第三章 控制系统的运动分析

本章主要内容 对自动控制系统的基本要求 几种典型输入信号及响应之间的关系 控制系统的暂态响应特性 控制系统的稳定性 控制系统的稳态误差

3.1 对自动控制系统的基本要求 稳定性 稳态响应性能 稳态跟踪精度高或稳态误差小 动态（暂态）响应性能 可概括为 稳、 快、 准 3.1 对自动控制系统的基本要求 稳定性 受扰后能恢复平衡， 跟踪输入信号时不 振荡或发散 稳态响应性能 稳态跟踪精度高或稳态误差小 动态（暂态）响应性能 （跟踪、抗扰）响应的快速性、平稳性好 r e y u 控制器 对象 检测 反馈控制系统 可概括为 稳、 快、 准 稳定、平稳

典型跟踪响应： time y 期望值

典型抗扰响应： 期望值 y 加扰动 time

3.2 几种典型输入信号及响应之间的关系 ① 阶跃信号 r(t) A t A 为常数 A=1 时  单位阶跃信号，常表示为 3.2 几种典型输入信号及响应之间的关系 ①　阶跃信号 A t r(t) A 为常数 A=1 时  单位阶跃信号，常表示为 r(t) = 1( t ) 一般情况下可表示为 r(t) = A×1( t ) 对应的拉氏变换为 R(s) = A / s

② 斜坡（速度）信号 ③ 抛物线（加速度）信号 r(t) R(s) = A / s2 A=1 时  单位斜坡信号 t r(t) ②　斜坡（速度）信号 t r(t) R(s) = A / s2 A=1 时  单位斜坡信号 ③　抛物线（加速度）信号 t r(t) R(s) = A / s3 A=1 时  单位抛物线信号

r(t) t 矩形脉冲 ④　脉冲信号 令ε→0，即得脉冲信号的数学表达式为 R(s) = A A=1时  单位脉冲函数，记作δ(t)

⑤　正弦信号 A为振幅，ω为角频率，φ为初始相角。

4 种典型输入信号之间的关系 对抛物线信号微分 = 斜坡信号 对斜坡信号微分 = 阶跃信号 对阶跃信号微分 = 脉冲信号 微分关系 对斜坡信号微分 = 阶跃信号 对阶跃信号微分 = 脉冲信号 对脉冲信号积分 = 阶跃信号 积分关系 对阶跃信号积分 = 斜坡信号 对斜坡信号积分 = 抛物线信号

典型初始条件与典型响应 典型初始条件：零初始状态，即 在t=0时 系统的输入及输出以及各阶导数均为零。即在外作用施加之前系统是静止的。 典型响应：系统在零初始状态下，在典型输入信号作用下的响应。如：单位脉冲响应、单位阶跃响应、单位斜坡响应、单位抛物线响应。 r(t) y(t) 系统

4种典型响应之间的关系 系统 G(s) r(t) y(t) R(s) Y(s)

即 脉冲响应=阶跃响应的微分 或 阶跃响应=斜坡响应的微分 斜坡响应=抛物线响应的微分 r(t) y(t) 注：最常用的是单位阶跃响应 系统

3.3 控制系统的暂态响应特性 单位阶跃响应与性能指标 一阶系统的暂态响应特性 二阶规范型系统的暂态响应特性 零点对二阶系统暂态响应的影响 3.3 控制系统的暂态响应特性 单位阶跃响应与性能指标 一阶系统的暂态响应特性 二阶规范型系统的暂态响应特性 零点对二阶系统暂态响应的影响 高阶系统的暂态响应

3.3.1 单位阶跃响应与性能指标 性能指标：优化类， 非优化类 响应曲线的特性 3.3.1 单位阶跃响应与性能指标 性能指标：优化类， 非优化类 响应曲线的特性 优化需要较多的数学分析和计算，而基于响应曲线特性的非优化问题则更为直观。 r e y u 控制器 对象 检测 反馈控制系统 本章讨论非优化类的暂态和稳态指标。

单位阶跃响应1——非振荡型 y(t) 误差带Δ=5% ess ess:稳态误差 tr:上升时间 ts:调节时间 t tr ts

单位阶跃响应2——衰减振荡型 y(t) 1 ess t 误差带Δ=5% ess:稳态误差 tr:上升时间 tp:峰值时间 ts:调节时间 tr t tp ts

3.3.2 一阶系统的暂态响应特性 数学模型为 系统 G(s) 以下设 K=1 ，T>0 r(t) y(t) R(s) Y(s) j 3.3.2 一阶系统的暂态响应特性 r(t) y(t) 数学模型为 系统 G(s) R(s) Y(s) j  P=-1/T S平面 T>0时G的极点分布 以下设 K=1 ，T>0 T<0时G的极点位置？

一阶系统的典型响应 （1）单位阶跃响应 T<0时， y(t)？ K≠1 时， y(t)=？ r(t) y(t) 系统 G(s) R(s) Y(s) T<0时， y(t)？ 稳态分量 暂态分量 K≠1 时， y(t)=？

暂态性能指标：ts= 3T（Δ=5% ）, tr=2.2T, σp= 0 稳态指标：ess= 0 0.9 0.1 暂态性能指标：ts= 3T（Δ=5% ）, tr=2.2T, σp= 0 稳态指标：ess= 0 特点：T↓（极点与虚轴的距离↑） 快速性↑ ts= 4T（Δ=2% ）

（2）一阶系统的单位脉冲响应 变化趋势与阶跃响应一致

（3）一阶系统的单位斜坡响应 有稳态误差(ess=T) 变化趋势同样与阶跃响应一致

反馈控制系统分析例（一阶） 图 P(s) C(s) F(s) 暂态性能： K↑ T↓快速性↑

K与控制量u(t)的关系： u图 ∴ K↑  u↑ K与稳态误差 ess 的关系： e图 其期望值 = 5 即 K↑  ess↓

抗扰性分析 d图 P(s) C(s) F(s) 抗扰性能： K↑ T↓，1-Kd↓ 快速性↑，稳态误差↓

Simulink仿真结构图

输出量仿真曲线（无扰动） K=10 y(t) K=5 K=2 time

控制量仿真曲线（无扰动） K=10 u(t) K=5 K=2 time

输出量仿真曲线（有扰动） K=10 K=5 y(t) K=2 d=1(t-5) time

3.3.3 二阶规范型系统的暂态响应特性 （只讨论阶跃响应） 数学模型为 G(s) R(s) Y(s) 极点分布 3.3.3 二阶规范型系统的暂态响应特性 （只讨论阶跃响应） 数学模型为 G(s) R(s) Y(s) ζ=1：临界阻尼 （重极点） 0<ζ<1 欠阻尼 极点分布 振荡 发散 无阻尼 等幅 振荡 单调 发散 ζ>1 过阻尼

稳态分量 暂态分量

注：阻尼角与极点位置的关系 变化特征：极点与虚轴的距离越远，响应越快；极点的阻尼角越小，响应越平稳。 j s平面 s1 s2 s平面 s2 s1 极点位置与阻尼角 × 变化特征：极点与虚轴的距离越远，响应越快；极点的阻尼角越小，响应越平稳。

二阶规范系统的单位阶跃响应（ζ≥0） y(t) nt ζ≈0.7 时按Δ=5%调节时间最短（称为最佳阻尼比） =0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 2.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 nt y(t) 1.2 1.4 1.6 1.8 误差带Δ=5% ζ≈0.7 时按Δ=5%调节时间最短（称为最佳阻尼比）

欠阻尼二阶系统的暂态指标估算 1. 峰值时间与超调量 j s平面 s2 s1 极点位置与阻尼角 ×

j s平面 s2 s1 极点位置与阻尼角 × π

2. 上升时间 j s平面 s2 s1 极点位置与阻尼角 ×

2. 调节时间 y(t) t 1 T 2T 3T 直接求解比较困难， ∴根据包络线估算

小结：对于欠阻尼二阶系统，极点的阻尼角（阻尼比）决定响应的平稳性 阻尼角（阻尼比）一定时，极点与虚轴的距离决定响应的快速性 j s平面 s2 s1 极点位置与阻尼角 × 小结：对于欠阻尼二阶系统，极点的阻尼角（阻尼比）决定响应的平稳性 阻尼角（阻尼比）一定时，极点与虚轴的距离决定响应的快速性

过阻尼二阶系统的暂态指标估算 G(s) R(s) Y(s) 可看作两个惯性环节的串联，暂态指标估算没有统一的公式，可根据经验公式或事先计算好的规范化曲线查出，如右图的调节时间。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 3.6 3.4 3.2 3.0 4.4 4.2 4.0 3.8 4.8 4.6 ts/T1 T1/T2 =1 误差带=5% (T1>T2) 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 19

一、二阶系统极点位置与响应特性的关系 无论是一阶还是二阶系统，极点的位置决定系统响应的基本形态： 极点位于除原点外的虚轴上  等幅振荡（二阶） 有极点位于右半复平面  发散 极点全部位于左半复平面  收敛 j s平面 s2 s1 极点位置 × 在收敛的情况下，响应的快速性取决于极点与虚轴的距离，响应的平稳性取决于极点与负实轴的夹角。

零点-1/b 越靠近原点，对系统响应的影响越大， 3.3.4 零点对二阶系统暂态响应的影响 G(s) R(s) Y (s) 零点-1/b 越靠近原点，对系统响应的影响越大， 且随极点的不同而有利有弊

Simulink仿真结构图（实数极点） b=0.4时的结构图 仿真：ac3no1

b=0.4 时的单位阶跃响应曲线 响应平稳，无超调 快速性↑，但改善不大

b=1.2 时的单位阶跃响应曲线 快速性↑，但平稳性↓，产生一点超调

b=2 时的单位阶跃响应曲线 快速性↑，但平稳性↓，产生较大超调

b取不同正值时的单位阶跃响应比较 结论：对于实数极点的系统，恰当配置一个负实数零点可明显改善快速性。

b取不同负值时的单位阶跃响应比较 虽无超调，但产生反调，且快速性↓ 结论：对于实数极点的系统，配置正实数零点有害无益。

实数极点时零点与超调的关系 分析思路：若有超调，则响应有峰值， 在 0＜t ＜∞的范围内一定存在t1，使

结论：当零点比极点更靠近虚轴时，响应有超调， 且 b ↑ 超调↑， tr, tp ↓, ts ↑。 jω σ -1/b s1 s2 × ○ 系统零极点分布 结论：当零点比极点更靠近虚轴时，响应有超调， 且 b ↑ 超调↑， tr, tp ↓, ts ↑。 配置零点的原则（无超调条件）：－1／b ≤ s1

Simulink 仿真结构图（复数极点） b=1时的结构图 仿真：ac3no2

b=0.5 时的单位阶跃响应曲线 平稳性↓ 快速性部分指标↓

b=2 时的单位阶跃响应曲线 平稳性↓ 快速性部分指标↓

b取不同正值时的单位阶跃响应比较 b↑平稳性↓， 快速性的 tr , tp↓, ts↑ 即配置负实数零点弊大于利

b取不同负值时的单位阶跃响应比较 b↓平稳性↓，反调↑，快速性↓ 即配置正实数零点有害 无益

关于零点作用的综合评价 只有当系统具有负实数极点时，恰当地配置一个负实数零点可以既保证平稳性，又明显改善快速性； 上述情况下，零点应尽量不比极点更靠近虚轴，以避免产生超调； 对于其他情况，增加零点基本上有害无益或弊大于利，应尽量避免。 参考：电气电子教学学报，2013, 35（3），11-14

反馈控制系统分析设计例 P(s) C(s) F(s)

注：该条件由（2）推得，满足它则一定满足（1） 不产生超调的条件 （1） （2） 注 注：该条件由（2）推得，满足它则一定满足（1）

输出响应的仿真曲线（KI =1，调Kp） Kp>0.5 Kp≥2KI 时不产生超调

输出响应的仿真曲线（Kp=2，调KI） Kp>0.5

输出响应的仿真曲线（同时调 Kp，KI） Kp>0.5

输出响应的仿真曲线（Kp=0.1，调KI） Kp<0.5

Kp<0.5时产生超调的原因是极点变为复数，而非零点，因为零点始终< Re(s1,2) Kp=0.1，KI=0.1时的局部放大图 Kp<0.5时产生超调的原因是极点变为复数，而非零点，因为零点始终< Re(s1,2)

参考： 1. 有零点二阶系统的动态性能分析. 电气电子教 学学报，2013，35卷，3期，11页. 2 参考： 1. 有零点二阶系统的动态性能分析. 电气电子教 学学报，2013，35卷，3期，11页. 2. 自动控制原理有零点二阶系统的分析与教学 探讨. 2013自动化教育学术年会论文集.

∴ y(t) 可看作多个一阶系统和二阶系统响应的叠加 3.3.5 高阶系统的暂态响应 G(s) R(s) Y(s) ∴ y(t) 可看作多个一阶系统和二阶系统响应的叠加

高阶系统极点位置与响应特性的关系 类似于低阶系统，极点的位置决定系统响应的基本形态 有极点位于除原点外的虚轴上  等幅振荡或发散 有极点位于原点  不收敛（恒值或发散） 有极点位于右半复平面（不含虚轴）  发散 极点全部位于左半复平面  收敛 j s平面 s2 s1 极点位置 × 在收敛的情况下，收敛速度基本取决于极点与虚轴的距离，收敛的平稳性基本取决于极点与负实轴的夹角。（零点也有影响）

高阶系统如何简化或低阶化？ （1）主导极点： 当部分极点与虚轴的距离远小于其他极点时，称其为主导极点，非主导极点的影响可以忽略。 j s平面 s1 × 主导极点 j s平面 s2 s1 × 主导极点 依据：非主导极点所对应的暂态分量的衰减速度远远大于主导极点所对应的暂态分量。

时间常数<<主导极点对应的时间常数

近似前后的单位阶跃响应曲线 仿真：ac3no3

一般情况下，与虚轴距离是其他极点与虚轴距离的4-5倍及以上的极点可略去。 j s平面 s2 s1 × -0.5 0.87 -2.5 1.94 s3 s4 一般情况下，与虚轴距离是其他极点与虚轴距离的4-5倍及以上的极点可略去。

近似前后的单位阶跃响应曲线 仿真：ac3no5

（2）非主导零点： 当零点与虚轴的距离远大于主导极点与虚轴的距离时，这样的零点（非主导零点）可以忽略。 s平面 s2 s1 z1 z2 s3 s平面 s2 s1 × -0.5 0.87 2 z1 z2 -5 -10 j s3 -2 依据：主导极点所对应的暂态分量衰减慢非主导零点所导致的微分分量小；零点远离虚轴微分分量的系数小。

近似前后的单位阶跃响应曲线

（3）偶极子： 相距很近的一对零极点叫作偶极子。 左半复平面远离虚轴的偶极子，其影响可忽略； 依据：偶极子所对应的暂态分量系数很小、且衰减快。 但比主导极点更接近虚轴的偶极子其影响必须考虑。 j s平面 s2 s1 ×  偶极子 1 -1 使增益=1 讨论不同位置偶极子对系统响应的影响

j s平面 s2 s1 × 偶极子 1 -1  -2 -2.2 j s平面 s2 s1 × 偶极子 1 -1  -0.2 -0.22

j s平面 s2 s1 × 偶极子 1 -1  -0.02 -0.022

情况①时的单位阶跃响应曲线 仿真：ac3no4

情况②时的单位阶跃响应曲线

情况③时的单位阶跃响应曲线

对于高阶的复杂系统，为了简化分析和设计，常常需要将高阶系统转化为低阶系统，而“主导极点”、“非主导零点”和“偶极子”的概念则是高阶系统低阶化的主要依据。 练习：B3.19, B3.25, B3.26