第五章 弯曲内力 目录

第五章 弯曲内力 §5-1 概述 §5-2 梁的载荷与支座 §5-3 剪力和弯矩及其方程 §5-4 剪力图和弯矩图的绘制 第五章 弯曲内力 §5-1 概述 §5-2 梁的载荷与支座 §5-3 剪力和弯矩及其方程 §5-4 剪力图和弯矩图的绘制 §5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §5-6 用叠加法作弯矩图 §5-7 平面刚架和曲杆的内力 目录

§5-1 概述 起重机大梁 1 目录

§5-1 概述 镗刀杆 目录

§5-1 概述 车削工件 目录

§5-1 概述 火车轮轴 目录

§5-1 概述 弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁 目录

§5-1 概述 常见弯曲构件截面 目录

§5-1 概述 平面弯曲 具有纵向对称面 外力都作用在此面内 弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线 目录

§5-2 梁的载荷与支座 梁的载荷与支座 集中载荷 分布载荷 集中力偶 固定铰支座 活动铰支座 固定端 2 目录

§5-2 梁的载荷与支座 目录

§5-2 梁的载荷与支座 火车轮轴简化 目录

§5-2 梁的载荷与支座 目录

§5-2 梁的载荷与支座 吊车大梁简化 均匀分布载荷 简称均布载荷 目录

§5-2 梁的载荷与支座 非均匀分布载荷 目录

§5-2 梁的载荷与支座 静定梁的基本形式 简支梁 外伸梁 悬臂梁 FAx FBy FAy FAx FAy FBy FAx MA FAy §5-2 梁的载荷与支座 静定梁的基本形式 FAx 简支梁 FBy FAy FAx 外伸梁 FAy FBy FAx 悬臂梁 MA FAy 目录

§5-3 剪力和弯矩及其方程 M FN FS FAy FS剪力，平行于横截面的内力合力 M FN M 弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩 §5-3 剪力和弯矩及其方程 FAy M FN FS FS剪力，平行于横截面的内力合力 FBy M FN M 弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩 FS 3 目录

§5-3 剪力和弯矩及其方程 _ + _ + 截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。 §5-3 剪力和弯矩及其方程 FAy FN FS M FBy FN FS M _ 截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。 + 左上右下为正；反之为负 + 截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。 _ 左顺右逆为正；反之为负 目录

§5-3 剪力和弯矩及其方程 例题5-1 求图示简支梁E 截面的内力 FAy 解： 1. 确定支反力 FAy FBy 2. 用截面法研究内力 §5-3 剪力和弯矩及其方程 例题5-1 求图示简支梁E 截面的内力 FAy 解： 1. 确定支反力 FAy FBy 2. 用截面法研究内力 FAy FSE ME 目录

§5-3 剪力和弯矩及其方程 FAy FSE ME O 分析右段得到： FBy FBy ME FSE O 目录

§5-3 剪力和弯矩及其方程 FAy FBy FAy FSE 截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。 2F FSE 目录

§5-3 剪力和弯矩及其方程 FAy FBy 截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和。 ME FAy 2F ME 目录

§5-4 剪力图和弯矩图的绘制 悬臂梁受均布载荷作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 §5-4 剪力图和弯矩图的绘制 例题5-2 q 悬臂梁受均布载荷作用。 l 试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 x q x 解：任选一截面x ，写出剪力和弯矩 方程 FS x 依方程画出剪力图和弯矩图 由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为 M x 4 目录

§5-4 剪力图和弯矩图的绘制 例题5-3 图示简支梁C点受集中力作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 A C B x1 §5-4 剪力图和弯矩图的绘制 例题5-3 图示简支梁C点受集中力作用。 C F a b 试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 B A l x1 x2 FAY FBY 解：1．确定约束力 FS x FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l 2．写出剪力和弯矩方程 AC M x CB 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。 目录

§5-4 剪力图和弯矩图的绘制 例题5-4 图示简支梁C点受集中力偶作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 C A B x1 §5-4 剪力图和弯矩图的绘制 例题5-4 C M a b 图示简支梁C点受集中力偶作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 B A l x1 x2 FAY FBY 解：1．确定约束力 FAy＝M / l FBy＝ -M / l 2．写出剪力和弯矩方程 AC CB 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。 目录

§5-4 剪力图和弯矩图的绘制 例题5-5 简支梁受均布载荷作用 试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 A B x C §5-4 剪力图和弯矩图的绘制 例题5-5 简支梁受均布载荷作用 y x q 试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 B A l C x FAY FBY 解：1．确定约束力 FS x FAy＝ FBy＝ ql/2 2．写出剪力和弯矩方程 M x 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。 目录

§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 载荷集度、剪力和弯矩关系： 5 目录

§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 载荷集度、剪力和弯矩关系： q＝0，Fs=常数， 剪力图为直线； §5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 载荷集度、剪力和弯矩关系： q＝0，Fs=常数， 剪力图为直线； M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。 2.q＝常数，Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（q > 0），抛物线呈凹形； 分布载荷向上（q < 0），抛物线呈凸形。 3. 剪力Fs=0处，弯矩取极值。 4. 集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变 目录

§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：  根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。 §5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：  根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。  应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。  建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。  应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。 目录

§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系  也可通过积分方法确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。 §5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系  也可通过积分方法确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。 从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。 从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没有变化。 目录

§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 例题5-6 简支梁受力的大小和方向如图示。 B A 试画出其剪力图和弯矩图。 解：1．确定约束力 §5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 1kN.m 例题5-6 简支梁受力的大小和方向如图示。 B A C D E F 1.5m 2kN FAY FBY 试画出其剪力图和弯矩图。 解：1．确定约束力 根据力矩平衡方程 求得A、B 二处的约束力 FAy＝0.89 kN , FBy＝1.11 kN 2．确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。 目录

§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 A B 3．建立坐标系 建立 FS－x 和 M－x 坐标系 §5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 B A 1.5m FAY FBY 1kN.m 2kN E D C F 3．建立坐标系 建立 FS－x 和 M－x 坐标系 0.89 kN= 0.89 ＝1.11 kN x FS (kN) O 1.11 (+) (-) 4．应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在 FS－ x和 M－x 坐标系中。 1.335 1.67 M (kN.m) x O 5．根据微分关系连图线 (-) 0.335 目录

§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 解法2：1．确定约束力 FAy＝0.89 kN FFy＝1.11 kN §5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 FBY B A 1.5m FAY 1kN.m 2kN D C 解法2：1．确定约束力 FAy＝0.89 kN FFy＝1.11 kN 1.11 （-） （+） Fs（ kN） 0.89 2．确定控制面为A、C、D、B两侧截面。 3．从A截面左测开始画剪力图。 目录

§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 4．从A截面左测开始画弯矩图。 从A左到A右 从A右到C左 从C左到C右 从C右到D左 从D左到D右 §5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 4．从A截面左测开始画弯矩图。 （-） （+） FBY B A 1.5m FAY 1kN.m 2kN D C Fs（ kN） 0.89 1.11 从A左到A右 从A右到C左 从C左到C右 从C右到D左 0.330 从D左到D右 M（ kN.m） 1.330 从D右到B左 （-） 1.665 从B左到B右 目录

§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 例题5-7试画出梁剪力图和弯矩图。 解：1．确定约束力 根据梁的整体平衡，由 §5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 q 例题5-7试画出梁剪力图和弯矩图。 B A D C a 4a qa FAy FBy 解：1．确定约束力 根据梁的整体平衡，由 求得A、B 二处的约束力 2．确定控制面 由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa左侧的截面，也都是控制面。 目录

§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 3．建立坐标系 建立FS－x和M－x坐标系 4．确定控制面上的剪力值，并将其标在FS－x中。 §5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 q B A D a 4a FAy FBy qa C 3．建立坐标系 建立FS－x和M－x坐标系 O FS x （+） （-） 4．确定控制面上的剪力值，并将其标在FS－x中。 O M x （+） 5．确定控制面上的弯矩值，并将其标在M－x中。 目录

§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 解法2：1．确定约束力 2．确定控制面，即A、B、D两侧截面。 3．从A截面左测开始画剪力图。 §5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 q B A D a 4a FAy FBy qa 解法2：1．确定约束力 9qa/4 （+） （-） 7qa/4 2．确定控制面，即A、B、D两侧截面。 Fs qa 3．从A截面左测开始画剪力图。 目录

§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 4．求出剪力为零的点到A的距离。 5．从A截面左测开始画弯矩图 §5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 （+） （-） q B A D a 4a FAy FBy qa Fs 9qa/4 7qa/4 4．求出剪力为零的点到A的距离。 5．从A截面左测开始画弯矩图 AB段为上凸抛物线。且有极大值。该点的弯矩为 1/2×9qa/4×9a/4 =81qa2/32 81qa2/32 B点的弯矩为 -1/2×7qa/4×7a/4 +81qa2/32=qa2 （+） qa2 M 目录

§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 例题5-8试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。 解：1．确定约束力 从铰处将梁截开 qa qa/2 §5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 例题5-8试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。 B A a qa C D q MA FAy 解：1．确定约束力 FBy 从铰处将梁截开 qa qa （+） （-） qa/2 qa/2 MA FAy FDy q Fs FDy FBy M qa2/2 （-） qa2/2 目录

§5-7 平面刚架和曲杆的内力 平面刚架： 某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为平面刚架。平面刚架的内力一般有轴力、剪力和弯矩。 7 目录

§5-7 平面刚架和曲杆的内力 例题5-9 已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。 试：画出刚架的内力图。 解：1、确定约束力 B 已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。 试：画出刚架的内力图。 解：1、确定约束力 2、写出各段的内力方程 y 竖杆AB：A点向上为y ql B ql y FN(y) M(y) FS(y) 目录

§5-7 平面刚架和曲杆的内力 已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。 试：画出刚架的内力图。 解：1、确定约束力 2、写出各段的内力方程 B ql y 已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。 试：画出刚架的内力图。 解：1、确定约束力 2、写出各段的内力方程 x 横杆CB：C点向左为x B M(x) FN(x) FS(x) x 目录

§5-7 平面刚架和曲杆的内力 B ql y 3、根据各段的内力方程画内力图 竖杆AB： 横杆CB： M FN FS － ＋ ＋ ql 目录

§5-7 平面刚架和曲杆的内力 平面曲杆 某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。 目录

§5-7 平面刚架和曲杆的内力 例题5-10 画出该曲杆的内力图 解：写出曲杆的内力方程 目录

小结 1、熟练求解各种形式静定梁的支座反力 2、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定 3、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值 4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图 目录

第五章作业 5—1a、e、f、m、n、t，5—3f，5—4a 目录