主題：幾何圖形 單元：三角形
幾何觀念的來源 根據希臘歷史學家希羅多德（Herodotus, 約西元前485～425年）的說法，幾何學開始於「測地」。古埃及的尼羅河每年氾濫，湮沒田地，因此需要重新測量土地。幾何學「Geometry」一詞就是由「Geometrein」演變而來的，其中「geo」是指土地，「metrein」是指測量。測量土地的技術員叫做操繩師 (rope-stretchers)，因為繩子是用來幫忙測量的工具。
幾何觀念的第二個來源是航海與天文學。哲學家康德說： 有兩樣事物充滿著我的心，並且產生永不止息的敬畏。那就是：在頭上燦爛的星空，以及心中的道德法則。 幾何學的第三個來源是日常生活的測積。由此引出了長度、面積、容積、體積、表面積、重心等概念，也歸結出一些計算公式。
歐幾里得的幾何原本 在差不多一百年前，幾何就是歐幾里得。他在公元前三百年左右寫了一部大書，中文叫做《幾何原本》。從這本書我們可以看出：在當時的社會，幾何並不被大家所注意，所以像歐幾里得這樣偉大的人，我們也不大知道他的生平。大致說起來，他是屬於西元前365～275年間的人物，這是大致算的時間，並不表示他活了90歲。
這本書是人類文化史上一部非常偉大、有意義的著作，它的主要結論有兩個 一.畢氏定理：有一直角三角形 ABC，則長邊的平方 會等於其他兩邊的平方和。由幾何方面來說，如果我們在三邊上各作一個正方形，那麼兩個小正方形的面積和就會等於大正方形的面積
二.三角形三內角之和等於 180°，如果以弳(radian) 為單位，也可以說三角形三內角之和等於 π 內角B 內角C
這本書在當時受到重視，不單只是為了學幾何，主要還要學一種邏輯推理的方法。歐幾里得用幾個很明顯的事實──公理，把幾何的結論從公理用邏輯的方法推出。而在他所列出的公理當中，較受爭議的是平行公理。平行公理原來是說：有兩條直線被一直線所截，如果截角的和小於180°，那麼這兩條直線在充分延長後，必相交於一點。
一個簡單的說法是：假使有一直線和線外一點，那麼通過那個點就剛剛好只有一條直線和原來的直線平行。平行者，就是這兩條直線不相交
這個平行公理在所有公理之中是最不明顯的，所以數學家或是對數學有興趣的人便想從其他的公理去推得平行公理。而這努力延持了兩千年，後來證明這是不可能的，於是有了非歐幾何學的發現，這在人類思想史上是非常特別、有意思的事實。因此我感覺到這是西洋數學和中國數學不同的地方。
《九章算經》是中國古代最有名的數學書，一共九章，第九章談的是所謂勾股，勾、股就是直角三角形中較短約兩個邊，一個叫做勾，另一個就叫做股，而最長的那個邊便稱為弦。勾股定理也就是剛才所謂的畢氏定理，所以它的發現，中國人也應該有份。但是在中國的幾何中，我無法找到類似三角形三內角和等於 180° 推論，這是中國數學中沒有的結果。
三角形內角和定理 據普羅克拉斯（Proclus, 410～485）的說法，畢氏學派已經知道，用同樣大小且同一種的正多邊形舖地板時，只能用正三角形、正方形與正六邊形，得到三種圖案。然而，數學史家阿爾曼 (Allman) 卻認為，古埃及人習價用這三種正多邊形來舖地板，並且從長期的生活經驗中，觀察而發現「畢氏定理」與三角形三內角和定理。
古埃及人又從舖地板中，發現三角形三內角和為一平角（即180度）。在圖中，繞一頂點的六個角，合起來一共是一周角（即360度），因此正三角形三內角和為一平角。這雖只是特例，但卻是進一步發現真理的契機。
繞一頂點的四個直角，合起來一共是一周角，因此正方形四角和為一周角」。作正方形的對角線，得到兩個相同的等腰直角三角形，從而得知等腰直角三角形三內角和為一平角。將正方形改為長方形，前述論證也成立，因此任何三角形都可以分割成兩個直角三角形（作一邊的高），所以任意三角形三內角和為一平角。
將三角形的三個角剪開來（左圖），再將三個角排在一起，就得到一個平角（右圖），著名的偉大科學家巴斯卡（Pascal, 1623～1662）小時候就是如此這般重新發現這個定理。
我們也可以利用摺紙的實驗，發現這個定理。即沿著 DE、DG、EF 把三角形摺成長方形 DEFG，那麼 疊合於 A' 點，成為一平角。
利用旋轉鉛筆的實驗，也可看出這個定理
畢氏定理 這是關於直角三角形三邊規律的定理：對於「任意」的直角三角形都有 c2 = a2 + b2
古埃及人仍然是從舖地板中看出其端倪。在圖中，直角三角形 ABC 斜邊 AB 上的正方形面積，等於兩股上正方形面積之和。這是畢氏定理的一個特例。
我們可以利用幾何板 (geoboard)，玩出更多畢氏定理的特例。以下兩圖就是個例子。
另一方面，巴比倫人與中國人都觀察到一個木匠法則。即木匠在決定垂直、直角及邊長時，發現邊長為 3, 4, 5 的三角形，三邊具有 32 + 42 = 52 的關係並且為直角三角形（畢氏逆定理之特例）。 這些線索好像是礦苗，人們很快就發現了畢氏定理之「金礦」。這只需用剪刀勞作（夠直觀經驗吧！）就可以看出來。圖中，以邊長 a+b 作兩個正方形；左圖剪掉四個直角三角形，剩下兩個小正方形，面積之和為 a2 + b2；右圖從四個角剪掉四個直角三角形，剩下一個小正方形之面積為 c2；等量減去等量，其差相等。因此 a2 + b2 = c2。