Chapter 6 信息分析方法（三）

6.1 模糊综合评估 某公司请25名关键员工进行了关于三位副经理工作满意度的调查，以下是调查问卷 的统计结果（每一个格中的数字表示在该评价项目上，选择相应评价等级的投票数） ，假定总经理空缺，需从三位副经理中提升，依据调查结果，哪一位是合适的人选？ 2019/2/25

6.1.1 模糊综合评价的数学背景 在信息分析中，我们所面临的研究对象均有多种属性，它们共同反映了研究对象的特 征，所以在评价时不能只考虑一种因素，必须从各个方面综合加以考虑，特别是对那 些比较复杂的研究对象更应如此。 此外，在评价当中，人们往往采用模糊的概念描述事物和现象，例如“很好”。对于 明确的概念，在数学中常常采用（经典）集合论来表示，但对于这些在一定场合不具 有明确外延的模糊概念就不适于用这种方式定量。 1965年，美国加利福尼亚大学自动控制专家查德（L A Zadeh）教授发表了著名的论 文“模糊集合”，力图用定量、精确的数学方法去处理模糊性现象，模糊数学从此诞 生。它把数学的应用范围从精确现象扩大到了模糊现象的领域。 2019/2/25

经典集合论中，设U是全集（论域）， （A是U的一个子集），定义映射 ， 令： 称 为集合A的特征函数，这个特征函数明确表示了集合A。 模糊集合的基本思想是将普通集合中的特征函数灵活化，使元素对集合的从属程度从 只能取0或1扩充到[0，1]中的任一数值。 一个元素x和一个集合A的关系，不一定是绝对的“属于”或者“不属于”，而需要考 虑它属于的程度是多少。 U A 1 2019/2/25

模糊集合的定义：设U是全集，U上的一个模糊集合A由U上的一个实值函数表示： 对于 ， 称为x对A的隶属度，而 称为A的隶属函数。为方便起见，U上的模糊 集的全体记为 ， 也记为 。 这样，我们不再简单地问x绝对属于还是不属于A，而是问在多大程度上属于A。 例如，对于“年轻”这个模糊概念，以年龄为论域，取U=[0，200]。查德给出隶属函 数为： 模糊综合评估法（Fuzzy Comprehensive Evaluation，FCE）正是基于这一思想而形 成的评估方法。它应用模糊关系合成原理，从多个因素对被评事物隶属等级状况进行 综合性评价。适用于有模糊概念而又可以量化的场合。 2019/2/25

6.1.2 模糊综合评价模型的建立 建立因素集U 建立权重集A 例如“评价项目”就是一个因素集：{足够的业务知识，工作能力强；能鼓舞士气，带 领团队攻克难关…} 建立权重集A 为了反映各个因素的重要程度，就要对每个因素赋予一个相应的权重。如果因素集当 中分为主因素和子因素，那么在赋予权重时，应该分级进行。 例如，权重集可以为A=（0.15，0.1，0.1，0.15，0.1，0.1，0.15，0.15）。 2019/2/25

建立评价集V 评价结果要有具体的标准，评价集是对所有可能出现的评价结果的集合。评价集用 V={v1，v2，…，vm}来表示，其中vi 为可能的评价结果。可以结合具体的背景给出评价 集的详细说明，以利于评判的进行。 例如，可设评价集V =｛v1，v2，v3，v4｝=｛好，较好，一般，较差｝。 建立模糊隶属函数 建立了因素集、权重集和评价集以后，就可以对评价对象进行评分。除了根据某些已 有数据以外，一般采用调查表的方式由相关人员分别填写，然后汇总。得到的是多个 评价因素的模糊信息，例如优、良、中、差等的集合。 接下来需要根据评价集V建立各等级的隶属函数来确定不同分数属于各个等级的隶属度 。只有借助隶属函数才有可能对模糊信息加以量化。 2019/2/25

隶属函数的确定方法目前主要有专家评分法、模糊统计法、二元对比排序法、滤波函 数法等多种。 隶属函数的确定方法目前主要有专家评分法、模糊统计法、二元对比排序法、滤波函 数法等多种。 专家评分法。典型例子是体操比赛中裁判对运动员的评分。运动员“技术好”是运 动员集合上的一个模糊集。某运动员“技术好”的评分就是所有评分的平均值，这 就是这个运动员“技术好”的隶属度。为了区别专家的学术水平和经验的多少，可 以采用加权平均法。 因素加权综合法。假若某模糊概念是由若干因素相互作用而成，而每个因素本身又 是模糊的。此时将论域U表示为n个因素集的笛卡儿积 。U上的模 糊集A是由Ai（i=1，2，…，n）复合而成，则： 其中， ， 反映了第i个因素的重要程度。 例如，用模糊集A表示学生集合上的“三好生”，学生x属于“三好生”的隶属 度等于x属于德智体美劳5个因素的隶属度的加权平均。 2019/2/25

给定论域U。例如对“青年人”，不妨取U=（0，100）（单位：岁）； 模糊统计法。也称为模糊统计实验，就是根据所提出的模糊概念，给出表示它的模 糊集，进行调查统计，以确定每一元素对该模糊集的隶属度，一般步骤如下： 给定论域U。例如对“青年人”，不妨取U=（0，100）（单位：岁）； 进行调查统计，得到U的一个运动着的，边界可变的普通集合A*，在每一次实验 之下，A*应该是一个确定的普通集合，但在不同次的实验中，A*的边界又可能 是不同的，因而把A*作为U中一个可运动的普通集合。 作n次实验，对给定元素 ，计算出x对A的隶属频率。实验证明，随着n的 增大，隶属频率会呈现稳定性。频率稳定所在的那个数，称为x对A的隶属度； 对所有 ，求x对A的隶属度，画出隶属函数曲线。 2019/2/25

6.1.3 模糊综合评价的计算 确定模糊关系矩阵 将各个子因素的得分代入模糊隶属函数，计算模糊关系矩阵R。用来描述每一个被评价 的对象，评价因素和评价等级之间的模糊关系。 其中， ，（i=1，2，…m；j=1，2，…，n）表示对第i个评价指标作出的第j级评 语的隶属度。 例如 2019/2/25

计算综合评价结果向量B 评价结果的综合判定和解析 利用模糊矩阵和权重集之间的合成运算，得到综合评价结果向量： 当 时，可作归一化处理。例如， 当 时，可作归一化处理。例如， 评价结果的综合判定和解析 最大隶属原则 综合评价得分。给定评价等级论域中各评价标准的分值（列向量C），就可以计算出评 价对象的得分值Q，据此，能够对各评价对象进行排队比较。Q=B·C 2019/2/25

例：基于模糊综合评价的旅游资源评价研究——以荆门市漳河水库为例（冯 霞，2007） 评价项目 评价因子 评价依据 资源要素价值 （85分，U1） 观赏游憩使用价值（30分，U11） 全部或其中一项具有极高的观赏价值、游憩价值、使用价值 全部或其中一项具有很高的观赏价值、游憩价值、使用价值 全部或其中一项具有较高的观赏价值、游憩价值、使用价值 全部或其中一项具有一般观赏价值、游憩价值、使用价值 历史文化科学艺术价值（25分，U12） 同时或其中一项具有世界意义的历史价值、文化价值、科学价值、艺术价值 同时或其中一项具有全国意义的历史价值、文化价值、科学价值、艺术价值 同时或其中一项具有省级意义的历史价值、文化价值、科学价值、艺术价值 历史价值、或文化价值、或科学价值、或艺术价值具有地区意义 珍稀奇特程度（15分，U13） 有大量珍稀物种，或景观异常奇特，或此类现象在其他地区罕见 有较多珍稀物种，或景观奇特，或此类现象在其他地区很少见 有少量珍稀物种，或景观突出，或此类现象在其他地区少见 有个别珍稀物种，或景观比较突出，或此类现象在其他地区较多见 规模、丰度与几率（10分，U14） 独立型旅游资源单体规模、体量巨大；集合型旅游资源单体结构完美、疏密度优良；自然景象和人文活动周期性发生或频率极高 独立型旅游资源单体规模、体量较大；集合型旅游资源单体结构很和谐、疏密度良好；自然景象和人文活动周期性发生或频率很高 独立型旅游资源单体规模、体量中等；集合型旅游资源单体结构和谐、疏密度较好；自然景象和人文活动周期性发生或频率较高 独立型旅游资源单体规模、体量较小；集合型旅游资源单体结构较和谐、疏密度一般；自然景象和人文活动周期性发生或频率较小 完整性（5分，U15） 形态与结构保持完整 形态与结构有少量变化，但不明显 形态与结构有明显变化 形态与结构有重大变化 资源影响力 （15分，U2） 知名度和影响力（10分，U21） 在世界范围内知名，或构成世界承认的名牌 在全国范围内知名，或构成全国性的名牌 在本省范围内知名，或构成省内的名牌 在本地区范围内知名，或构成本地区名牌 适游期或使用范围（5分，U22） 适宜游览的日期每年超过300天，或适宜于所有游客使用和参与 适宜游览的日期每年超过200天，或适宜于80%左右游客使用和参与 适宜游览的日期每年超过150天，或适宜于60%左右游客使用和参与 适宜游览的日期每年超过100天，或适宜于40%左右游客使用和参与 例：基于模糊综合评价的旅游资源评价研究——以荆门市漳河水库为例（冯 霞，2007） 湖北省荆门市漳河水库位于荆门市西部的城郊，距离市中心约18公里。漳河水库是全 国是中国第九大水库，属特大级水库。1997年被湖北省人民政府确立为省级风景名胜 区，2000年被确立为省级旅游度假区，同年被定为国家水利风景区。 评定因素集：国家旅游局制定的《旅游资源赋分标准》 2019/2/25

对上表的分值进行百分比处理后可得A＝（0.85，0.15），作为第一级评判集的权 重。进一步可得第二级评判集的两个彼此独立的权重A1和A2： 权重集 对上表的分值进行百分比处理后可得A＝（0.85，0.15），作为第一级评判集的权 重。进一步可得第二级评判集的两个彼此独立的权重A1和A2： A1＝（0.30/0.85，0.25/0.85，0.15/0.85，0.10/0.85，0.05/0.85）＝（0.35， 0.29，0.18，0.12，0.06） A2＝（0.10/0.15，0.05/0.15）＝（0.67，0.33） 评判集 V =｛v1，v2，v3，v4｝， v1、v2、v3、v4 分别代表很好、良好、较好、一般， 即V =｛很好，良好，较好，一般｝； 邀请10 位专家进行评分 评价内容及等级 很好 良好 较好 一般 观赏游憩使用价值（30分，U11） 1 8 历史文化科学艺术价值（25分，U12） 7 2 珍稀奇特程度（15分，U13） 3 规模、丰度与几率（10分，U14） 6 4 完整性（5分，U15） 知名度和影响力（10分，U21） 适游期或使用范围（5分，U22） 2019/2/25

得到两个关于资源要素价值和资源影响力的第二级多因素矩阵： 对专家的评价结果进行计算处理 得到两个关于资源要素价值和资源影响力的第二级多因素矩阵： 由于 ，于是： 对结果进行归一化处理，得到 ， 2019/2/25

五级旅游资源：“特品级旅游资源”，得分值≥90分； 四级旅游资源：“优良级旅游资源”，得分值≥75—89分； 根据最大隶属原则，可知专家对漳河水库的评价为“良好”。又设V={90，80，70， 60}，则可得该旅游资源的得分：D=B•VT=90*0.25+80*0.48+70*0.27+0=79.8 对比国家旅游局的评分体系： 五级旅游资源：“特品级旅游资源”，得分值≥90分； 四级旅游资源：“优良级旅游资源”，得分值≥75—89分； 三级旅游资源：“优良级旅游资源” ，得分值≥60—74分； 二级旅游资源：“普通级旅游资源” ，得分值≥45—59分； 一级旅游资源：“普通级旅游资源” ，得分值≥30—44分。 未获等级旅游资源，得分≤29分。 可见，漳河水库属于四级旅游资源，即“优良级旅游资源”。 2019/2/25

6.2 层次分析法 选购汽车问题的相关信息 对于这样的评价问题，可以采用层次分析法来解决，它的优点之一就是可以处理那些 评价过程中单个决策者的主观判断占主导地位的情况。 特点 雅阁 Saturn 雪佛兰 价格 13100美元 11200美元 9500美元 颜色 黑色 红色 蓝色 每加仑英里数 19 23 28 内饰 豪华型 中等偏上 标准型 车型 四门中等型号 两门运动型 两门简约型 音响系统 AM/FM、磁带、CD AM/FM 2019/2/25

6.2.1 层次分析法的基本原理 层次分析法（Analytic Hierarchy Process——AHP），是20世纪70年代初美国运筹 学家、匹兹堡大学教授萨蒂（T.L.Saaty）提出的一种定量与定性相结合的多准则决策 （评价）分析方法。被广泛应用于工程、经济、军事、政治、外交等领域，解决了诸 如系统评价、资源分配、价格预测、项目选择等许多重要问题。 AHP的基本原理 将一个复杂的评价系统，按其内在的逻辑关系，以评价指标为代表构成一个有序的层次结 构。然后，针对每一层的指标，进行两两比较对比，计算各个指标的权重。从而最终把系统 分析归结为最低层（如决策方案）相对于最高层（总目标）的相对重要性权值的确定或相对 优劣次序的排序问题。 AHP的整个过程体现了人的决策思维活动中分析、判断、综合等的基本特征，并将人 的主观比较、判断用数量形式进行表达和处理。 2019/2/25

6.2.2 层次分析法的基本步骤 建立递阶层次结构 将问题中所包含的因素划分为不同层次。这种结构从上到下顺序地存在支配关系，可 以清楚地描述系统各组成部分、要素的关联、隶属关系，以及高层次元素的排序变化 对低层次中元素排序的影响。 2019/2/25

构造判断矩阵 在构建出递阶层次结构之后，分析人员可根据每个准则对实现总目标作出的贡献，来 判断每个准则的相对重要性。具体做法是对每一层次各个元素的相对重要性进行两两 比较，并给出判断。这些判断用数值表示出来，写成矩阵形式，即所谓的判断矩阵。 假定上一层次元素Ck对下一层元素为A1，A2，…，An有支配关系，可以建立以Ck为判 断准则的元素A1，A2，…，An间的两两比较判断矩阵。判断矩阵记作A，形式如下： 2019/2/25

Saaty采用1～9的比例标度对各个元素的相对重要性予以赋值，他将这种标度与其他26 种标度进行比较后认为1-9标度能较好地将人的思维比较判断进行转换，构成比较恰当 的一维评估强度结构。 标度bij 含义 1 表示两个因素相比，具有相同的重要性 3 表示两个因素相比，i因素比j因素稍微重要 5 表示两个因素相比，i因素比j因素明显重要 7 表示两个因素相比，i因素比j因素强烈重要 9 表示两个因素相比，i因素比j因素极端重要 2，4，6，8 上述两相邻判断的中值 倒数 bji表示j元素与i元素的比较判断，有bji=1/bij   价格 每加仑英里数 舒适性 风格 1 3 2 1/3 1/4 1/2 4 2019/2/25

层次单排序 所谓层次单排序，即把同一层次相应元素对于上一层次某元素相对重要性的排序权值 求出来，其实就是确定相对的优先级。其方法是计算判断矩阵A的满足等式AW= W 的最大特征根 和对应的特征向量W，这个特征向量即是单一准则下的排序权值。 计算判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量的方法有很多种，在此只讨论方根法 和和积法两种。 方根法 2019/2/25

2019/2/25

和积法 2019/2/25

在汽车选购问题中，以判断矩阵为基础，需要进行5次层次单排序 价格 0.398 每加仑英里数 0.085 舒适性 0.218 风格 0.299 =4.185   价格 每加仑英里数 舒适性 风格 本田 0.123 0.087 0.593 0.265 Saturn 0.320 0.274 0.341 0.656 雪佛兰 0.557 0.639 0.065 0.080 2019/2/25

层次单排序的一致性检验 所谓一致性（consistency）是就成对比较的过程来说的。例如，如果准则A与准则B比 较，得分是3，而准则B与准则C比较，其得分是2，则完全一致的准则A与准则C比较的 得分将是6。如果给出的准则A与准则C比较的得分是4或者5，则存在不一致性。为了 处理一致性问题，AHP需要测定一致性程度，以判断能否接受。 一致性指数（CI） 根据矩阵理论，互反矩阵满足一致性时，它的最大特征根等于矩阵的阶数。 其中n是被比较项目的数量。CI表示判断矩阵偏离一致性的程度，越接近于0， 矩阵的一致性越好；当CI≤0.1时，认为判断矩阵具有满意的或者可接受的一 致性。判断矩阵的维数越多，越容易偏离一致性，CI越大。因此对于不同阶数 的判断矩阵，为达到满意一致性的CI临界值应该不同。这就需要对CI临界值根 据判断矩阵的不同阶数进行修正。 2019/2/25

平均随机一致性指标RI Saaty提出了用平均随机一致性指标RI修正C.I.的方法。随机一致性指标就是 随机构造的同阶判断矩阵的一致性指标，其获得过程如下：对于n阶矩阵，随 机的从1～9比例标度及其倒数中取得，作为矩阵的上（下）三角元素，主对角 线元素均取1，下（上）三角元素取上（下）三角元素的倒数，对该矩阵算得 的一致性指标CI就是随机一致性指标。 按照上述方法，独立地、随机地构造足够数量的同阶样本矩阵，计算这些随机 矩阵的一致性指标CI的平均值，即为平均随机一致性指标，记为RI。它是一个 与n阶数有关的数值。Saaty1980年作了样本容量各为500的1-11阶矩阵的实验 （T.L.Saaty，1980），所得平均随机一致性指标值RI如表所示 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 2019/2/25

一致性比率（consistency ratio，CR） 基于CI和CI的修正RI，提出了在AHP中普遍应用的一致性检验方法：一致性比 率CR，定义为判断矩阵的一致性指标CI与同阶平均随机一致性指标RI之比。 Saaty提出，当CR≤0.1时，可认为判断矩阵具有满意的一致性。CR是比CI更为 合理的衡量判断矩阵一致性的指标。 但是，CR也存在一定问题，主要表现在对于低阶矩阵的检验比较容易通过，但 对高阶矩阵则不易通过。这是因为CR临界值的选取存在明显的缺陷。 具体来说，首先临界值0.1的选取是凭经验确定的，缺乏必要的理论依据；其 次，用0.1这个统一的临界值标准来检验不同阶数判断矩阵的一致性程度，不 尽合理。 2019/2/25

检验时只要将计算得出的CI值与上表中的CI临界值作比较，当CI值小于同阶CI 临界值时，该判断矩阵即通过一致性检验。 就汽车选购问题中的5个层次单排序进行一致性检验，分别为：0.068、0.0158、- 0.0470、0.0158和0.0280。 各CR值均小于0.1，因此，各层次单排序均具有良好的一致性。 矩阵阶数 3 4 5 6 7 8 9 10 11 CI临界值 0.049 0.092 0.122 0.142 0.161 0.169 0.178 0.185 0.194 2019/2/25

层次总排序 在单一准则下排序的基础上，还需要进行层次总排序。也就是计算同一层次所有元素 对于最高层相对重要性的排序权值。这一过程是最高层次到最低层次逐层进行的。 若相对于目标层的准则层为B，下一层为C。此时C层次总排序权值由下表给出 2019/2/25

在汽车选择的问题中，AHP将使用顾客的个人喜好，根据每种准则对于总目标（选择 最好的汽车）的实现程度来排列这三种车的优先顺序 这些结果为决定购买哪辆车提供了基础。只要顾客相信自己对于各个层次判断矩阵的 选择是正确的，AHP优先级就显示Saturn是该顾客最喜欢的。   价格 每加仑英里数 舒适性 风格 三种车的优先顺序 0.398 0.085 0.218 0.299 本田 0.123 0.087 0.593 0.265 Saturn 0.320 0.274 0.341 0.656 0.421 雪佛兰 0.557 0.639 0.065 0.080 0.314 2019/2/25

层次总排序的一致性检验 对于层次总排序也需进行一致性检验。这一步骤也是从上到下逐层进行的。 当CR≤0.1时，认为递阶层次结构在C层次水平上的所有判断具有整体满意的一致性。 否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。 类似地，对于汽车选择问题，其层次总排序的CR= 0.0141，显然，层次总排序上的所 有判断具有整体满意的一致性。 2019/2/25

6.2.3 层次分析法软件 层次分析法中的计算虽然原理简单，但仍然繁琐，尤其对于非专业人员来说。所幸已 经有极为成熟的软件可以予以辅助。其中，尤以Expert Choice应用最为广泛、功能最 为完善。《财富》500强的企业、许多国家的政府机构等都仰赖Expert Choice改进效 率并获取竞争优势。 2019/2/25

选择出游地点的例子（三份问卷---群组决策） 考虑因素：生态、品质、价格、便利 备选方案：休闲农场、游乐园   生态 品质 价格 便利 1 1/3 3 4 1/4 生态 休闲农场 游乐园 品质 1 3 1/3 价格 便利 2019/2/25

生态 休闲农场 游乐园 品质 1 4 1/4 价格 便利 1/2 2   生态 品质 价格 便利 1 2 1/2 3 生态 休闲农场 游乐园 品质 1 1/2 1/3 2 3 价格 便利   生态 品质 价格 便利 1 2 3 1/2 1/3

在问卷1的主画面上方工具列选择GO底下的Participants Tables 选择此表格上方工具列的Edit下的Group enable，增加Combine列 选择此表格上方工具列的Edit下的Add N Participants，本例只加入另外兩份问卷，所 以产生2个新栏：Facilitator表示问卷1，P2与P3均为空白问卷 因为成对比较是一对一比较，所以先勾选P2取消P3 在PID2或PersonName P2上按鼠标左键兩下，进入P2进行编辑 同样在工具列选择GO下的Participants Tables，并按右下方的Combine individuals 键进行综合分析 2019/2/25