中等职业学校教学用书（电子技术专业） 《电工与电子技术基础》 任课教师：李凤琴 李鹏

第3章正弦交流电路 3.1 正弦交流电的三要素 3.2 正弦量的表示方法 3.3 正弦交流电路的特点与分析方法 3.4 电阻电路 3.4 电阻电路 3.5 电感元件 3.6 电感电路 3.7 电容元件 3.8 电容电路 3.9 串联电路 3.10 正弦交流电路的相量图 3.11 R、L、C元件特性实验 3.12 日光灯及功率因数提高实验 本章小结

3.1 正弦交流电的三要素 3.1.1 周期与频率 3.1.2 最大值与有效值 3.1.3 相位、初相与相位差

交流电是指大小和方向都随时间变化的电压电流，每一时刻的电压电流值叫瞬时值，一般用小写字母u、i表示。按正弦规律变化的交流电为正弦交流电，也称为正弦量。正弦交流电可以用正弦函数的解析式表示，解析式也叫瞬时值表达式，表示瞬时值随时间变化规律的图形称波形图。

图示为正弦电流的波形图，与其相对应的瞬时值表达式为 i=Imsin(t＋i) 式中的三个常数 、Im和i表示正弦电流的特征，称为正弦量的三要素。

3.1.1 周期与频率 1.周期 交流电完成一个循环所需要的时间,用字母Ｔ表示。单位为秒（s）、毫秒(ms)、微秒(μs)、纳秒 (ns)。 2.频率 单位时间内交流电变化所完成的循环数，频率与周期互为倒数，即 频率的单位为1／秒,又称为赫兹（Hz）,工程实际中常用的单位还有kHz、MHz及GHz等。

我国电力工业的标准频率为50Hz，习惯上称为工频，它的周期是0 我国电力工业的标准频率为50Hz，习惯上称为工频，它的周期是0.02S。声音信号的频率大约是20 Hz～20kHz，无线电调幅广播使用的频率一般为为525kHz～18MHz, 调频广播的频率为88～108 MHz，而目前常用的电视信号频率则在 48.5～957.5MHz之间。周期与频率是表示正弦量变化快慢的重要参数。

在瞬时值式子中，是正弦量的角速度，它反映了正弦量周期变化的快慢。由于正弦量在一个周期经过的角度为2弧度，即T=2,故有  = 2 / T=2f 因此在电路中，称为角频率，单位是弧度/秒（rad/S）。当f=50Hz时，  =2×50=314rad/S。

3.1.2 最大值与有效值 1. 瞬时值和最大值 (1)瞬时值 正弦交流电任一时刻的值称瞬时值。用小写字母表示，如u、i 等 。 (2) 最大值 正弦量瞬时值中的最大值, 也叫幅值、峰值。 用大写字母带下标“m”表示, 如Um、Im等。

2. 有效值 一般电器设备上所标明的电流、电压值都是指有效值。使用交流电流表、 电压表所测出的数据也是有效值。例如“220V,25W”的白炽灯指它的额定电压的有效值为220V。一般不加说明,交流电的大小皆指它的有效值。 (1)有效值定义 交流电的有效值是根据它的热效应确定。 如某一交流电流和一直流电流分别通过同一电阻R , 在一个周期T内所产生的热量相等， 就将这个直流电流I的数值叫做交流电流的有效值。

(2)正弦交流电的有效值 有效值用大写字母I、U表示，正弦交流电的有效值与最大值的关系

例 照明电源的额定电压为220V, 动力电源的额定电压为380V, 问它们的最大值各为多少? 解 因为额定电压均为有效值 ， 故照明电的最大值为 动力电的最大值为

3.1.3 相位、初相与相位差 1.相位 正弦量解析式中的(ωt +ψ)称为相位角或电工角，简称相位或相角。 3.1.3 相位、初相与相位差 1.相位 正弦量解析式中的(ωt +ψ)称为相位角或电工角，简称相位或相角。 正弦量在不同的瞬间，有不同的相位，因而有着不同的状态(包括瞬时值和变化趋势)。相位的单位一般为弧度(rad)。 2.初相 t =0时正弦量的相位，称初相，用ψ表示。 习惯上初相角用小于180°的角表示，即其绝对值不超过π。如:ψ=320°，可化为 　　　　ψ=320°－360°=－40°

正弦量由负向正变化经过零值的瞬间作为计时起点，则其初相为零，这个正弦量波形图的正半波起点在坐标的原点，如图1所示。当正弦量的初相大于零时，其正半波的起点在坐标原点的左边；当正弦量的初相小于零时，其正半波的起点在坐标原点的右边。如图2所示电压的初相u0，电流的初相i  0 。 图1 图2

３.相位差 两个同频率正弦量的相位之差。 例 电压u=Umsin(ωt+ψu) 电流 i=Imsin(ωt+ψi) 它们的相位差 φ =（ωt+ψu）－(ωt+ψi)=ψu－ψi， 即：同频率正弦量的相位差为初相位之差。 例 u=Umsin(ωt+60°) i=Imsin(ωt+30°)求电压与电流的相位差。 解 相位差 φ = ψu－ψi=60－30=30°

当 = 0时, 即u =i = 时, 称电压与电流同相。其特点是：电压与电流同时从零到达最大值，又从最大值到达零，如图（a）所示。此时u和i的瞬时值表达式为 u = Umsin（t＋） i = Imsin (t＋)

当 = /2时，即电压与电流的相位差90，称两个正弦量为正交。正交的特点是：当一个正弦量为最大值时，另一个正弦量刚好是零，如图（b）所示。由波形图可以得到电压与电流的瞬时值表达式，即 u = Umsin（t＋90） i = Imsin t

当 = 时，电压与电流的相位相反，称它们为反相。反相的特点是：一个正弦量的正半波正好对应另一个正弦量的负半波，如图（c）所示。其电压与电流的瞬时值表达式为 u = Umsint i = Imsin (t－)

如果  0, 即ui 时，则电压比电流先到达零值或最大值，称电压超前电流角，或者说电流滞后电压角，如图（d）所示。此时的电压与电流的瞬时值表达式为 u = Umsin（t＋u） i = Imsin (t＋i)

例 一正弦交流电压，最大值为311V，t =0时的瞬时值为269V，频率为50Hz，求有效值、周期、角频率和初相，写出其解析式。 解 有效值 U=0.707×311=220 V； 周期 T=1/f = 1/50=0.02 S ； 角频率 ω=2πf =2π×50=314 rad/s ； 正弦电压的解析式为u=311sin(314t+ψu) V 已知t =0时，u(0)=269V 和Um=311V ，即 269=311sinψ， sinψ=0.866 所以 ψ=60°故解析式为 　　 u=311sin(314t+ 60°)

3.2 正弦量的表示方法 3 .2.1正弦函数和波形图表示 3.2.2 相量表示法

3.2.1正弦函数和波形图表示 正弦交流电的特点是大小和方向随时间变化，正确地表示正弦交流电，对分析、计算正弦交流电路很重要。由正弦量的三要素可知，三要素一旦确定，正弦量也随之而定，所以要表示正弦量，必须要体现三要素。 正弦函数式表示正弦量也叫做瞬时值表达式法。在此表达式中，表示出正弦交流电的最大值、角频率和初相三个要素，体现了正弦交流电的特点，所以它可以表示正弦量, 例如电流i=3sin(314t－30)A，电压u=220(314t+20)V。

在实验室中，通过示波器可以观察到正弦交流电随时间变化的规律，如图示。由图可见，波形图也表示出了三要素，即曲线的峰值为最大值，曲线变化一个循环所用的时间为一个周期，正半波的起点与坐标原点的夹角表示初相。

在画波形图时，一般横轴表示时间 t或相位角t；纵轴表示电压或电流的瞬时值。为了便于比较同频率电压与电流的相位关系，常将电压和电流的波形图画在同一个坐标平面上，如图示。

3.2.2 相量表示法 在正弦交流电路分析中，常常要进行电压电流的运算，正弦量的瞬时值表达式体现了交流电的变化规律，可直接得出正弦量的三要素，但是运算繁琐。波形图虽然表示简单且形象直观，有几何的直观性，但是不便于运算。因此，在正弦交流电路的分析中应该采用更简便的表示方法。相量表示正弦量，不但使正弦交流电路的分析变得简便，而且使正弦交流电路的许多规律和性质便于认识和理解。

对于一个正弦量i=Imsin(t＋i) ，可以用一个旋转向量来表示，如图3（a）所示。在平面直角坐标中，以原点为起点画一个电流向量，向量的长等于电流的最大值Im，向量的初始位置与横轴正方向的夹角等于电流的初相i。若以为角速度绕原点逆时针旋转，则向量在纵轴上的投影，即为相应不同时刻的电流瞬时值

例如i在t=0时的投影为Imsini ,就是该电流在t=0时的瞬时值。如果将图（a）按时间t 展开，即可得到图（b）所示的正弦波形。由此可见，旋转向量反映了正弦量的三要素，所以它可以用来表示正弦量。同理正弦电压也可以用旋转向量表示。为了与空间向量区别，电路中称其为相量。

几个同频率正弦量用相量表示，可以画在同一个坐标上。由于它们的频率相同，在旋转时的相对位置不变，即相位差不变，因为同频率正弦量的相位差等于初相之差，所以在画相量时，可以只画出每个相量的初始位置即可。为了便于研究正弦量之间的相位关系，常将几个相量画在同一个坐标内，组成相量图，如图（a）所示。 由于相量之间的相位差，在频率相同时，任何时刻都保持不变，因此在作相量图时，一般将坐标也省去，而以某一相量作为参考相量，其它相量的位置由它们与参考相量之间的相位差而定，相量图（a）可用图（b）表示。

相量图在分析、计算正弦交流电路中和工程上得到广泛的应用，可以用相量图表示或分析几个同频率正弦量之间的相位和大小关系。相量可以进行加减运算，其方法是平行四边形法则。 图（a）中 图（b）中 相量在做减法时可利用加负相量的方法。

以上介绍了三种常用的正弦量的表示方法，尤其是相量表示方法在进行正弦量的加减运算时较为简便，在电路分析中常用来分析几个正弦量的相位关系。在此特别指出的是：由于正弦量之间存在大小和相位关系，所以一般不能用有效值或最大值直接进行加减运算，因为有效值和最大值没有体现出相位关系。

例 做出uA=220sintV、uB=220sin（t－120）V 和uC=220sin（t＋120）V的相量图 解 由最大值和有效值的关系可知三个电压的有效值均为220V，初相分别为A=0、B=－120、C=120。选UA为参考相量， UB顺时针旋转120， UC逆时针旋转120，做出如图示的相量图。

3.3.1 正弦交流电路研究的主要问题 正弦电路研究的问题基本与直流电路相似，包括两个方面： （1）电路中电压与电流的关系； 3.3.1 正弦交流电路研究的主要问题 正弦电路研究的问题基本与直流电路相似，包括两个方面： （1）电路中电压与电流的关系； （2）电路中电源与负载之间的功率关系。 交流电压、电流的大小和方向随时间变化，并且存在相位关系；此外，交流电路中的元件有电阻、电感和电容，三种元件的电压电流关系是不相同的。由于本章所讨论的都是同频率正弦量，所以在进行电路分析时，要抓主要矛盾，关键是掌握电压与电流有效值的数量关系和相位关系。 交流电路中，除电阻元件外还有电感元件和电容元件，电阻是消耗电能的元件，而电感和电容是储能元件，并不消耗能量。所以交流电路中的功率关系主要研究电阻、电感、电容元件和电源的功率大小与特点，并讨论它们之间的能量交换过程。

3.3.2 正弦交流电路的分析方法 分析交流电路的依据仍是欧姆定律和基尔霍夫定律，但电路的电压和电流都要用瞬时值或相量表示。 3.3.2 正弦交流电路的分析方法 分析交流电路的依据仍是欧姆定律和基尔霍夫定律，但电路的电压和电流都要用瞬时值或相量表示。 基尔霍夫电流定律是电流连续性原理在电路中的体现，在交流电路中，流过电路任一节点的电流瞬时值代数和等于零。即 i =0 在同频率正弦交流电路中，电流可以用相量表示，所以基尔霍夫电流定律的相量形式为  I =0 即任一节点所联各支路电流相量的代数和为零。式中流入节点的支路电流相量取正号，流出节点的支路电流相量取负号。 .

基尔霍夫电压定律是能量守恒定律在电路中的体现。在交流电路中，任一瞬间电路任一回路中各支路电压的代数和等于零，即 u=0 在正弦交流电路中电压用相量表示后, 可得到基尔霍夫电压定律的相量形式  U =0 即任一回路中各支路电压相量的代数和为零。式中与回路方向相同的电压相量为正，反之为负。 应用基尔霍夫定律时要特别注意，对电压、电流有效值（最大值）一般不成立，即I≠0，U≠0。因为有效值没有表示正弦量的相位，而相位在正弦电路的分析中是不可缺少的参数。 .

3.4 电阻电路 3.4.1 正弦交流电路中电阻元件的电压与电流关系 3.4.2 正弦交流电路中电阻的功率

电阻元件的基本特性是伏安特性，在直流电路中线性电阻的电压与电流的关系由欧姆定律确定。电阻元件在电路中总是消耗能量的，它是一个耗能元件。本节研究正弦电压作用下的电阻电压与电流的关系和功率。

3.4.1 正弦交流电路中电阻元件的电压与电流关系 在正弦交流电路中，虽然电压、电流是随时间变化的，但是在每一瞬间，电阻上的电压与电流的关系仍由欧姆定律确定。图示为正弦交流电阻电路，在电压、电流关联参考方向下，设电阻两端的电压 u =Umsint

根据欧姆定律，可得电阻中的电流 i =u / R =(Um/R)sint =Imsint 上式表明电压与电流是同频率、同相的正弦量，其电压与电流有效值（或最大值）的关系仍满足欧姆定律，即 I = U / R 或 Im=Um / R

电压与电流的波形图和相量图如图示。

3.4.2 正弦交流电路中电阻的功率 电阻元件在交流电路中同样也消耗功率，由于电压电流随时间变化，因此电阻在各瞬间消耗的功率也不同。电阻中任意瞬间消耗电功率叫瞬时功率，它等于电压与电流瞬时值的乘积，用小写字母p表示。将电压u与电流i代入, 即 p=ui =Umsint Imsint =2UIsin2t =UI（1－cos2t） =UI－UIcos2t

瞬时功率随时间变化的规律如图示。p中的前一部分为常量UI，后一部分是以二倍电源频率正弦变化，整个波形在平均值UI的上下变动。由于电压与电流同相，所以当电压、电流同时为零时，瞬时功率也为零；电压、电流到达最大值时，瞬时功率也达最大值。在任何瞬间，恒有p 0；说明电阻在吸收功率，它是一种耗能元件。

瞬时功率虽然表明了电阻中消耗功率的瞬时状态，但不便于表示和比较大小，所以工程中常用瞬时功率在一个周期内的平均值表示功率，称为平均功率（或有功功率），用大写字母P表示, 由瞬时功率p的表达式可知其第二项UIcos2t的平均值为零，故有 P =UI=I2R=U2G 与直流电路中电阻功率的形式相同。 因为平均功率代表了电路实际所吸收的功率，所以习惯上就称其为功率，它的基本单位仍为瓦特（W）。例如我们日常说的100W灯泡，1/8W的电阻，10kW的电动机等都是指平均功率。

例1 一个1k的电阻，将其接到频率为50Hz，电压有效值为10V的正弦电源上，求电阻的电流有效值和功率。如果保持电压有效值不变，将电源频率变为10 kHz ,再求电阻的电流和功率。 解 因为电阻的大小与频率无关，所以当频率改变时，如果电压有效值不变，电流有效值及功率也不变。 I =U / R=10 / 1000A = 0.01A=10mA P =I 2R =0.012×1000 =0.1W

例2 已知某电阻的电压u =220√2sin（314t+30）V, 电 阻R =2.2 k, 求电阻中的电流i和功率。 解 设电压与电流为关联参考方向，则电压有效值 U=220V 而电流有效值 I=U / R=220 / 2200=0.1A 电压与电流同相且同频率，所以 i=0.1√2sin（314t＋30）A P=I2R =22 W

3.5 电感元件 3.5.1 电感元件磁通链与电流的关系 3.5.2 电感元件电压与电流的关系 3.5.3 电感的磁场能量

电感元件是表示线圈的理想化的电路元件，它是电路中常用的元件之一。当电流通过电感线圈时，在它的周围建立了磁场，将电能转化为磁场能量储存起来。本节主要讨论电感元件的基本特性，电压与电流的关系及磁场能量。

3.5.1 电感元件磁通链与电流的关系 图示线圈，当电流 iL通过线圈时，将产生自感磁通L。设线圈有N匝，如果磁通穿过线圈的各匝，则线圈中的自感磁链（全部自感磁通）L=NL 。由于磁通是电流产生的，所以磁链与电流存在一定的关系。

在磁通与电流的参考方向符合右螺旋的情况下，将自感磁链与产生它的电流之比称为线圈的电感，用L表示，即 L = L / iL L是一个比例系数，当L的单位为韦伯（Wb）, i的单位为安培（A）时，L的基本单位是亨利（H）常用的单位还有毫亨（mH）和微亨（H） 在电路中线圈可以用图示符号表示。

线圈的电感与线圈的形状、匝数、几何尺寸及周围介质有关，当介质为非铁磁物质时，L为常数叫线性电感。 式L = L / iL的图象称为韦安特性，如图示。

3.5.2 电感元件电感电压与电流的关系 当通过电感的电流变化时，电流产生的磁链也随之变化，根据电磁感应定律，电感两端将产生感应电动势，若电流与磁链的参考方向符合右螺旋，则感应电动势

在电路分析中，常用的是电压与电流的关系，而感应电压与电动势仅差一负号，若电压与电流为关联参考方向时，感应电压 由此可见，电感电压的大小取决电流对时间的变化率，即某一瞬间的电感电压不是取决于此瞬间电流的数值，而是由电流的变化快慢决定。电感在直流电路中，由于电流不变化，电感电压为零，相当于短路。

3.5.3 电感的磁场能量 电感元件中若有电流就一定产生磁通，而有磁通就意味着电感内有磁场。磁场是一个能量场，它储存着一定的磁场能量。因此，当电感通有电流时，它的磁场中就储存有磁场能量。任一时刻电感的磁场能量 WL = 0.5Li2 当L的单位是亨利，电流的单位是安培时，磁场能量的单位是焦耳（J）。磁场能量与电流的平方成正比，当电流增加时磁场能量增加，电感吸收能量将电能转化为磁场能量；当电流减小时，磁场能量也随之减小，电感释放能量。因此电感元件只是储存能量而不消耗能量，也不会释放出多于它吸收的能量，电感与电阻不同，它是一种储能元件。

3.6 电感电路 3.6.1 正弦交流电路中电感元的电压与电流的关系 3.6.2 电感电路的功率与能量

3.6.1 正弦交流电路中电感元件的电压与电流的关系 3.6.1 正弦交流电路中电感元件的电压与电流的关系 如图示电感元件L，当其通过正弦电流i=Imsint时，在电压电流关联参考方向下，电感电压 u =L d(Imsint) / dt =LImcost =LImsin（t＋90） =Um sin（t＋90）

在正弦电路中，电感电压与电流是同频率的正弦量，而且电压的相位超前电流90，其波形如图示。

电感电压与电流最大值或有效值的关系由电感L及电源的角频率 确定，即 Um=LIm=XLIm 或 U =LI =XLI 其中 XL=L =2fL XL称为电感电抗，简称感抗，它表示了电感电压有效值与电流有效值的大小关系，体现了电感对正弦电流的阻碍作用，显然XL的基本单位是欧姆。

可以看出感抗XL与电感L和电源频率f 成正比。这说明对于不同频率的电源，电感有不同的感抗，而且电感对高频电流阻碍作用很大，而在直流电路中电感的感抗等于零，可视为短路。XL随频率变化的关系叫做感抗的频率特性，如图。

电感电压的相位超前电流90，电感电压取决于电流的变化率，从波形图可以看出电流在正半波起始时，其值虽然为零，但它的变化率却是最大，所以电压值为最大；而当电流为最大时，其变化率为零，因此电压值也为零，这就使得电感电压的相位超前电流90。电感电路的相量图，清楚地表明电压超前电流90。

3.6.2 电感电路的功率与能量 在电压、电流关联参考方向下，电感的瞬时功率 p = ui =Umsin（t＋90）Imsint 3.6.2 电感电路的功率与能量 在电压、电流关联参考方向下，电感的瞬时功率 p = ui =Umsin（t＋90）Imsint =1/2 UmImsin2t =UI sin2t 可见电感的瞬时功率是一个幅值为UI，以二倍电源频率正弦变化的时间函数。其波形如图示。

从波形图可以看出，当u、i 都为正值或都为负值时，p0，说明此时电感吸收功率，从电源得到电能，并将其转变为磁场能量储存起来；当u与i一个为正值，另一个为负值时，p0 ,说明此时电感向外释放能量，将磁场能量转变为电能送还给电源，所以电感与电源之间发生了周期性的能量交换。由波形图不难看出，电感的瞬时功率在一个周期内的平均值为零，即 P = 0 平均功率等于零，说明电感不消耗功率。

虽然电感不消耗功率，但是它与电源之间有能量交换，工程中为了表示能量交换的规模大小，将电感瞬时功率的最大值定义为电感的无功功率，简称感性无功功率，用QL表示，即 QL=UI =I2XL= U2 / XL 无功功率的基本单位是乏尔，简称乏（Var）,较大的单位是千乏（kVar）。

例1 已知某电感L=0.0127H，若将其接到频率f =50Hz，电压U=10V的正弦电源上，求（1）电感的感抗和电流（2）如果将电源的频率变为f =5kHz，其感抗和电流为多少。 解（1）当 f =f1 =50Hz时 XL1=2f1L =2×3.14×50×0.0127=4 I1= U/XL1=10/4=2.5A （2）当f =f2=5kHz时 XL2=2f2L =2×3.14×5000×0.0127=100×XL1=400 I2=U/XL2=0.025A=25mA 可见在电压有效值不变的情况下，频率越高感抗越大，电流就越小。

例2 将L=0.318H的电感接到u =220√2sin（314t＋60）V的电源上，求（1）电感电流的瞬时值表达式i（2）感性无功功率QL（3）电感储存的最大磁场能量WLm（4）画电压电流相量图。 解（1）电压有效值 U=220V 电感的感抗 XL=L=314×0.318 =100 电感的电流有效值 I=U / XL=220 / 100=2.2A 电感电流滞后电压90，可知电流的瞬时值表达式 i =2.2√2sin(314t+60－90)=2.2√2sin（314t－30）A （2）电感的无功功率 QL=I2XL=2.22×100=484Var （3）最大磁场能量 WLm=0.5LIm2=0.5×0.318(2.2√2)2 =1.54 J （4）电压电流相量图如图示。

3.7 电容元件 3.7.1 电容元件电压与电荷的关系 3.7.2 电容元件电压与电流的关系 3.7.3 电容的电场能量

电容器是一种电工、电子技术中广泛应用的实际器件,电容元件是电容器的理想化电路元件, 它是常用的电路元件之一 。 在电路中，电容元件具有储存电荷的作用，当电容电压升高时，电容充电储存电荷；当电容电压降低时，电容放电释放电荷。

3.7.1 电容元件电压与电荷的关系 电容元件储存电荷的能力叫做电容量，简称电容，用C表示。在图示电压参考方向下，若以q表示正极板上的电荷，则电容 C =q / u 若电容大小与电压、电荷无关，是一个常数，称为线性电容。其特点是电荷与电压成正比。在式中，当q的单位为库仑（C），u的单位为伏特（V）时，电容的基本单位是法拉（F）。实际电路中常用的单位是微法（F）和皮法（pF）。换算关系是1F= 10-6 F，1pF=10-12F。

如果以u为横坐标，q为纵坐标，画出电荷与电压关系的图象，称做电容元件的库伏特性。线性电容的库伏特性是一条通过原点的直线，如图示。

3.7.2 电容元件电压与电流的关系 当电容进行充放电时，电容的电压将发生变化，极板上电荷的数量也要相应地改变，这时在与电容相联的导线中就有电荷的移动，形成电流。在电压、电流关联参考方向下，电容的充放电电流 i = dq / dt =C du / dt 由上式可以看出，电容电流的大小取决于电压对时间的变化率，而不是决定于电压的大小。因为电容电流是充放电电流，当其充电时，电压升高， du / dt  0, i 0,电流与电压方向相同；当它放电时，电压降低，du / dt  0, i 0,电流与电压方向相反。在直流电路中电容充满电后其电压不再变化，电流为零，相当于开路，所以电容具有隔直的作用。

3.7.3 电容的电场能量 电容器充电后极板上储存了电荷，极板之间有电压，说明电容器内存在电场。电场是一个能量场，因此当电容储存有电荷或有电压时，它就储存了电场能量。任一时刻电容储存的电场能量 WC=0.5 Cu2 上式表明，任一时刻电容的电场能量与该时刻的电压平方成正比。当电容的单位为法，电压的单位为伏时，电场能量的单位是焦耳。 由于电容可以储存电场能量，因此它与电感元件相似是一种储能元件。当电容充电时，电压上升，电容储存电场能量；当电容放电时，电压下降，电容释放电场能量。所以电容元件只是储存能量而不消耗能量，也不会释放出多于它吸收的能量。

3.8 电容电路 3.8.1 正弦交流电路中电容元件的电压与电流关系 3.8.2 电容电路的功率与能量

3.8.1 正弦交流电路中电容元件的电压 与电流关系 将电容接到正弦电压u =Umsint上，在图示电压电流关联参考方向下，电容电流 3.8.1 正弦交流电路中电容元件的电压 与电流关系 将电容接到正弦电压u =Umsint上，在图示电压电流关联参考方向下，电容电流 i = C du / dt =C d（Umsint） / dt =CUmcost =CUmsin（t＋90） =Im sin（t＋90）

电容的电压与电流为同频率的正弦量，且电流的相位超前电压90，其波形如图示。电容电压与电流最大值或有效值的关系由电容C及电路的角频率确定，即 Im=CUm= Um / XC 或 I =CU= U / XC 其中 XC= 1/ C =1/ 2πf C XC称为电容电抗, 简称容抗, 它表示了电容电压有效值与电流有效值的大小关系,体现了电容对正弦电流的阻碍作用。XC的单位是欧姆。

XC也由二个因素决定,它与电容和电源频率成反比。这是因为在电压一定的情况下,C大电容储存的电荷多;f 高电容的充放电次数增多,电流增大,相当于XC减小。所以电容对高频电流阻碍作用小, 对低频电流阻碍作用大。在直流电路中,电容的XC=, 可视为开路。XC的频率特性如图示。

还需特别讨论的是, 电容电流的相位超前电压90的物理实质。电容电流是充放电电流, 它取决电压的变化率。由波形图可知, 电压正半波起始时, 虽然为零, 但变化率为正的最大, 所以电流值为最大; 当电压为最大时, 其变化率为零, 电流值也为零。这就使得电流在相位上超前电压90。电容电压与电流的相量图如图示，它清楚地表明了电流超前电压90。

3.8.2 电容电路的功率与能量 在电压电流关联参考方向下，电容元件的瞬时功率 p = ui = UmsintImsin（t＋90） 3.8.2 电容电路的功率与能量 在电压电流关联参考方向下，电容元件的瞬时功率 p = ui = UmsintImsin（t＋90） =1/2 UmImsin2t =UIsin2t 由此可见电容瞬时功率的最大值为UI，并以二倍电源频率正弦变化，其波形如图示。

由波形图看出，当p 0时，电容电压u增大，说明此时电容充电，从电源获得能量并转化为电场能量，储存起来；当 p 0时，u减小，说明此时电容放电，将电场能量送还给电源，所以电容与电源之间发生了周期性地能量交换。 波形图看出电容在一个周期内的平均功率为零，即 P = 0 说明电容不消耗功率。

虽然电容不消耗功率，但是它与电源之间存在能量交换。为了表示能量交换的规模大小，将电容瞬时功率的最大值定义为电容的无功功率，或称容性无功功率，用QC表示，即 QC= UI =I2XC= U2 / XC QC的单位也是乏或千乏。

例1 将一个25F的电容接到f =50Hz, U=10V的正弦电源上，求电容的容抗和电流。如果保持电压有效值不变，电源频率变为500Hz, 再求其容抗和电流。 XC1=1/ 2πf 1C=127.4  I1=U / XC1= 0.078A =78mA 当f =f2=500Hz时 XC2=1/ 2πf 2C=127.4 =12.74  I2= U / XC2 =10×I1=0.78A =780mA 可见在电压有效值一定的情况下，频率越高，则电容电流越大。

例2 将一个127F的电容接到u=220sin（314＋30）V的电源上，求（1）电容电流i（2）容性无功功率（3）电容储存的最大电场能量WCm（4）画电压电流相量图。 解（1）电压的有效值 U=220V 电容的容抗 XC=1/C=25  电容电流 I= U / XC=8.8A 所以 i= 8.8sin（314t＋30＋90）A=8.8sin（314t＋120）A （2）容性无功功率 QC=I2XC=8.82×25=1936Var （3）电压为最大值时电容储存最大的电场能量 WC m=0.5CUm2=0.5×127×10-6×(220√2)2=6.15 J （4）电压电流相量图如图示。

3.9 串联电路 3.9.1 电阻、电感与电容串联电路的电压与电流关系 3.9.2 电路的三种性质 3.9.3 正弦交流电路的功率

3.9.1 电阻、电感与电容串联电路的电压与电流关系 3.9.1 电阻、电感与电容串联电路的电压与电流关系 在R、L、C串联电路中，流过各元件的电流相同，为了分析方便，以电流为参考，设 i=Imsint 三种元件的电压电流关系可知 电阻电压 uR=Ri=RImsint 电感电压 uL=XLImsin(t+90) 电容电压 uC=XCImsin(t－90)

由基尔霍夫电压定律可知电路的总电压 u=uR+uL+uC 或用相量表示为 1. RLC串联电路相量图 以电流相量为参考相量作出相量图，图中设UL>UC  

显然， 组成一个直角三角形， 称为电压三角形， 由电压三角形可得 电压三角形清楚地表示出电阻电压、电抗电压和总电压之间的关系。由相量图可以求得电流与总电压有效值之间的关系为

2.阻抗三角形 其中X=XL—XC称为电抗， Z 和分别称为阻抗的模和阻抗角，其关系为 将电压三角形的每边除以电流，可以得到由R、X与Z构成一个直角三角形，叫做阻抗三角形，它表明R、X、Z及之间的关系，如图示。阻抗三角形与电压三角形为相似三角形。

3.9.2电路的三种性质 根据RLC串联电路的电抗 RLC串联电路有以下三种不同性质： 1.感性电路 当ωL>1/ωC时， X>0，φ>0， UL>UC。 电压超前电流；电路呈感性，相量图如图(a)所示。

2.容性电路 当ωL<1/ωC时， X<0， φ<0， UL<UC， 电压滞后电流；电路呈容性， 相量图如图(b)所示。 3谐振电路 当ωL=1/ωC时， X=0， φ=0， UL=UC。 Z=R。 端口电压与电流同相， 电路呈阻性。这是一种特殊状态， 称为谐振，相量图如图(c)所示。 RL串联电路、 RC串联电路、 LC串联电路、 电阻元件、 电感元件、电容元件都可以看成RLC串联电路的特例。

3.9.3电路的功率 1.功率三角形 将电压三角形每边乘以电流可以得到由平均功率、无功功率和视在功率组成的功率三角形。 2.平均功率 电阻元件上要消耗电能, 用有功功率（或平均功率）表示为 P=URI=I2R=UIcosφ

3.无功功率 电感元件和电容元件只是储放能量, 它们与电源之间要进行能量交换, 相应的无功功率为 Q=UX I=ULI－UCI=QL－QC=UIsinφ 4.视在功率 通常交流电气设备（发电机、 电动机、 变压器）都是按照额定电压U和额定电流I来设计和使用的。 例如变压器的容量就是以额定电压和额定电流的乘积来表示的, 称之为额定视在功率S S=UI 视在功率的单位是伏安（VA）或千伏安(kVA)。由于有功功率（平均功率）P、无功功率Q和视在功率S三者所代表的意义不同, 为了区别起见, 各采用不同的单位。

5.功率因数 一个交流发电机输出的功率不仅与发电机输出的端电压及输出电流的有效值的乘积有关, 而且还与电路负载的参数有关。 若电路所具有的参数不同, 其电压与电流间的相位差φ就不同, 在同样电压U和电流I之下, 电路的有功功率和无功功率也就不同。式UIcosφ中的cosφ称为功率因数。  cosφ =P / S 功率因数表示电器设备功率与容量的关系。

6.功率关系 由功率三角形可知, 功率P、 Q、S及cosφ之间的关系。  P=Scosφ Q=Ssinφ S=√P2 +Q2 cosφ =P / S

例1 R、L、C串联后接到电压U =10V，角频率=5000rad/s的正弦交流电源。已知R=7 例1 R、L、C串联后接到电压U =10V，角频率=5000rad/s的正弦交流电源。已知R=7.5, 电感L=6mH，电容C=5F。求电路中的电流和各元件上的电压。 解 感抗 XL=L=5000×6×10-3=30 容抗 电抗 X=XL－XC=30－40=－10 电路的阻抗

阻抗角 =arctgX/R=arctg(-10/7.5)=－53.1 电路的电抗、阻抗角是负值，说明电路为容性，电流相位超前电压53.1。 电路电流有效值 I=U/Z=0.8A 电阻电压 UR=RI=7.5×0.8=6V 电感电压 UL=XLI=30×0.8=24V 电容电压 U=XCI=40×0.8=32V

例2 已知电阻R=30 ，电感L=382mH, 电容C=40 F，串联后接到电压u=220sin（314t＋30）V的电源上。求电路的i、P、Q和S 。 解 感抗 XL=L=314×382×10－3=120 容抗 XC=1/ C=1/(314×40×10－6) =80 电路的电抗 X=XL－XC=120－80=40 电路的阻抗 阻抗角 =arctgX/R =arctg 40/30=53.1 电抗和阻抗角为正值，说明电路为感性，电压超前电流53.1。

电流有效值 I=U/Z=220/50=4.4A 注意电源电压的初相已给定，不能再任意指定，电流 i=4.4sin（314t＋30－53.1）=4.4sin（314t－23.1）A 平均功率 P=UIcos =220×4.4cos53.1=581W 无功功率 Q=UIsin =220×4.4sin53.1=774Var 视在功率 S=UI=220×4.4=968VA 由上可见，  0，电压超前电流，Q 0, 电路为感性。

例3 有一个线圈，其电阻为5 ，当将其接到频率为50Hz, 电压有效值为220V的正弦交流电源时，通过线圈的电流有效值是6A。（1）求线圈的电感，（2）若将此线圈接到直流220V电源上，求通过线圈的电流。 解（1）电路中没有电容，线圈可视为R、L串联电路，由已知的电压、电流有效值求得复阻抗的模 Z=U/I=220/6=36.7 由阻抗三角形可知 线圈的电感 L=XL/  =36.4/314=0.116H=116mH （2）当线圈接到220V直流电源时，因为电感对直流相当于短路，这时线圈中的电流由电阻决定，即 I =U/R=220/5=44A 可见，电流比线圈接到交流电源时大得多，所以交流线圈接到同样电压值的直流电源时，往往会使线圈烧毁。

例4 图示电阻电容串联电路，电压表V1的读数为120V，电压表V2的读数是160V，求端电压U的大小。 解 用相量图求解，串联电路以电流为参考，电阻电压与电流同相，电容电压滞后电流90 ，由KVL做出如图示的相量图。端电压的有效值 显然 U  U1+U2 = 280V 。

例5 图示电路，已知电流表A1的读数为8A，电流表A2的读数是6A，求电流表A的读数。 解 利用相量图求解，根据电阻、电感元件的电压电流关系可知，电阻电流与电压同相，电感电流滞后电压90，并联电路以电压相量为参考，由KCL做出如图示相量图。电流表A的读数 但是 I  I1 +I2 =14A 。

3.10 正弦交流电路的相量图 在正弦交流电路的分析中，常常需要画反映电路基本定律和电压、电流关系的相量图，它直观地用几何图形表示出各相量之间的大小和相位关系，并可以利用相量图对电路进行辅助分析与计算。因此，相量图是分析正弦交流电路的一种重要工具。 在画电路的相量图时，除要按比例画出各个相量的长短外，更重要的是确定各相量之间的相位关系。由于做图的精度所限，相量图更多的用于电路的定性分析。

在画相量图时应掌握以下原则 1. 回路中所有支路（或元件）电压相量的关系要符合KVL。 2. 节点上所有支路电流相量的关系要符合KCL。 3. 元件上电压与电流的相量应符合元件的特性，即电阻电压与电流同相，电感电压超前电流90,电容电压滞后电流90。

除了掌握上述画图原则外，在做相量图时还必须选某一相量作为参考相量，而其它有关相量就根据参考相量来加以确定。参考相量的初相可以取为零，也可取其它的值，视具体情况而定。参考相量的选择直接关系到相量图能否较容易地画出，做相量图选择参考相量的方法是：在画串联电路的相量图时，一般选电流为参考相量，以此为基准确定各元件的电压相量，各电压相量之间的关系，根据KVL由相量求和的方法做出。在并联电路中，一般选取电压为参考相量，以它为参考确定各元件的电流相量，各电流相量之间的关系，根据KCL由相量求和的方法做出。在混联电路中一般选取电路末端的电压或电流为参考相量，然后根据KCL、KVL由电路的末端向始端逐步做出各电压电流的相量图。

例1 电力系统的负载多为感性，功率因数一般较低，为了使电力设备的容量能得到充分地利用，减小输电线路的电流，降低线路的功率损耗，常常采用负载端并联电容器的方法提高负载的功率因数，如图示。试利用相量图定性分析感性负载并联电容器提高功率因数的原理。

解 并联电路选电压为参考相量，令它的初相为零。负载R、L支路的电流iL滞后电压1，其功率因数为cos1。并联电容器后，电容的电流ic超前电压90，根据KCL其总电流i=iL+iC，在相量图中可利用多边形法则进行相加，如图示。由相量图可见i与u的相位差为，显然  1，即cos  cos1，因此感性负载并联电容器后提高了功率因数。

例2 如图3-42（a）所示正弦交流电路，已知端电压U=100V，支路电流IR=IC=10A，端电压与总电流同相，求电路参数R、XL和XC 。 解 做电路的相量图进行分析，混联电路，选末端电压Uab为参考相量。按比例做出电路的相量图，如图（b）。

由相量图中各相量的几何关系可知 UL=U=100V 由于IR=IC，所以 由上述分析看出有时用相量图对电路进行分析要比直接计算电路简便。

3.11 R、L、C 元件特性实验 3.11.1 实验目的 3.11.2 预习要求 3.11.3 实验仪器及设备 3.11.1 实验目的 3.11.2 预习要求 3.11.3 实验仪器及设备 3.11.4 实验内容及步骤 3.11.5 注意事项

3.11.1 实验目的 1．学会功率表的使用方法和接线。 2．学习利用交流电压表、交流电流表和功率表测量得到R、 L、 C 元件参数及电路阻抗的方法。 3．学习和研究正弦交流电路中R、 L 、C 元件上电压和电流的相量关系，了解它们在正弦交流电路中消耗功率的情况。 4．研究各R 、L、 C 元件串并联的正弦交流电路。

3.11.2 预习要求 1.回顾正弦交流电路中各种元件上电压与电流的关系；R、 L、 C 串联电路中，总电压与各元件上电压的关系以及各阻抗的计算方法；R、 L、 C 并联电路中，总电流与各支路电流的关系以及各阻抗的计算方法。 2.了解R、 L、 C 元件上的功率特征。

3.11.3 实验仪器及设备 名 称 型号及使用参数 数量 单相自耦调压器 JT13 2kVA 220/0~250V 1台 功率表 名 称 型号及使用参数 数量 单相自耦调压器 JT13 2kVA 220/0~250V 1台 功率表 D34-W 0~300V 0~1A cosφ=0.2 1块 电工技术实验箱 DIGE-DGB 1个 交流电压表 DICE-DG 交流电流表 万用表 FM10

3.11.4 实验内容及步骤 1．测量R、 L、 C 元件的参数 （1）熟悉实验设备后，按图示实验电路在未通电的情况下连接线路。接线时，自耦调压器1、3两端接220V、50Hz 交流电，4、5两端接负载电路。先接电路连线，最后接电源的两根线，接好电路后，将自耦调压器调至最小输出位置，必须经教师检查后才能接通电源。

（2）将单相自耦调压器的输出电压从零开始逐渐增至100V。在断开电源的情况下，分别将白炽灯（电阻R）、电感线圈L（ rL ）、C=4μF 接入电路，接通电源后分别读出电压、电流与功率的测量值，将结果记入表1中，并计算R、 C 、L 及rL 的值。 表1 测量项被测量 U(V) I（A） P（W） 计算值 R R（Ω） C C（μF） L（ rL ） L（mH） rL（Ω）

2．测量 L（ rL ）、C 串联电路 （1）按图示L（ rL ）、 C（ 4μF） 串联电路接线，经教师检查无误后接通电源。

（2）将单相自耦调压器调至120V，分别读出电压、电流与功率的测量值，将数据记入表2中，并将阻抗ZL、 功率因数cosφ 及等效电抗X 的计算值记入表2中。 被测电阻 测 量 值 计 算 值 U(V) P(W) I(A) IC(A) IL(A) ZL cosφ X（Ω） L( rL )、C 串联 L( rL )、C 并联

3.11.5 注意事项 1．本实验采用220V的工频交流电源供电，实验过程中。要特别注意人身安全，不可直接触摸带电线路的裸露部分；换接元件时，先断电源再换元件。 2．在使用单相自耦调压器时，应注意原副边的连线，用前将调压器手柄调至零位，接通电源后缓缓上调输出电压，同时观察电路中的仪表有无异常反应，如有问题先断开电源再作处理。 3．功率表要正确接入电路，读数时应注意量程和标度尺的折算关系。

3.12 日光灯及功率因数提高实验 3.12.1 实验目的 3.12.2 预习要求 3.12.3 实验原理与说明 3.12 日光灯及功率因数提高实验 3.12.1 实验目的 3.12.2 预习要求 3.12.3 实验原理与说明 3.12.4 实验仪器及设备 3.12.5 实验内容与步骤 3.12.6 注意事项

3.12.1 实验目的 1.加深理解提高功率因数的意义。 2.掌握改善感性负载功率因数的方法。 3.理解交流电路中功率与电压、电流的关系

3.12.2 预习要求 1.复习电感性负载提高功率因数的意义和方法。 3.12.2 预习要求 1.复习电感性负载提高功率因数的意义和方法。 2.考虑在实验电路图中，随着电容值的变化，总电流I、电感支路电流IL、电容支路电流IC及电路中消耗的有功功率P的变化情况。

3.12.3 实验原理与说明 在计算交流电路的平均功率(有功功率)时，要考虑电压与电流间的相位差φ，即P=UIcosφ=Scosφ，功率因数cosφ取决于电路(负载)的参数。cosφ小于1，电路中就发生能量互换，出现无功功率Q=UIsinφ。可见，功率因数低，会给电路带来一些不良后果:一方面，电源设备的容量得不到充分利用；另一方面，输电线路上的电压和功率损耗将增加。可见，提高功率因数对于节约和充分利用电能具有重要意义。 实际应用中的用电设备，多为电感性的，自身功率因数较低。提高功率因数既可以减少电源与负载的能量互换，又可使电感性负载能取得所需的无功功率。提高功率因数的方法通常是在电感性负载两端并联电容器，如图3-45所示。当电容C的容量选择合适时，可将功率因数提高到接近1。而并联电容器后，不影响感性负载的正常工作。

将功率因数从cosφ提高到cosφ’所需并联电容按下式计算: 其中:P-负载所取用的有功功率；U-负载端电压。 实验中使用的电感性负载是日光灯电路，由镇流器(带铁心线圈:L、rL)、日光灯(R)和启辉器构成，如图示。灯管与镇流器相串联，启辉器与灯管并联。

3.12.4 实验仪器及设备

3.12.5 实验内容与步骤 1.日光灯线路的接线与测量 (1)按图示日光灯（A）实验电路连接线路，先不接电容支路。本实验使用的电源为22Ov、50Hz的正弦交流电，预先将自耦调压器调至“0”位，接好线路后必须经指导教师检查后方可接通电源。

(2)调节自耦调压器输出，使其输出电压缓慢增加，直到日光灯刚好能启辉点亮为止，将三表的指示值记录于表1中。然后将自祸调压器输出电压调至220V，测量功率P、电流I、电压U、UL、UA等值，记入表2中。 (3)绘出电压、电流相量图。 表 1

(1)断开日光灯线路的电源，将自耦调压器调至“0”位，在电路中接入电容支路，经指导教师检查后方可接通电源。 2.电路功率因数的提高 (1)断开日光灯线路的电源，将自耦调压器调至“0”位，在电路中接入电容支路，经指导教师检查后方可接通电源。 (2)将自耦调压器输出电压调节增至220V，然后按表2的要求，利用实验箱上的电容器，改变电容值，记录功率表及各电流之值。 表 2

(3)观察总电流的变化，找出其中功率因数最高的点，即总电流I最小时对应的数值， 将此时并联的电容值标记为“C*”。根据测量数据计算出相应的功率因数。 (4)据表2中的测量数据及计算值，在坐标纸上绘出I= f (C)及cosφ= f (C)这两条曲线；并利用曲线分析，可否将功率因数提高到1，即使cosφ=1?

3.12.6 注意事项 1.合理安放好实验所用仪器及设备，仪表尽量不要放在有电感线圈的附近，以防磁场对仪表的影响。 2.正确使用调压器和功率表，正确选择各仪表量程。 3.电容器并联值不得大于20μF。 4.注意用电安全。

本章小结 1. 随时间按正弦规律变化的电压电流叫正弦交流电，最大值、角频率和初相是正弦交流电的三要素。在实际中常用有效值表示交流电的大小，正弦交流电的有效值是最大值的1/√2。交流电的相位概念非常重要，同频率正弦量的相位差为初相之差，由于交流电路的电压与电流一般不同相，在电路分析中，要同时考虑有效值和相位。 2. 正弦交流电可以用正弦函数和波形图表示，但交流电的运算一般采用相量形式较简捷。相量图清楚地描述了多个正弦量的相位关系，它是分析交流电路的重要工具。

3. 在交流电路中，电阻电压与电流有效值之比为电阻R，相位同相，电阻消耗能量；电感电压与电流有效值之比为XL=L，电压超前电流90，电感储存磁场能量；电容电压与电流有效值之比为容抗XC=1/  C，电压滞后电流90，电容储存电场能量。 4.在串联电路中，用阻抗 表示电压与电流有效值之间的关系，阻抗角=arctg表示电压与电流的相位差。当电路的电抗X=（XL－XC）0时，  0电压超前电流，电路呈感性；当X 0时，  0电压滞后电流，电路呈容性；若X= 0， = 0电压与电流同相，电路谐振。

5．在交流电路中，瞬时功率的平均值叫做平均功率P=UIcos ，它表示电路中电阻消耗的功率，UI=S叫视在功率，cos叫功率因数。电感瞬时功率的最大值叫做感性无功功率QL，它表示磁场能量转换的规模；电容瞬时功率的最大值叫做容性无功功率QC，它表示电场能量转换的规模；电路的无功功率为感性无功功率与容性无功功率之差，即Q=QL－QC ，它表示磁场能量与电场能量相互补偿后与电源进行能量交换的规模。 6．在交流电路中，电阻、电抗和阻抗之间的关系用阻抗三角形表示；电阻电压、电抗电压和阻抗电压之间的关系用电压三角形表示；平均功率、无功功率和视在功率之间的关系用功率三角形表示。对于同一个电路，三个三角形均为相似三角形。