第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数学期望 §2.3 随机变量的方差与标准差 §2.4 常用离散分布 第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数学期望 §2.3 随机变量的方差与标准差 §2.4 常用离散分布 §2.5 常用连续分布 §2.6 随机变量函数的分布 §2.7 分布的其他特征数

§2.1 随机变量及其分布 (1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，……，6. (2) n个产品中的不合格品个数 Y §2.1 随机变量及其分布 (1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，……，6. (2) n个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，……，n (3) 某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2，…… (4) 某种型号电视机的寿命 T : [0, +)

* 中心问题：将试验结果数量化 有些随机试验的结果不是数，如检查一个产品， 考察其合格与否，样本空间为 Ω={合格品，不合格品} 将一枚硬币抛三次，观察结果，样本空间为 Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT, TTH，TTT} * 中心问题：将试验结果数量化 ω Ω x X=X(ω)为Ω上的单值函数，X为实数

2.1.1 随机变量的定义 定义2.1.1 设  ={}为某随机现象的样本空间，F 为上的事件域，称定义在上的实值函数X=X()为随机变量, 若对任一实数x, 有 F..

其定义域为 ，其值域为R=(，) 注 意 点 (1) (1) 随机变量X()是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R=(，) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 {X=1.5} 是不可能事件. (2) 若 X 为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X  b} 、…… 均为随机事件. 即 {a < X  b} ={；a < X() b } 

{X = k}= {X  k}{X < k}； 注 意 点 (2) (3) 注意以下一些表达式： {X = k}= {X  k}{X < k}； {a < X  b} = {X  b}{X  a}； { X > b} =  {X  b}. (4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量.

两类随机变量 若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个，则称 X 为离散随机变量. 若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 [a, b]，则称 X 为连续随机变量. 前例中的 X, Y, Z 为离散随机变量； 而 T 为连续随机变量.

2.1.2 随机变量的分布函数 定义2.1.2 设X为一个随机变量，对任意实数 x， 基本性质： 2.1.2 随机变量的分布函数 定义2.1.2 设X为一个随机变量，对任意实数 x， 称 F(x)=P( X x) 为 X 的分布函数. 基本性质： (1) F(x) 单调不降； (2) 有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1； (3) 右连续.

2.1.3 离散随机变量的分布列 设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，…… 2.1.3 离散随机变量的分布列 设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，…… 称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列. 分布列也可用表格形式表示： X x1 x2 …… xn …… P p1 p2 …… pn ……

分布列的基本性质 (1) pi  0， (2) (非负性) (正则性)

注 意 点 (1) 求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率.

注 意 点 (2) (1) F(x)是递增的阶梯函数; 对离散随机变量的分布函数应注意： (2) 其间断点均为右连续的; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.

例2.1.1 已知 X 的分布列如下： X 0 1 2 求 X 的分布函数. P 1/3 1/6 1/2 解：

例2.1.2 已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列. 解： X 0 1 2 P 0.4 0.4 0.2

2.1.4 连续随机变量的密度函数 连续随机变量X的可能取值充满某个区间 (a, b). 因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0， 2.1.4 连续随机变量的密度函数 连续随机变量X的可能取值充满某个区间 (a, b). 因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0， 所以无法仿离散随机变量用 P(X=x) 来描述连续随机变量X的分布. 注意离散随机变量与连续随机变量的差别.

定义2.1.4 设随机变量X 的分布函数为F(x), 若存在非负可积函数 p(x) ，满足： 则称 X 为连续随机变量，

密度函数的基本性质 (非负性) (正则性) 满足(1) (2)的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数.

注意点(1) (1)

注意点(2) (3) P(X=x) = F(x)F(x0) = 0; = P{a≤X<b} = P{a≤X≤b} = F(b)F(a).

(5) 当F(x) 在x点可导时, p(x) = 当F(x) 在x点不可导时, 可令p(x) =0. 事实上，在f(x)的连续点上， 与物理学中的质量线密度的定义相类似

离散型 连续型 分布列: pn = P(X=xn) 密度函数 X ~ p(x) 2. F(x) = 2. ( 唯一 ) 密度函数 X ~ p(x) ( 不唯一 ) 2. F(x) = 2. 3. F(a+0) = F(a); P(a<Xb) = F(b)F(a). 4. P(X=a) = 0 4. 点点计较 5. F(x)为连续函数。 5. F(x)为阶梯函数。 F(a0) = F(a). F(a0)  F(a).

例2.1.3 设 X ~ 求 (1) 常数 k. (2) F(x). 解： (1) k =3. (2)

例2.1.4 求 F(x). 设 X ~ 解：

例2.1.5 设X与Y同分布，X的密度为 已知事件 A = { X > a } 和 B ={ Y > a } 独立， 且 P(AB)=3/4, 求常数 a . 解: 因为 P(A) = P(B), 且由A、B 独立，得 P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B) = 2P(A)  [P(A)]2 = 3/4 从中解得: P(A)=1/2, 由此得 0<a <2 , 因此 1/2 = P(A) = P( X > a ) 从中解得

课堂练习 ② 设 X ~ p(x)，且 p(x) = p(x)，F(x)是 X 的分布函数， 则对任意实数 a>0，有( ) ① F(a) =1 ② F(a)= ③ F(a) = F(a) ④ F(a) = 2F(a)  1 ②

§2.2 随机变量的数学期望 分赌本问题(17世纪) 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元. 无平局，谁先赢3局，则获全部赌注. §2.2 随机变量的数学期望 分赌本问题(17世纪) 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元. 无平局，谁先赢3局，则获全部赌注. 当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博. 问如何分赌本?

两种分法 1. 按已赌局数分： 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4

2.2.1 数学期望的概念 若按已赌局数和再赌下去的“期望” 分， 则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布列为： 2.2.1 数学期望的概念 若按已赌局数和再赌下去的“期望” 分， 则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布列为： X 0 100 P 1/4 3/4 甲的“期望” 所得是：01/4 +100  3/4 = 75.

2.2.2 数学期望的定义 定义2.2.1 设离散随机变量X的分布列为 P(X=xi) = pi, i = 1, 2, ... 若级数 2.2.2 数学期望的定义 定义2.2.1 设离散随机变量X的分布列为 P(X=xi) = pi, i = 1, 2, ... 若级数 绝对收敛，则称该级数为X 的 数学期望，记为

例2.2.1 X 1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.4 0.3 则 E(X) = 1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3 = 0.8.

连续随机变量的数学期望 定义2.2.2 设连续随机变量X的密度函数为p(x), 若积分 绝对收敛，则称该积分为X 的 数学期望，记为

例2.2.2 例2.2.3 设随机变量X 服从区间（a, b）上的均匀分布，求E(X) . 已知柯西分布的分布函数为 从而柯西分布的密度函数为 故柯西分布的数学期望不存在.

注 意 点 数学期望简称为期望. 数学期望又称为均值. 数学期望是一种加权平均.

数学期望的应用 例1 在一个人数为N的人群中普查某种疾病，需要验血。如果将每个人验血，共需检验N次。 为减少工作量，统计学家建议k个人分为一组，将同组的血混合检验，如果呈阴性，说明此k个人都呈阴性，如果呈阳性，再检验每个人的血。 可以根据发病率确定合适的k，从而减少平均检验次数。

例2 每张福利彩票售价5元，各有一个兑奖号。每售出100万张设一个开奖组，用摇奖器当众摇出一个6位数的中奖号码。兑奖号与中奖号最后一位、二三四五位相同的分别获奖金10元、50元、500元、5000元和50000元，与中奖号完全相同者获奖金500000元。 则每张彩票的平均奖金为 E(X) = 500000×0.000001+50000×0.000009+5000×0.00009+500×0.0009+50×0.009+10 ×0.09=3.2

2.2.3 数学期望的性质 定理2.2.1 设 Y=g(X) 是随机变量X的函数， 若 E(g(X)) 存在，则

例2.2.4 设随机变量 X 的概率分布为 X 0 1 2 P 1/2 1/4 1/4 求 E(X2+2). 解: E(X2+2) = (02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4 = 1+3/4+6/4 = 13/4

数学期望的性质 (1) E(c) = c (2) E(aX) = aE(X) (3) E(g1(X)+g2(X)) = E(g1(X))+E(g2(X))

例2.2.5 设 X ~ (1) 2X1, (2) (X  2)2 解: (1) E(2X  1) = 1/3,

例2.2.6 某公司经销某种原料，历史资料表明:这种原料的市场需求量X(单位:吨)服从(300, 500)上的均匀分布。每售出1吨该原料公司可获利1.5 (千元); 若积压1吨，公司损失0.5（千元）。问公司应组织多少货源可使平均收益最大？

§2.3 随机变量的方差与标准差 数学期望反映了X 取值的中心. 方差反映了X 取值的离散程度.

Var(X)=D(X)= E(XE(X))2 2.3.1 方差与标准差的定义 定义2.3.1 若 E(XE(X))2 存在，则称 E(XE(X))2 为 X 的方差，记为 Var(X)=D(X)= E(XE(X))2

注 意 点 (1) 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度. 方差越大, 则随机变量的取值越分散. X =  (X)= 为X 的标准差. (2) 称 标准差的量纲与随机变量的量纲相同.

2.3.2 方差的性质 (1) Var(c)=0. 性质 2.3.2 (2) Var(aX+b) = a2 Var(X). 性质 2.3.3 2.3.2 方差的性质 (1) Var(c)=0. 性质 2.3.2 (2) Var(aX+b) = a2 Var(X). 性质 2.3.3 (3) Var(X)=E(X2)[E(X)]2. 性质 2.3.1

设 X ~ 例2.3.1 , 求 E(X), Var(X). 解: (1) E(X)= = 1 (2) E(X2) = = 7/6 所以, = 7/6  1 = 1/6

课堂练习 设 则方差 Var(X)=( )。 问题：Var(X) = 1/6, 为什么？

随机变量的标准化 设 Var(X)>0, 令 则有 E(Y)=0, Var(Y)=1. 称 Y 为 X 的标准化.

设随机变量X的方差存在(这时均值也存在), 2.3.3 切比雪夫不等式 设随机变量X的方差存在(这时均值也存在), 则 对任意正数ε，有下面不等式成立

例2.3.2 设 X~ 证明 证明: E(X) = = n+1 = (n+1)(n+2) E(X2) = 由此得 所以, Var(X) = E(X2)(EX)2 = n+1, (这里,  = n+1)

定理 2.3.2 Var(X)=0 P(X=a)=1

§2.4 常用离散分布 2.4.1 二项分布 记为 X ~ b(n, p). X为n重伯努里试验中“成功”的次数, §2.4 常用离散分布 2.4.1 二项分布 记为 X ~ b(n, p). X为n重伯努里试验中“成功”的次数, 当n=1时，称 b(1, p) 为 0-1分布.

一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 则取得合格品件数 X 服从二项分布. 试验次数为 n=4, “成功”即取得合格品的概率为 p=0.8, 所以, X ~ b(4, 0.8) 思考： 若 Y 为不合格品件数，Y ？ Y ~ b(4, 0.2)

例2.4.1 设X ~ b(2, p)， Y ~ b(4, p)， 已知 P(X1) = 8/9， 求 P(Y1). 解: 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9. 所以 1/ 9 = P(X=0) =(1p)2， 从而解得: p = 2/3. 由此得： P(Y1) = 1 P(Y=0) = 1- (1p)4 = 80/81.

二项分布与0-1分布的联系 在n重伯努利试验中，若令

二项分布的数学期望和方差

2.4.2 泊松分布 若随机变量 X 的概率分布为 则称 X 服从参数为 的泊松分布, 记为 X ~ P().

单位时间内一电路受外界电磁波的冲击次数； Poisson 分布常用来描述单位时间(单位面积、单位产品等)上的计数问题。如 一天内到达某商场的顾客数； 单位时间内一电路受外界电磁波的冲击次数； 某电话交换台一天内接到的呼叫次数； 1平方米的玻璃上的气泡数等

若随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，则

注:当n很大p很小时，二项分布可用Poisson分布近似。 泊松定理 定理2.4.1 (二项分布的泊松近似) 在n重伯努里试验中，记 pn 为一次试验中 成功的概率. 若 npn ，则 注:当n很大p很小时，二项分布可用Poisson分布近似。

例2.4.2 一铸件上的砂眼数服从参数λ=0.5的Poisson分布，求此铸件上至多1个砂眼的概率和至少2个砂眼的概率。 例2.4.3 已知某种疾病的发病率为0.001，某单位共有5000人. 求该单位患此病的概率不超过5人的概率。

例2. 4. 4 一有10000名同年龄段且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险 例2.4.4 一有10000名同年龄段且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险. 每个投保人在年初缴纳200元保费，而在这一年中若投保人死亡，则受益人可从保险公司获得100000元赔偿. 由生命表知这类人的年死亡率为0.001. 求保险公司在这项业务上 (1)亏损的概率； (2)至少获利500000元的概率.

2.4.3 超几何分布 记为 X ~ h(n, N, M). 超几何分布对应于不返回抽样模型 ： N 个产品中有 M 个不合格品， 2.4.3 超几何分布 记为 X ~ h(n, N, M). 超几何分布对应于不返回抽样模型 ： N 个产品中有 M 个不合格品， 从中抽取n个，不合格品的个数为X .

超几何分布的期望和方差

2.4.4 几何分布 X 为独立重复的伯努里试验中， 例如掷一颗骰子，首次出现6点的投掷 记为 X ~ Ge(p) 2.4.4 几何分布 记为 X ~ Ge(p) X 为独立重复的伯努里试验中， “首次成功”时的试验次数. 例如掷一颗骰子，首次出现6点的投掷 次数X ~ Ge(1/6).

几何分布的期望和方差

定理2.4.2 设 X ~ Ge(p)，则对任意的正整数m和n有 几何分布的无记忆性 定理2.4.2 设 X ~ Ge(p)，则对任意的正整数m和n有 P( X > m+n | X > m ) = P( X > n ) 注：几何分布是唯一具有无记忆性,取值集合 为正整数集的离散型分布.

负二项分布(帕斯卡分布) 记为X ~ Nb(r, p). X 为独立重复的伯努里试验中， “第 r 次成功”时的试验次数.

负二项分布与几何分布的联系 即负二项分布可分解成 r 个相互独立的服从几何分布的随机变量之和.

注 意 点 (1) 二项随机变量是独立 0-1 随机变量之和. (2) 负二项随机变量是独立几何随机变量之和.

常用离散分布的数学期望 0-1 分布的数学期望 = p 二项分布 b(n, p)的数学期望 = np 几何分布Ge(p) 的数学期望 = 1/p 泊松分布 P() 的数学期望 = 

常用离散分布的方差 0-1 分布的方差 = p(1p) 二项分布 b(n, p)的方差 = np(1p) 几何分布Ge(p) 的方差 = (1p)/p2 泊松分布 P() 的方差= 

§2.5 常用连续分布 正态分布、均匀分布、指数分布、 伽玛分布、贝塔分布。

2.5.1 正态分布 若连续型随机变量X 的密度函数为 记为X ~ N(, 2), 其中 >0，  是任意实数. 2.5.1 正态分布 若连续型随机变量X 的密度函数为 记为X ~ N(, 2), 其中 >0，  是任意实数.  是位置参数.  是尺度参数.

正态分布是最重要的一个概率分布，高斯首先在误差理论中用来刻画误差分布，因而正态分布又称高斯分布。 一个随机变量如果是大量微小的、独立因素共同作用的结果，一般可认为服从正态分布，如测量误差、产品重量、人的身高、年降雨量等。

正态分布的性质 (1) p(x) 关于 是对称的. 在 点 p(x) 取得最大值. (2) 若 固定,  改变, p(x)左右移动, σ小 在 点 p(x) 取得最大值. σ大 (2) 若 固定,  改变, μ x p(x)左右移动, 形状保持不变. (3) 若 固定,  改变,  越小曲线越陡峭.  越大曲线越平坦;

标准正态分布N(0, 1) p(x) 密度函数记为 (x), 分布函数记为 (x). x x x

(x) 的计算 (1) x  0 时, 查标准正态分布函数表. (2) x < 0时, 用 若 X ~ N(0, 1), 则 (1) P(X  a) = (a); (2) P(X>a) =1(a); (3) P(a<X<b) = (b)(a); (4) 若a  0, 则 P(|X|<a) = P(a<X<a) = (a)(a) = (a) [1 (a)] = 2(a)1

例2.5.1 设 X ~ N(0, 1), 求 P(X>1.96) , P(|X|<1.96) 解: P(X>1.96) = 1 (1.96) = 1(1 (1.96)) = (1.96) = 0.975 (查表得) P(|X|<1.96) = 2 (1.96)1 = 2 0.9751 = 0.95

例2.5.2 设 X ~ N(0, 1), P(X  b) = 0.9515, P(X  a) = 0.04947, 求 a, b. 解: (b) = 0.9515 >1/2, 所以 b > 0, 反查表得: (1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66 而 (a) = 0.0495 < 1/2, 所以 a < 0, (a) = 0.9505, 反查表得: (1.65) = 0.9505, 故 a =  1.65

一般正态分布的标准化 定理2.5.1 设 X ~ N(,  2), 则 Y ~ N(0, 1). 推论:

若 X ~ N(, 2), 则 P(X<a) = ， P(X>a) =

解: P(10<X<13) = (1.5)(0) 例2.5.3 设 X ~ N(10, 4), 求 P(10<X<13), P(|X10|<2). 解: P(10<X<13) = (1.5)(0) = 0.9332  0.5 = 0.4332 P(|X10|<2) = P(8<X<12) = 2(1)1 = 0.6826

例2.5.4 设 X ~ N(,  2), P(X  5) = 0.045, P(X  3) = 0.618, 求  及 . 解:  = 1.76  =4

课堂练习(1) 已知 X ~ N(3, 22), 且 P{X>k} = P{X≤k}, 则 k = ( ). 3

课堂练习(2) 设 X ~ N(, 42), Y ~ N(, 52), 记 ① p1 = P{X≤  4}，p2 = P{Y≥ +5}, 则( ) ① 对任意的  ，都有 p1 = p2 ② 对任意的  ，都有 p1 < p2 ③ 只个别的  ，才有 p1 = p2 ④ 对任意的  ，都有 p1 > p2 ①

课堂练习(3) ③ 设 X ~ N( ,  2), 则随 的增大， 概率 P{| X  | < } ( ) ① 单调增大 ② 单调减少 ③ 保持不变 ④ 增减不定 ③

正态分布的期望和方差 若 Y ~ N(0, 1), 则 EY=0，VarY=1. 设 X ~ N(,  2), Y ~ N(0, 1). 从而E X =, VarX= 2.

正态分布的 3 原则 设 X ~ N(, 2), 则 P( | X | <  ) = 0.6828. 正态分布的 3 原则 设 X ~ N(, 2), 则 P( | X | <  ) = 0.6828. P( | X | < 2 ) = 0.9545. P( | X | < 3 ) = 0.9973.

区间(a, b)上的均匀分布的密度函数和分布函数为 2.5.2 均匀分布 区间(a, b)上的均匀分布的密度函数和分布函数为 记为X ~ U(a, b)

例2.5.5 X ~ U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率. 解： 记 A = { X > 3 }, 则 P(A) = P( X> 3) = 2/3 设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数, 则 Y~ b(3, 2/3)，所求概率为 P(Y≥2) = P(Y=2)+P(Y=3) =20/27

均匀分布的期望和方差

2.5.3 指数分布 指数分布的密度函数和分布函数为 记为 X ~ Exp(), 其中 >0. 2.5.3 指数分布 指数分布的密度函数和分布函数为 记为 X ~ Exp(), 其中 >0. 指数分布常被用作刻画“寿命”分布，如电子元件的寿命，动物的寿命，电话的通话时间，随机服务系统中的服务时间等。

P( X > s+t | X > s )=P( X > t ) 指数分布的期望和方差 特别：指数分布具有无忆性，即： P( X > s+t | X > s )=P( X > t )

2.5.4 伽玛分布 若随机变量X的密度函数为 记为 X ~ Ga(, ), 其中 >0，  > 0. 称 为伽玛函数.

注意点 (1) = 1, (1/2) = (n+1) = n! Ga(1, ) = Exp() (1) = 1, (1/2) = (n+1) = n! (2) Ga(1, ) = Exp() Ga(n/2, 1/2) = 2(n)

2.5.5 贝塔分布 若随机变量X的密度函数为 记为 X ~ Be(a, b), 其中a >0，b >0. 称 为贝塔函数.

注意点 B(a, b) =B(b, a) B(a, b) =(a)(b) /(a+b) (3) Be(1, 1) = U(0, 1) (1) B(a, b) =B(b, a) (2) B(a, b) =(a)(b) /(a+b) (3) Be(1, 1) = U(0, 1)

常用连续分布的数学期望 正态分布 N(, 2) : E(X) =  均匀分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2 指数分布 Exp() : E(X) = 1/ 伽玛分布 Ga(, ) : E(X) = / 贝塔分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b)

常用连续分布的方差 正态分布 N(, 2) 的方差= 2 均匀分布 U(a, b) 的方差 = (b a)2/12 指数分布 Exp() 的方差= 1/2

课堂练习 设 E(X)=μ，Var(X)=σ2，则对任意常 数 C， 必有（ ）. ④

问题：已知 X 的分布，求 Y = g(X) 的分布。 §2.6 随机变量函数的分布 问题：已知 X 的分布，求 Y = g(X) 的分布。 例如： Y1 = 4X +3； Y2 = |X|； Y3 = X2 .

2.6.1 离散随机变量函数的分布 当 X 为离散随机变量时， Y = g(X) 为离散随机变量. 2.6.1 离散随机变量函数的分布 当 X 为离散随机变量时， Y = g(X) 为离散随机变量. 将g(xi) 一一列出, 再将相等的值合并即可.

例2.6.1 已知 X 的分布列，求 Y= X2 +X的分布。 X -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 解：Y= X2 +X的分布列为 Y 2 0 0 2 6 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 将相同的值合并得 Y 0 2 6 P 0.2 0.5 0.3

2.6.2 连续随机变量函数的分布 定理2.6.1 设 X ~ pX(x)，y = g(x) 是 x 的严格 2.6.2 连续随机变量函数的分布 定理2.6.1 设 X ~ pX(x)，y = g(x) 是 x 的严格 单调函数，记 x = h(y) 为 y = g(x) 的反函数, 且h(y)连续可导，则Y = g(X)的密度函数为:

例2.6.2 设 X ~ 求 Y =eX 的分布. 解： 反函数 x = h(y) = lny, y = ex 单调可导, 所以当 y > 0 时, 由此得

正态变量的线性不变性 定理2.6.2 设 X ~N (, 2)，则当a  0 时， Y = aX+b ~ N (a +b, a22). 由此得： 若 X ~N (, 2)， 则 Y = (X )/  N(0, 1).

对数正态分布 定理2.6.3 设 X ~N (, 2)，则 Y = e X 的服从

对数正态分布是常用分布，实际中不少随机变量服从对数正态分布，如 绝缘材料的寿命； 设备故障的维修时间； 家中仅有两个小孩的年龄差等

伽玛分布的有用结论 定理2.6.4 设 X ~ Ga (, )，则当k > 0 时， Y = kX ~ Ga (, /k).

均匀分布的有用结论 定理2.6.5 设 X ~ FX (x)，若FX (x)为严格单调增的连 续函数，则Y = FX (X) ~ U(0, 1). 注：可以通过U(0, 1)的随机数生成其他分布的随机数.

当函数 y=g(x) 不是严格单调函数时，可以先利用X的分布求Y=g(X)的分布函数 然后对y求导得Y=g(X)的密度函数。 例2.6.3 设 随机变量X ~N (0, 1)，求 Y= X2 的密度函数。

例2.6.4 设 随机变量X 的密度函数为

§2.7 分布的其它特征数 矩、变异系数、分位数、中位数

2.7.1 k 阶原点矩和中心矩 定义2.7.1 k 阶原点矩：k = E(Xk) ， k = 1, 2, …. 注意: 1 = E(X). k 阶中心矩：k = E[XE(X)]k ， k = 1, 2, …. 注意: 2 = Var(X).

2.7.2 变异系数 定义2.7.2 称 为 X 的变异系数. 作用： CV 是无量纲的量, 用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大小.

2.7.3 分位数 定义2.7.3 设 0 < p < 1， 若 xp 满足 P( X  xp ) = F(xp) = p 2.7.3 分位数 定义2.7.3 设 0 < p < 1， 若 xp 满足 P( X  xp ) = F(xp) = p 则称 xp 为此分布 p - 分位数， 亦称 xp 为下侧 p - 分位数.

注 意 点 (1) 因为 X 小于等于 xp 的可能性为 p ， 所以 X 大于 xp 的可能性为 1 p . (3)

上侧 p -- 分位数 若记 x’p 为上侧 p - 分位数，即 P(X x’p) = p 则

2.7.4 中位数 定义2.7.4 称 p = 0.5 时的p 分位数 x0.5 为中位数.

中位数与均值 相同点：都是反映随机变量的位置特征. 不同点： 含义不同.

统计中常用的 p - 分位数 (1) N(0, 1)： Z , U (2) 2(n)： (3) t (n)： (4) F (n, m)：