测验： 2.设是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元素a,x,x‘，若axax’则必有x x‘。证明：与G中单位元等价的元素全体构成G的一个子群。 H={x|xG,并且xe} 对任意的xH， xe, xee=xx-1 对任意的x,yH， xe, ye, eye, x-1xyx-1x
§4 群的同态与同态基本定理 一、群同态 设有两个代数系统[S;*]与[T;], 如果存在到上映射:ST,使得对任意的a,bS,有:(a*b)=(a)(b)，称[S;*]与[T;]两 个系统同态。如果是双射,则[S;*]与 [T;]同构。
例14.21(Cayley(凯莱)定理)：任一有限群必同构于一个同阶的置换群。 证明:设[G;]为有限群. 若[G;]是置换群, 则[G;]与自己当然同构. 下面考虑[G;]不是置换群,那么就应构造与[G;]有一定联系的置换群,使得它们同构. 对任意gG,定义映射g:GG,使得对任意g'G,有g(g') =gg'。设={g|gG} 则由例14.13知[;]是置换群。 下面证明G与[;]同构 构造G的同构映射:(g)=g
二、群同态基本定理 1.同态核与同态象 在群G中，a,bG,若ab=a，则b=e(单位元) ab=a=ae，由消去律可得b=e。 引理：[G;*]和[G‘;]为群, 为GG’的同态映射(不一定满射),设e是[G;*]的单位元,则(e)一定是[G';]的单位元. 证明:因为(G),设x(G)G', 存在aG,使得x=(a) 因为x(e)=x=xeG', 利用群满足消去律即得(e)=eG'. 该结论对不是群的代数系统不一定成立.
定义14.18: 为群GG'的同态映射,e,e'分别为G,G'之单位元。集合K={xG| (x)=e'},称K为同态映射的核,又称同态核, 记为Ker, 简记为K()。 K,这是因为(e)=e',即eK. 例:[R-{0};*]和[{-1,1};*]为群
定理：为群[G;*][G';]的同态映射,则 (1)[Ker; *]为[G;*]的正规子群。 (2)为一对一当且仅当K={eG} (3)[(G); ]为[G';]的子群。 证明:(1)先证明Ker是子群 封闭:对任意a,bKer,有a*b?Ker, 即证(a*b)=?eG' 逆元:对任意aKer,它在G中的逆元,a-1? Ker 然后证明对任意gG,aKer有 g-1*a*g?Ker
定理14.19：群[G;*]同态于它的任一商群[G/H;]。 2.群同态基本定理 定理14.19：群[G;*]同态于它的任一商群[G/H;]。 证明:构造映射f:GG/H, f(g)=Hg 然后证明f是满同态映射. 自然同态
定理14.20：设为群[G;*]到群[G';]的同态映射,K为同态核, (G)G'为G在下的象集,则:[G/K;][(G);] 证明：对任意的KaG/K，定义 f(Ka)=(a) (1)f是G/K(G)的映射。 关键是对于Ka=Kb,是否有(a)=(b) (2)f是同态映射。 对任意的Ka,KbG/K,是否有 f(KaKb)=f(Ka)f(Kb)
(3) f是一一对应映射。 一对一 :即证若有f(Ka)=f(Kb),必有Ka=Kb. 就是要证明a*b-1K, 也就是(a*b-1)=eG' 满射: 推论：若为群[G;*]到群[G';]的满同态映射,则: [G/K;][G';]
例:[R;+]是实数加法群,[Z;+]是整数加法群,并且是[R;+]的正规子群。W={ei|R}, 例:[R;+]是实数加法群,[Z;+]是整数加法群,并且是[R;+]的正规子群。W={ei|R},*为普通乘法群，则[R/Z;][W;*]。 分析:应先构造RW的满同态映射 然后证明Ker=Z 定义(x)=e2ix Ker={x|(x)=1}=Z
作业:P295 40,41(1),(3),(5) 补充 2.设是群G到G'的同态映射,证明: (1)若H是G的子群,则(H)也是G'的子群. (2)若H是G的正规子群,且是满同态映射,则(H)也是G'的正规子群.