行列式

1．用消元法解二元线性方程组 (1) (2)

原方程组有唯一解 由方程组的四个系数确定

若记 则当　　　时该方程组的解为 克莱姆法则

行列式的定义 1. 二阶行列式 对角线法则： 主对角线元素之积减去副对角线元素之积 主对角线 副对角线

对角线法则 例 根据定义计算行列式的值

在三元一次线形方程组求解时有类似结果 即有方程组 当 时，有唯一解

其中

类似的n元一次线性方程组有克莱姆法则 在系数行列式 时有唯一解：

n 阶行列式的定义 按第一行展开

元素 的余子式 就是在行列式中划掉元素 所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成的行列式 ●余子式 元素 的余子式 就是在行列式中划掉元素 所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成的行列式 元素 的余子式 ●代数余子式 元素 的代数余子式

三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自的代数余子式的乘积之和

按第一行展开

例1 根据定义计算行列式的值

例2 计算行列式的值 按第一列展开

例３ 计算行列式 解 按第一行展开，得

逐次按第一列展开 上三角形行列式 上三角形行列式的值为 主对角线上的元素之乘积

逐次按第一行展开 下三角形行列式 下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积 特别 对角形行列式

类似可得： 上三角形行列式 下三角形行列式

对角形行列式

行列式的性质 性质1 推论1 行列式中某一行（列）为零，则行列式为零． 行列式某行（列）元素的公因子可提到 行列式符号之外．即 或者说，以一数乘行列式的一行（列）就相当于 用这个数乘此行列式． 推论1 行列式中某一行（列）为零，则行列式为零．

性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论2：如果行列式D有两行（列）相同，则D=0 推论3：如果行列式D有两行（列）的元素对应成 比例，则D=0

性质3 若行列式的某一行（列）的元素都是两数 之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式 之和，即

性质4 把行列式的某一行（列）的倍数加到另一 行（列），行列式不变. 例如

行、列对掉 记作 称 为行列式 的转置行列式

表明行与列是对等的，行具有的性质，列也具有 行列式转置后，其值不变。

计算行列式的值

例题 1、计算行列式的值 （1） （2） 2、设有行列式 A11、A12、A13、A14分别是D的 第一行元素的代数余子式，试求 3A11-A12+3A13-A14的值。

解答 1、（1） 原式 按第一列展开 按第二行展开

解答 2、将代数式还原成 行列式，得 1、（2） 原式 按第四列展开 按第二列展开

行列式的计算方法：一般是先利用性质，用 消法变换将行列式中某一行（或列）的元素 尽可能地化为零，最好是只留下一个元素不 为零，然后按该行（或列）展开，使行列式 降阶，最终化为二阶行列式，而得解。

二、应用举例 计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 例１

解

例2 计算 阶行列式 解 将第 都加到第一列得

例4

解

第二节 矩阵的概念及运算 一 矩阵的概念 例1 某公司生产四种产品A,B,C,D,第一季度的销量分别如下表所示： 产品 销量 第二节 矩阵的概念及运算 一 矩阵的概念 例1 某公司生产四种产品A,B,C,D,第一季度的销量分别如下表所示： 产品 销量 月份 A B C D 一月 300 250 220 180 二月 320 230 200 200 三月 310 280 210 220

为了研究方便，在数学中常把表中的说明去掉，将上表简化为如下的矩形数表： 此表在数学上称为矩阵。

定义 由 个数，排成的m行n列的数表 叫做m行n列矩阵（或 矩阵）； 其中 叫做矩阵的元素； 分别叫 做 的行标和列标。 也可用 或 表示矩 阵

特殊矩阵 1）行矩阵：例 （行向量） 列矩阵： （列向量） 例 零矩阵 （零向量）

列矩阵 2）方阵 方阵中有：上三角阵、下三角阵、对角阵及 单位阵 或

对角方阵（除主对角线外，其余元素均为0的方阵）： 如 为对角方阵

上三角阵 例如 为上三角阵

下三角阵 例如 为下三角阵

由m个方程构成的n元线性方程组 系 数 矩 阵 增广矩阵

矩阵的相等 设矩阵 如果 则称矩阵A与B相等，记作 A=B．

例2 设 解

矩阵的运算 一、加法 二、乘法 三、数量乘法 四、转置

一、加法 设 　 则矩阵 1．定义 称为矩阵A与B的和，记作　 ．即

矩阵加法的一种实际背景： 某种物资（单位：吨）从m个产地运往n个销地，两次调运方案分别用矩阵 表示。则求各产地到各销地的两次物资调运量就是作矩阵A和B的加法：

例如

2．性质 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 3．减法 定义

数量乘法 1．定义 设 　 则矩阵 称为矩阵 A 与数 k 的数量乘积．记作： 即

2．性质

乘法 1．定义 设 则 矩阵 其中 称为 与 的积，记为 ．

注意 ① 乘积 有意义要求 A 的列数＝ 的行数. ② 乘积 中第 行第 列的元素由 的第 行 乘 的第 列相应元素相加得到． 如 不存在.

例1 例2 设

解 故

例3 线性方程组 令 则（1）可看成矩阵方程

例4． 而 无意义． 例5．

例6

注意 ① 一般地， 若 ，称A与B可交换． ② 未必有 或 ． 即 且 时，有可能 ． ③ 未必 ．

2．矩阵乘法的运算规律 (结合律) （分配律)

四、转置 1．定义 设 的转置矩阵是指矩阵 记作 或 ．

2．性质

列矩阵 方阵

对称与反对称矩阵 定义 设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那么 称为对称阵. 说明: 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.

若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且

方阵的行列式 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或 运算性质

可逆矩阵的概念 一、概念的引入 有 在数的运算中， 当数 时， （或称 的逆）； 其中 为 的倒数， 单位阵 相当于数的乘法运算中 当数 时， （或称 的逆）； 其中 为 的倒数， 单位阵 相当于数的乘法运算中 在矩阵的运算中， 的1。 因此在矩阵的运算中可以相应的引入逆矩 阵的概念。

逆矩阵的概念 定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得 AB＝BA＝E 则称A为可逆的，称B为A的逆矩阵. 例 设

逆矩阵的性质 （1） 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作 （2） 可逆矩阵A的逆矩阵　　也是可逆矩阵，且

若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的. 事实上若设 和 是 的逆矩阵， 则有 可得 所以 的逆矩阵是唯一的。 A的逆记为 ，即 AA-1=A-1A=E。

证明

证明

可逆的充要条件 1、伴随矩阵 定义 设　 是矩阵　　　　　中元素 的代数 余子式，矩阵 称为A的伴随矩阵. 注意下标 性质：

证：由行列式按一行（列）展开公式 立即可得, 同理,

2、定理：矩阵A可逆当且仅当　　　 （即A 非退化的），且 证：若　　　　由 得 所以，A可逆，且 反过来，若A可逆，则有 两边取行列式，得

3、推论：设A、B为 n 级方阵，若 则A、B皆为可逆矩阵，且 证： 从而　　　　 由定理知，A、B皆为可逆矩阵. 再由　　　　 即有，

三、逆矩阵的求法 例1 求方阵 的逆矩阵. 解

同理可得 故

例2 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆.

解：1）　 ∴ A可逆. 再由 有

∴ 当　　　　　　　　　时，A可逆. 且由于

例3

解 给方程两端左乘矩阵

给方程两端右乘矩阵 得

给方程两端左乘矩阵

给方程两端右乘矩阵 得

例4 设 解

于是

例5 解

例 求解方程组 解

定理 AX=B为n 元线性方程组，则 （1） 时， AX=B有唯一解； （2） 时， AX=B有无穷多解； （3） 时， AX=B无解；

齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组 一定有解， 是它的一个解， 称为方程组（2）的零解。 （2）

若记 ， ，…，

方程组（2）可写成向量形式 对方程组（2），以下几种说法是等价的： 1. 方程组（2）有非零解； 2. 向量组 线性相关； 3. 系数矩阵A=（ ）的秩小于 n，即R（A）<n.

定理 齐次线性方程组（2）有非零解的充要条件 是它的系数矩阵A的秩R（A）<n,其中n为（2）的未知 量的个数。 若R（A）= n, 则方程组（2）只有零解。 推论 含有n个方程n个未知量的齐次线性方程组有 非零解的充要条件是它的系数行列式 。

线性相关性的概念 定义 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 注意

例1 判别向量组 的线性相关性。 解 设有数k1，k2，k3，使 即 则 显然k1=k2=1，k3=-1，满足上式。所以存在不全为零的数1，1，-1使 所以 线性相关。

设 则 ＝AK 故向量 线性相关 AK＝0有非零解。

例2 证明向量组 线性无关。 证明 设 即 所以 所以 线性无关。

例3 判断向量a=(1,2,-1,0),b=(2,-3,1,0),c=(4,1,-1,0)的线性关系 不是等号 向量a=(1,2,-1,0),b=(2,-3,1,0),c=(4,1,-1,0)线性相关 向量a，b线性无关 向量a，b称为向量a，b，c的一个极大线性无关组。

例1 求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 　　对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有 解

例2 解线性方程组 解 对系数矩阵施 行初等行变换

即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量.

所以原方程组的一个基础解系为 故原方程组的通解为

１．非齐次线性方程组解的性质 证明

证明 证毕．

２．非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax=B的通解为 　　其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解.

定理1 若非齐次方程组（1）有解，即R(A)=r，则当r=n时，方程组（1）有唯一解；当r<n时，方程组（1）有无穷多解。 证明 R(A)=n时，（1）对应的齐次方程组只有零解，因此由非齐次方程组通解的表达式知它有唯一解。R<n时（1）对应的齐次方程组有无穷多解，再由非齐次方程组通解的表达式知它有无穷多解。

例1 求解方程组 解

例2 求下述方程组的解 解

所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组

求基础解系 令 依次得

故得基础解系 求特解 所以方程组的通解为

另一种解法

则原方程组等价于方程组

所以方程组的通解为

方阵的特征值与特征向量

一、特征值与特征向量的概念 说明

例1 解

例２ 解

例３ 设 求A的特征值与特征向量． 解

得基础解系为：

注意 　　１.　属于不同特征值的特征向量是线性无关 的． 　　２.　属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． 　　３.　矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．

特征值与特征向量的求法 例5 设A是 阶方阵，其特征多项式为 解

小结 求矩阵特征值与特征向量的步骤：

1（1） 计算行列式 解 按第一行展开，得

（2）计算行列式 解

2

解 故

4．求下列矩阵是否可逆，若可逆，求出其逆矩阵。 解

5（1）求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 　　对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有 解

（2）求解方程组 解

6．求矩阵A的特征值与特征向量。 解特征方程 ，求特征值，得到 特征值为

对特征值 ，解齐次线性方程组 得到 基础解系为 特征向量为 对特征值 ，解齐次线性方程组 得到 基础解系为 特征向量为