第九章 離散程度

全距 前章之均數雖然是一組樣本重要之統計量；但各樣本間之離散程度也 是觀察一分配的重要特徵。如果，一分配之離散程度較小，其均數對 全體的代表性就較高；反之則否。因此，欲瞭解一分配的基本性質， 除需計算均數等集中趨勢數量外；還得衡量其標準差、全距、……等 離散程度。 最大值減最小值就是全距（range）： 全距＝最大值－最小值 全距表示一群體全部數值的變動範圍，是一種離中量數，可用來表示 群體中各數字之分散情形，數字大表母體中之數值高的很高，但低的 卻很低。

未分組資料之全距 對於未分組之數值資料，於Excel可使用MAX()-MIN()、LARGE()- SMALL()或下文QUARTILE()與PERCENTILE()與函數來求算全距： （詳範例Ch09.xlsx『運動時間全距』工作表）

若分別以DMAX()、DMIN()與DAVERAGE()，可依性別求男女之極大、極小 與均數。以範例Ch09 若分別以DMAX()、DMIN()與DAVERAGE()，可依性別求男女之極大、極小 與均數。以範例Ch09.xlsx『依性別求運動時間全距』工作表F欄之男性部份 言，其運算公式分別為： F4極大 =DMAX($A$1:$C$116,$C$1,F$2:F$3) F5極小 =DMIN($A$1:$C$116,$C$1,F$2:F$3) F6全拒 =F4-F5 F7平均 =DAVERAGE($A$1:$C$116,$C$1,F$2:F$3) F8樣本數 =DCOUNT($A$1:$C$116,$C$1,F$2:F$3)

馬上練習 以範例Ch09.xlsx『依性別求飲料花費之全距』工作表內容，依性別計 算飲料花費之全距。

分組資料之全距 若原取得之資料係分組結果，如：0~2000、 2001~4000、……10001~，通常是以 最大組之上界 － 最小組之下界 來求算其全距。 最小組之下界取得並無問題；較困擾的是最大組之上界，我們可以 最大組之上界 ＝ 前一組之上界 ＋ 組距 來求得。如：0~2000、2001~4000、…、8001~10000、10001~之分 組，其最小組之下界為0，最大組之上界為 10000 + 2000 = 12000 全距為 12000 – 0 =12000 雖不是很正確，但也是沒辦法的事！

全距之優缺點 全距是衡量離散程度最簡單的方法，全距越小表資料之分配越集中。 它的優點為： 計算方法很簡單 意義明顯，容易解釋 但其缺點為： 反應不夠靈敏，當極大、極小數值不變，而其它各項數值皆改變時， 全距仍不能反應出變化 易受兩極端數值的影響 因此，一般言，全距並不是很好的離散程度衡量法。通常，用於取樣 不多，要粗定其相差程度之特殊情況。如：品管上，工廠只要求其產 品之使用壽命的全距不要太大，並不很重視使用壽命長短的分佈情況， 雖取樣不多，但卻能發揮其簡捷功效。此外，醫生觀察病人的體溫， 氣象局公佈之溫差、股票組對股價的漲跌，也經常是使用全距資料。

四分位差 QUARTILE(陣列,類型) QUARTILE(array,quart) 求一個數值陣列或儲存格範圍的第幾個四分位數：將所有數字依大小 順序排列後，排列在0%、25%、50% 、75%與100%之數字。如果該 位置介於兩數之間，將計算該點左右兩個數字的平均值。 陣列是要求得四分位數的數值陣列或儲存格範圍。 類型用以指出要傳回的數值： 0 表最小值(0%處) 1 表第一個四分位數(25%處)，下四分位數，Q1 2 表第二個四分位數(50%處)，即中位數，Q2 3 表第三個四分位數(75%處)，上四分位數，Q3 4 表最大值(100%處)

最大值減最小值就是前述之全距。第三個四分位數Q3減去第一個四分位數Q1 後的一半： 即四分位差（Q. D 最大值減最小值就是前述之全距。第三個四分位數Q3減去第一個四分位數Q1 後的一半： 即四分位差（Q. D.），因其為Q3與Q1間距之半，故又稱半內距。其意義為： 以母群體居中百分之五十的數值（中位數），所分散之距離的一半為差量，數 字小表分配情況的集中程度高。

未分組資料之四分位數 對於未分組之數值資料，於Excel可直接使用QUARTILE()函數來求 算四分位數，並計算出全距與四分位差：（詳範例Ch09.xlsx『運動時 間四分位數』工作表）

馬上練習 依範例Ch09.xlsx『成績之四分位數』工作表內容，計算其四分位數、 全距與四分位差。

分組資料之四分位數 若原資料係分組資料，如：5萬元以下、5至10萬元、…。其Q1、Q3之 算法類似前章求算中位數之近似值，因中位數即是Q2。Q1之算法為： 式中， n為總樣本數 LQ1為Q1組之下限 Fi為Q1組以下的累計次數（Q1組之次數不算） fi為Q1組之次數，即累計百分比為25%之組別所出現的樣本數 h為Q1組之組距

同樣，Q3之算法為： 式中， n為總樣本數 LQ3為Q3組之下限 Fi為Q3組以下的累計次數（Q3組之次數不算） fi為Q3組之次數，即累計百分比為75%之組別所出現的樣本數 h為Q3組之組距 如範例Ch09.xlsx『求分組資料之四分位數』工作表之資料，其Q1近似值為：

如範例Ch09.xlsx『求分組資料之四分位數』工作表之資料，其Q1近似值為： 即 =50000+((F7/4)-H2)/F3*50000

馬上練習 依範例Ch09.xlsx『每月零用金之四分位差』工作表內容，計算每月零 用金之四分位差。原問卷之內容為： 請問您每月可支配零用金額大約多少： □1. 2000元以下 □2. 2000~4000元 □3. 4000~6000元 □4. 6000~8000元 □5. 8000~10000元 □6. 10000元以上

四分位差之優缺點 四分位差之優點為：不受少數極端值的影響。但其缺點為： 僅能表示一次數分配中間一半變量之分散情況；而不是全部變量之分 散情況！對分佈兩端之範圍，則不涉及。 計算稍嫌麻煩，尤其是分組資料。

百分位數 PERCENTILE(陣列,百分比) PERCENTILE(array,percent) 可用來求一個數值陣列或儲存格範圍的第幾個百分位數：將所有數字 依大小順序排列後，排列在百分比所指定位置之數字。如果該位置介 於兩數之間，將計算該點左右兩個數字的平均值。 陣列是要求得百分位數的數值陣列或儲存格範圍。 百分比是介於0～1之百分比數字，如：0.25將求得第一個四分位數(Q1， 25%處，也可以P25表示)，0.5將求得第二個四分位數(Q2，50%處，也 可以P50表示)，即中位數。當其百分比為10的倍數，則求得者即為十 分位數。如：0.3將求得第三個十分位數D3（也可以P30表示），0.9將 求得第九個十分位數D9（也可以P90表示）。

前文QUARTILE()四分位數函數只能求四分位數，本函數則可求任何百分位 數，F15係求D3（P30）：（詳範例Ch09 前文QUARTILE()四分位數函數只能求四分位數，本函數則可求任何百分位 數，F15係求D3（P30）：（詳範例Ch09.xlsx『成績之百分位數』工作表） =PERCENTILE($A$1:$H$9,E15)

馬上練習 依範例Ch09.xlsx『運動時間之百分位數』工作表內容，計算P20、P80， P80－P20之數字代表何種意義？

平均絕對差 平均絕對差（MAD，mean absolute deviation）之公式為： 即取每一觀測值與其均數間差異的絕對值之算術平均，取其絕對值就 是因為無論正差或負差，取絕對值後均為正值，就不會產生正負相抵 銷之情況。 於Excel，平均絕對差可利用AVEDEV()函數來求算，其語法為： AVEDEV(數值1,[數值2],...) AVEDEV(number1,[number2],...) 式中，方括號包圍之部份表其可省略。數值1,[數值2],...為要計算平均 絕對差之儲存格或範圍引數，最多可到255個引數。

範例Ch09.xlsx『平均絕對差』工作表，以D欄計算所有成績與均數差之絕對 值 =ABS(C2-$B$12)、… 的總和，再除以筆數 =COUNT(C2:C8) 求得平均絕對差10.49（=D9/D10）。其結果同於直接以 =AVEDEV(C2:C8) 所求得平均絕對差： 在直覺上，它是一個很理想的離散程度之衡量方法。其值越小，表離散程度越小。它的優點是：考慮到資料群內的每一個值；但其缺點為：易受極端值之影響，且公式因得取絕對值，不適合代數處理，所以才有變異數與標準差之發明。

母體變異數VARP()與VARPA() 母體變異數的計算公式為： 即取每一觀測值與其均數間之差異的平方和的算術平均。取其平方就 是因為無論正差或負差，經平方後均為正值，就不會產生正負相抵銷 之情況，以代替取絕對值之麻煩。 變異數是用來衡量觀測值與平均值間的離散程度，其值越小表母體的 離散程度越小，齊質性越高。於Excel是以VARP()與VARPA()函數來 求算母體變異數，其語法為： VARP(數值1,[數值2],...) VARP(number1,[number2],...) VARPA(數值1,[數值2],...) VARPA(number1,[number2],...) 式中，方括號包圍之部份表其可省略。數值1,[數值2],...為要計算變異 數之儲存格或範圍引數，它是對應於母群體的1到255個數字引數。

怎麼所求之均數會不同？這是因C4為"缺考"字串並非數值，故VARP()函數會將其排除掉，也就是說其分母為6；而非VARPA()函數的7。 VARP()係求所有數值的母體變異數；而VARPA()則求所有非空白儲存格之母 體變異數。如，範例Ch09.xlsx『母體變異數』工作表之C11與C12處，同樣 以C2:C8為處理範圍： =VARP(C2:C8) =VARPA(C2:C8) 怎麼所求之均數會不同？這是因C4為"缺考"字串並非數值，故VARP()函數會將其排除掉，也就是說其分母為6；而非VARPA()函數的7。 實務上，因為通常無法全數取得整個母體，我們很少使用這個函數；而是以下文之樣本變異數VAR()與VARA()來替代。

母體標準差STDEVP()與STDEVPA() 將母體變異數開根號，即可求得母體標準差。其公式為： 變異數取其平方是因為要避免正差或負差，產生正負相抵銷之情況。 而標準差將其開根號，即是將平方還原，以代替原須取絕對值之麻煩。 母體標準差，於Excel也可以STDEVP()與STDEVPA()函數來直接求 算。其語法為： STDEVP(數值1,[數值2],...) STDEVP(number1,[number2],...) STDEVPA(數值1,[數值2],...) STDEVPA(number1,[number2],...) 式中，方括號包圍之部份表其可省略。數值1,[數值2],...為要計算標準 差之儲存格或範圍引數，它是對應於母群體的1到255個數字引數。

標準差主要是用來衡量觀測值與平均值間的離散程度，其值越小表母體的齊質 性越高。如兩班平均成績同為75，但甲班之標準差為7. 8；而乙班為12 標準差主要是用來衡量觀測值與平均值間的離散程度，其值越小表母體的齊質 性越高。如兩班平均成績同為75，但甲班之標準差為7.8；而乙班為12.4。這 表示甲班之程度較為一致（齊質）；而乙班之程度則變化較大，好的很好，差 的很差。 STDEVP()係求所有數值的母體標準差；而STDEVPA()則求所有非空白儲存 格之母體標準差，第11列之資料會偏低，是因C4為“缺考”字串並非數值，故 會被排除於計算之外：（詳範例Ch09.xlsx『母體標準差』工作表） 實務上，因為通常無法全數取得整個母體，我們很少使用這個函數；而是以下 文之樣本標準差STDEV()與STDEVA()來替代。

樣本變異數VAR()與VARA() VAR(數值1,[數值2],...) VAR(number1,[number2],...) VARA(number1,[number2],...) 這兩個函數均用來計算樣本變異數。 數值1,[數值2],...為要計算變異數之儲存格或範圍引數，它是對應於某 母群體抽樣選出的1到255個數字引數樣本。 樣本變異數的計算公式為： 其與母體變異數的計算公式： 只差在後者之分母為n；而前者為n-1。當樣本個數n愈大時，樣本變 異數與母體變異數會愈趨近於相等。

VAR()係求所有數值的樣本變異數；而VARA()則求所有非空白儲存格之樣本 變異數，F12之公式，因將"缺考"，被當成0納入計算，故其樣本變異數明顯 增大：（詳範例Ch09.xlsx『母體與樣本變異數』工作表）

變異數與標準差之優缺點 變異數與標準差是最常被用來衡量離散程度的方法，其優點為： 感應靈敏 嚴密精確 適於代數處理 受抽樣變動之影響甚小 但其缺點為 不是簡明易解 計算困難 受極端值影響較大

樣本標準差STDEV()與STDEVA() STDEV(number1,[number2],...) STDEVA(數值1,[數值2],...) STDEVA(number1,[number2],...) 這兩個函數均用來計算樣本標準差。式中，方括號包圍之部份表其可 省略。 數值1,[數值2],...為要計算標準差之儲存格或範圍引數，最多可達255 個，它是於某母群體中所抽選出的樣本。 樣本標準差的計算公式為： 與母體標準差的計算公式： 只差在後者之分母為n；而前者為n-1。當樣本個數n愈大時，樣本標 準差與母體標準差會愈趨近於相等。

STDEV()係求所有數值的標準差；而STDEVA()則求所有非空白儲存格之標 準差，E12之公式，因將"缺考"當成0納入計算，故其標準差明顯增大：（詳 範例Ch09.xlsx『母體與樣本標準差』工作表）

未分組資料之變異數與標準差 對於未分組之數值資料，於Excel可直接使用VAR()與STDEV()函數來 求算其樣本變異數與標準差：（詳範例Ch09.xlsx『運動時間之變異數 與標準差』工作表） 可發現，樣本標準差或變異數，因分母為n-1，故其值會較高一點；而 母體標準差或變異數之分母為n；故其值會較低一點。但因本例之樣本 數相當大為115，故兩者間之差別並不大。

馬上練習 依範例Ch09.xlsx『成績之變異數與標準差』工作表內容，計算其均數、 變異數與標準差。（僅取樣本變異數與標準差）

以DVAR()、DSTDEV()求各組變異數與標準差 DVAR(database,field,criteria) DSTDEV(資料庫表單,欄名或第幾欄,準則範圍) DSTDEV(database,field,criteria) 函數中，各引數之標定方式參見第八章DAVERAGE()處之說明。以範 例Ch09.xlsx『依性別求運動時間之變異數與標準差』工作表之資料言， 其男/女/全體運動時間之標準差分別為53.36、58.91與56.50：

H6全體運動時間之標準差56.5，與前文範例Ch09.xlsx『運動時間之變異數與 標準差』工作表所求得之結果相同，可見DVAR()與DSTDEV()兩資料庫函數， 所求算之對象為樣本變異數與標準差。 由表中資料可看出：男生平均運動時間比女生高些，均數分別為91.95與75.36 分鐘；但由女性運動時間標準差為58.91，大於男性之53.36，可見女性之運動 時間的離散程度會稍大於男性，但其間之差異並不很明顯！ F4:F7之公式分別為： F4 =DAVERAGE($A$1:$C$116,$C$1,F$2:F$3) F5 =DVAR($A$1:$C$116,$C$1,F$2:F$3) F6 =DSTDEV($A$1:$C$116,$C$1,F$2:F$3) F7 =DCOUNT($A$1:$C$116,$C$1,F$2:F$3) 將F4:F7之公式，以拖曳方式複製給G4:H7，即可獲得整個結果。

馬上練習 依範例Ch09.xlsx『依性別求飲料花費之標準差與變異數』工作表內容， 計算出男/女性及全體飲料花費之均數、標準差、變異數與樣本數。

以交叉表求標準差 對於必須同時使用兩個條件求均數、標準差與人數，最便捷之處理方 式為利用「樞紐分析表」來建立交叉表。以範例Ch09.xlsx『以交叉表 求一週飲料花費之均數、標準差與人數』工作表之資料為例：

以樞紐分析表計算性別交叉居住狀況，求一週飲料花費平均數、標準差及人數。 交叉表之結果為：

馬上練習 依範例Ch09.xlsx『平均月費之均數與標準差』工作表內容 計算性別交叉是否有男/女朋友，求平均月費之均數、標準差及人數：

原分組資料轉組中點計算變異數與標準差 對問卷上，採用勾填某一區間所獲得之數字。如： 於計算其均數、變異數與標準差時，得將其轉為組中點。然後，以IF() 函數： =IF(B2=1,25000,IF(B2=2,75000,IF(B2=3,125000,IF(B2=4,175000, 225000)))) 將其代入到問卷資料中，續求算其均數、變異數與標準差。 本例由於各組之組距均為50000，故亦可將上示之IF()函數簡化成： （詳範例Ch09.xlsx『以組中點求毎月所得均數、變異數與標準差』工 作表） =25000+(B2-1)*50000 來求算其均數、變異數與標準差：

馬上練習 依範例Ch09.xlsx『求每月零用金均數與標準差』工作表內容，計算每 月零用金之均數與標準差。原問卷之內容為：

馬上練習 續上題，依範例Ch09.xlsx『性別交叉居住狀況求每月零用金均數與標 準差』工作表內容，以樞紐分析表求性別交叉居住狀況的每月零用金 平均數及人數。

直接以次數分配表求變異數 另一種計算方式，是不經過以IF()或計算，將原間斷之類別變數轉為 組中點之數字；而直接以次數分配表求變異數。其公式為： 式中， xi為第i組之組中點 fi為第i組之次數（樣本數） 如範例Ch09.xlsx『以組中點求毎月所得變異數-次數分配』工作表：

敘述統計 若曾安裝『分析工具箱』，則可以『資料分析』之「敘述統計」增益 集，來計算一組資料內之各相關統計值。如：均數、變異數、標準差、 全距（範圍）、……等。 假定，以範例Ch09.xlsx『運動時間敘述統計』工作表之資料 擬使用『資料分析』之「敘述統計」，來計算運動時間之各敘述統計 值。其處理步驟為：

切換到『資料』索引標籤, 點選『分析』群組『資料分析』指令按鈕, 於『分 析工具』處選「敘述統計」 按 鈕 於『輸入範圍』處，以選取方式設定要處理之資料範圍（B1:B116） 於『分組方式』選「循欄」 點選「類別軸標記是在第一列上(L)」（因資料含『每次運動時間/分』之字串 標記） 設定輸出範圍，本例安排於目前工作表之D2位置 點選「摘要統計(S)」

按 鈕結束，即可獲致詳細之相關統計數字。其內之『範圍』 項即『全距』（本例之最大值為300，最小值為0）

第九章 結束 謝謝！