓玄學院第三中學 賴俊榮老師 韶關始興縣始興中學教育交流 12.12.2005

圓玄三中

柱體的體積 柱體的體積 (正方體、長方體、棱柱、圓柱、…) V柱體 = Sh 其中 S為底面面積、 h為柱體的高

柱體的體積例：圓玄三中校舍 V校舍 = 80  30  50 = 120 000 m3 50 m 30 m 80 m

錐體的體積 錐體的體積 (棱錐、圓錐) V錐體 = Sh 其中 S 為底面面積、 h 為錐體的高

錐體與柱體體積之間的關係 探究

錐體的體積 V錐體 =  22  2.7 = 3.6 m3 2.7 m 2 m 2 m

台體的體積 台體 (棱台、圓台) V台體 = (S' + + S)h 其中 S' ,S分別為上, 下底面面積、 h為台體的高

台體的體積例：布丁 V布丁 = (S' + + S)h = (  32 + +   52)  4 = 205.3 cm3 3 4 = (  32 + +   52)  4 = 205.3 cm3 3 4 5

柱體、錐體及台體的體積之間的關係 V柱體 = Sh (其中S為底面面積、h為柱體的高) V錐體 = Sh (其中S為底面面積、h為錐體的高) V台體 = (S' + + S)h (其中S' ,S分別為上, 下底面面積、h為台體的高) 您能發覺三者之間的關係嗎?

柱體、錐體及台體的體積之間的關係 其實, 柱體及錐體可以看作為 “特殊” 的台體 柱體的上底面與下底面的面積是一樣, 即 S' = S V柱體 = (S + + S)h = ( 3S )h = Sh

柱體、錐體及台體的體積之間的關係 錐體的上底面的面積是0, 即 S = 0 V錐體 = (0 + + S)h = Sh

柱體、錐體及台體的體積之間的關係 V台體 = (S' + + S)h S = 0 S = S V錐體 = Sh V柱體 = Sh

各面積公式之間的關係 A平行四邊形 = 高  底 A三角形 = (高  底) ÷ 2 A梯形 = (上底＋下底)  高 ÷ 2 這跟柱體、錐體及台體的體積 之間的關係的情況一模一樣！

各面積公式之間的關係 A梯形 = (上底＋下底)  高 ÷ 2 A三角形 = (高  底) ÷ 2 A平行四邊形 = 高  底 上底 = 0 上底 = 下底 A三角形 = (高  底) ÷ 2 A平行四邊形 = 高  底

球的體積 球的體積 V球 = 其中 R為球的半徑 名為“Fanfare”三維的空心球體結構上面均勻分佈了350個銀色風車，5層樓高直徑為20米，重達19噸。 (悉尼 )

球的體積例：空心球 某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.9g/m3）. 每個鋼球重145kg, 並且外徑等於50cm. 試根據以上數據, 判斷鋼球是實心的還是空心的. 如果是空心的, 請你計算出它的內徑（取3.14, 結果精確到0.1cm）. 解： 由於外徑為50cm的鋼球的質量為 7.9     517054 (g) 街心花園中鋼球的質量為145000g, 而145000 < 517054, 所以鋼球是空心的.

球的體積例：空心球 某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.9g/m3）. 每個鋼球重145kg, 並且外徑等於50cm. 試根據以上數據, 判斷鋼球是實心的還是空心的. 如果是空心的, 請你計算出它的內徑（取3.14, 結果精確到0.1cm）. 解(續)： 設球的內徑為2x cm. 那麼球的質量為 7.9  [   –  x3 ] = 145000 解得 x3  11240.98 x3  22.4

空間幾何體的體積例：55頁例1改 已知一個六角螺帽的底面積是正六邊形, 邊長為12mm, 內孔直徑為10mm, 高為10mm. 求該六角螺帽的體積. 解： 六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓 柱體的差，即 V =  122610 –  10   2956 (mm3) 答：該六角螺帽的體積是2956 mm3 10mm 10mm 12mm

空間幾何體的體積例：56頁第2題 已知一個銅質的五棱柱的底面積為16cm2, 高為4cm, 現將它熔化後鑄成一個正方體的銅塊, 那麼鑄成的銅塊的棱長為多少(不計損耗)? 解： 設 x cm 為正方體銅塊的棱長 因為 V五棱柱 = V正方體 16  4 = x3 x = 4

空間幾何體的體積例：組合體 (56頁例2) 圖中是一個獎杯的三視圖(單位：cm), 試畫出它的直觀圖, 並計算這個獎杯的體積(精確到0.01cm) 6 18 8 6 5 15 三視圖 11 15 直觀圖 11

空間幾何體的體積例：組合體 (56頁例2) 球 長方體 正四棱台 直觀圖

空間幾何體的體積例：組合體 (56頁例2) V正四棱台 =  5  (152 + 15  11 + 112)  851.667  V = V正四棱台 + V長方體 + V球 = 1828.76 (cm3)

空間幾何體的體積例：60頁第9題 一幾何體按比例繪製的三視圖如圖所示(單位：m)。 試畫出它的直觀圖； 求它的體積。 (1) 直觀圖 1 1

空間幾何體的體積例：60頁第9題 (2) 梯形面積 A =  ( 1 + 2 )  1 = 1.5 m2 幾何體的體積 V = 1.5  1 = 1.5 m3 1 1 2 1

小結 柱、錐、台體的體積之間是否存在一定的關係? 圖形的面積之間是否也存在這關係? 球是比較特別的空間幾何體, 它的體積公式是什麼? 怎樣利用軟件, 由三視圖士想像出空間幾何體的形狀?

體積的近似計算 以下是兩種常用的近似計算體積的方法： 網格標高法 平均面積法 用網格分割某區域, 如果知道每個網格點的高度(深度) , 我們就能估算一區域的體積。 平均面積法 如果幾何體的剖面由一種形狀逐漸變化為另一種形狀, 這時可用兩頭面積的平均值來估算。

網格標高法 一小區域的體積  A · 整塊區域的體積 V   A  (H1 + 2H2 + 3H3 + 4H4) 其中, Hn = 僅位於n個小區域上的格點的高度之和 ( n = 1, 2, 3, 4)

網格標高法 1 2 3 4 4.887 5.007 5.018 C 4.755 4.934 5.015 5.102 B 4.823 4.942 5.023 5.183 A 4 3 2 1 A X1 X2 X3 B X4 X5 C X1   ( 5.183 + 5.023 + 5.015 + 5.102 ) = 5.081 X2   ( 5.023 + 4.942 + 4.934 + 5.015 ) = 4.979 X3   ( 4.942 + 4.823 + 4.755 + 4.934 ) = 4.864 X4   ( 5.102 + 5.015 + 5.007 + 5.018 ) = 5.036 X5   ( 5.015 + 4.934 + 4.887 + 5.007 ) = 4.961 體積 V  X1 + X2 + X3 + X4 + X5  2491.9 (立方單位)

網格標高法 1 2 3 4 4.887 5.007 5.018 C 4.755 4.934 5.015 5.102 B 4.823 4.942 5.023 5.183 A 4 3 2 1 A B C H1 = 5.183 + 4.823 + 4.755 + 5.018 + 4.887 = 24.666 (單位) H2 = 5.023 + 4.942 + 5.102 + 5.007 = 20.074 (單位) H3 = 4.934 (單位) H4 = 5.015 (單位) V   100  (24.666 + 2  20.074 + 3  4.934 + 4  5.015) (立方單位)  2491.9 (立方單位)

平均面積法 V   l 其中 A1, A2 為兩個橫斷面的面積 l 為相鄰兩個橫斷面的距離

平均面積法 A1與A2之間的體積 A2與A3之間的體積 A3與A4之間的體積 V1   (25.3 + 24.8)  28  701.4 (m3) A2與A3之間的體積 V2   (24.8 + 21.7)  31  720.8 (m3) A3與A4之間的體積 V3   (21.7 + 19.4)  18  369.9 (m3) V  701.4 + 720.8 + 369.9  1792.1 (m3) A4 A3 A2 18 A1 31 28 A1 = 25.3 m2 A2 = 24.8 m2 A3 = 21.7 m2 A4 = 19.4 m2

練習 空間幾何體的體積 第56頁 第1 – 4題 體積的近似計算 第59頁 第1題 (網格標高法) 第59頁 第2題 (平均面積法)

網上資源 http://www.hktayy3.edu.hk/~maths/special/sg.php 其中包括： 教學簡報 附件 網上自我評估