敏感度與參數分析 Sensitivity and Parametric Analyses 第六章 敏感度與參數分析 Sensitivity and Parametric Analyses 作業研究 二版 2009 © 廖慶榮

章節大綱 前言 敏感度分析 參數分析 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

6.1 前言 敏感度分析（sensitivity analysis） 參數分析（parametric analysis） 6.1 前言 敏感度分析（sensitivity analysis） 探討當一個問題的各項係數改變時，對於最佳解的影響 參數分析（parametric analysis） 當LP模式的同類別參數同時改變時，對於最佳解之影響的分析 如當原料價格（石油、塑膠、木材、麵粉等）改變時 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

6.2 敏感度分析 本節將以典型範例為例： 最佳單形表： 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

6.2 敏感度分析 探討六種情況（對max問題）： 改變目標函數係數 新增一個變數 改變右手邊常數 改變非基變數限制式係數 6.2 敏感度分析 探討六種情況（對max問題）： 改變目標函數係數 新增一個變數 改變右手邊常數 改變非基變數限制式係數 改變基變數限制式係數 新增一個限制式 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

1. 改變目標函數係數 /NBV 範例6.1 NBV：僅該NBV的Z列係數會改變 作法 假設 ：0→2 解答： 因Z列係數為非負值，故最佳解不變 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

1. 改變目標函數係數 /NBV 範例6.1 NBV目標函數係數的變動在什麼範圍內，最佳解不會改變？ 因NBV的 僅會影響該變數的Z列係數，所以僅需讓 ，即可決定的允許變動範圍 範例6.1 的允許變動範圍為何？ 解答： 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

1. 改變目標函數係數 /BV BV 作法 範例6.2 須重新計算所有NBV的Z列係數 假設目標函數改變為：Max 解答： 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

1. 改變目標函數係數 /BV 解答(續)： 因仍均為非負值，故最佳解不變，惟新的最佳Z值為 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

範例6.3 在最佳解不變的情況下， 允許變動範圍為何？ 解答：為使最佳解不變，必須維持NBV的Z列係數為非負值： 在最佳解不變的情況下， 允許變動範圍為何？ 解答：為使最佳解不變，必須維持NBV的Z列係數為非負值： 因此，只要滿足 ，則最佳解不變（惟Z 值會改變） 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

係數同時改變 當兩個以上 同時改變時，可利用100%最佳性法則（100% optimality rule）確認是否最佳解不變 作法 分別計算各之變動佔其所允許增加或減少量的% 若%的總和不超過100%，則最佳解不變；若超過，則無法確定是否會改變 範例6.4 假設改為Max ，則最佳解是否會受到影響？ 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

係數同時改變 解答：目標函數係數允許變動範圍 變動百分比： 因變動百分比的總和66.6%小於100%，所以最佳解不 變（惟Z值會改變） 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

2. 新增一個變數 例如 作法 範例6.5 若有另一項新產品P3要列入考慮，則LP模式需增加一個代表P3生產數量的變數 計算 其Z列係數。若為非負值，則最佳解不變；若為負值，則須將 的係數還原並新增至最佳單形表中，繼續以主要單形法求解 範例6.5 假設另有一項新產品P3，其生產1單位需2小時的M1、4小時的M2，單位利潤為12 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

2. 新增一個變數 解答： 讓 代表生產P3的數量，其Z列係數為： 由於Z列係數是負值，破壞對偶可行性，因此我們將 的限制式係數還原如下： 將還原後的係數新增至最佳單形表中，繼續以單形 法求解，可得最佳解 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

2. 新增一個變數 解答(續)： 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

3. 改變右手邊常數 作法 範例6.6 解答： 重新計算新的RHS。若仍均為非負值，則最佳基底不變；若有負值，則以對偶單形法繼續求解 最佳基底不變是指構成最佳單形表的BV不會改變，但BV的值及最佳Z值均允許改變 範例6.6 解答： 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

3. 改變右手邊常數 解答(續)： 因有負值，故最佳基底改變。新Z值為： 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

3. 改變右手邊常數 解答(續)： 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

bi的允許變動範圍 在最佳基底不變情況下，bi的允許變動範圍？ 由此可決定bi的允許變動範圍 為使基底不變，RHS須均為非負值，即 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

bi的允許變動範圍 範例6.7 的允許變動範圍為何？ 解答 因此，允許變動範圍為： 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

bi係數同時改變 100%可行性法則 當兩個以上bi同時改變時，可利用100%可行性法則（100% feasibility rule）確認是否最佳基解不變 作法： 分別計算各bi之變動佔其所允許增加或減少量的% 若變動%的總和不超過100%，則最佳基底不變；若超過100%，則無法確定是否會改變 範例6.8 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

bi 係數同時改變 解答： 因變動百分比的總和87.5%小於100%，所以最佳基底不受影響（但最佳解會改變） 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

4. 改變非基變數限制式係數 作法 範例6.9 假設 的限制式係數改變為： 重新計算該NBV新的Z列係數。若為非負值，則最佳解不變；若為負值，則將係數還原，並新增至最佳單形表，再繼續以主要單形法求解 範例6.9 假設 的限制式係數改變為： 解答： 因是非負值，所以最佳解不變 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

5. 改變基變數限制式係數 想法 作法 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

5. 改變基變數限制式係數 作法(續) 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

範例6.10 假設 ： 解答： 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

範例6.10 解答(續) (表6.7的第一個表)： 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

範例6.10 解答(續) (表6.7的第二與第三個表)： 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

6. 新增限制式 作法 確認最佳解是否滿足新增的限制式。若滿足，則最佳解不變；若不滿足，則最佳解會改變，應執行以下步驟： 對於新增限制式，加上所需寬鬆、剩餘或人工變數 以高斯消去法還原係數，並填入最佳單形表 以對偶單形法求解 範例6.12 (a)新增： (b)新增： 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

6. 新增限制式 解答 (a)： 因最佳解滿足此限制式，所以最佳解不變 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

6. 新增限制式 解答 (b)： 因最佳解不滿足此限制式，故最佳解改變 加上寬鬆變數： 係數還原後，新增至表中，再以對偶單形法求解 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

6. 新增限制式 解答 (b)： 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

6.3 參數分析 改變目標函數係數 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

1. 改變目標函數係數 可推導出： 由上式可得最佳解的條件： 若有任何NBV為負值，則讓其進入 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

1. 改變目標函數係數 彙整 最佳解： 最佳解條件： 由最佳解條件可得適用的 範圍 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

1. 改變目標函數係數 步驟： 以單形法求解原問題，直至得到最佳解 還原Z’列，並新增至最佳單形表 由Z與Z’列，計算滿足最佳解條件的 範圍： 以主要單形法求得其餘可能範圍內的最佳解 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

範例6.13 假設P1使用木材的比例較P2多一倍。木材成本變動時，P1與P2單位利潤會成2:1比例變動。因此， 解答：先還原Z’列。由Z與Z’列，可計算： 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

範例6.13 (解答(續) λ >10) 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

範例6.13 (解答(續) /表1 ) 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

範例6.13 (解答(續) /表2-3 ) 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

範例6.13 彙總表 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

2. 改變右手邊常數 可推導出 由 的公式，可決定 最佳解適用的範圍： 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

2. 改變右手邊常數 彙整： 最佳解： 最佳解條件： 由最佳解條件，可產生該最佳解適用的 範圍 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

2. 改變右手邊常數 步驟： 以單形法求解原問題，直至得到最佳解 還原RHS’，並新增至最佳單形表 由RHS與RHS’兩欄，計算最佳解條件的 範圍： 以對偶單形法陸續求得其餘 可能範圍內的最佳解 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

範例6.14 假設M1與M2用於生產既有產品的時間比為1:2： 解答：得到最佳單形表後，還原RHS’如下： 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

範例6.14 解答(續)： 由RHS與RHS’兩欄，計算的範圍如下： 因此， 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

範例6.14 (解答(續))： 當 ，因離開變數列無負的係數，故為無窮解 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析

範例6.14 (解答(續))： 彙總表： 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析