第七章 機率與賽局理論

本章大綱 7.1 機率 7.2 期望值 7.3 「自然」也是一個參賽者 7.4 海戰衝突 7.5 風險趨避 7.6 預期效用

本章觀念預讀 機率：機率就是測度不確定事件中，某一結果發生之可能性大小的數值，此一數值等於當試驗進行無限次時，該結果出現的次數比例。 期望值：若一不確定事件有多種不同的結果，則此一不確定事件的數學期望值就是以此事件各種結果發生的機率為權數乘以各結果報酬的加權平均值。 風險趨避：針對兩可行選擇：一確定值以及一個風險性報酬，若此風險性報酬的期望值大於確定值，但某人仍然選擇確定值，則此人可被稱為是風險趨避。

機率 機率 就是測度一不確定事件發生可能性大小的數值。 極限次數 重複進行相同試驗，來計算特定事件出現的次數比例，且此一次數比例將隨試驗數目趨近無限大而漸趨近一數值，此數值即為極限次數。而此事件的極限次數即可被視為單一試驗下發生的機率。 當相對次數可觀察時，可以利用相對次數估測機率。

期望值 期望值 若一未定事件有多種可能不同的結果，則其期望值是指以各事件發生的機率為權數乘以各事件報酬的加權平均值。

「自然」也是一個參賽者 自然不確定性 此不確定性來自於自然的複雜與不可預測性，而非人類參賽者的行動所造成。賽局理論可以將「自然」想成是一參賽者，但其僅就一某特定機率分配隨機選擇他的策略。

表7.1 與自然之戰

表7.2 與自然之戰（採取權變策略時）

海戰衝突 自然經常是戰爭的參賽者，以英國與法國的戰爭為例 西班牙的加入 約翰‧傑維斯爵士的決定 風：不確定的因素 微風 強風

表7.3 聖文森海角之戰

表7.4 聖文森海角之戰的期望值

風險趨避(1/2) 凱倫的藝術畫 19世紀畫家的機率與期望值 20世紀畫家的機率與期望值 風險趨避 針對兩種可行選擇：一確定值以及一個風險性報酬。若此風險性報酬的期望值大於確定值，但某人仍然選擇確定值，此人即為風險趨避者；若此風險性報酬的期望值小於確定值，但是某人選擇風險性報酬，此人即為風險愛好者。

表7.5 藝術畫轉售的貨幣 報酬

風險趨避(2/2) 風險趨避似乎是大多數人的共通特性，例如，人們買保險、投資獲利較低而風險也較低的資產，就都是趨避風險的寫照。若有人不選一確定值，而選擇與此確定值相同期望值的風險投資，此人便可說是風險愛好者(risk loving)。若某人只看哪個期望值高就選哪一個，則此人就是一風險中立者(risk neutral)。

表7.6 藝術畫投保的貨幣 報酬

預期效用(1/2) 風險趨避的觀念可以藉由主觀偏好－效用(utility)數值（源自經濟學、哲學與數學的觀念）來測度。 效用 效用是一個人自特定財貨、勞務、所得以及報酬的主觀效益測度值。 對參賽者而言，主觀報酬與客觀的貨幣報酬有所不同，但是兩者之間存在對稱關係，也就是當貨幣報酬增加時，主觀的效用報酬也會隨之增加，但不一定是等比例的增加。

預期效用(2/2) 風險中立是三種風險態度中最簡單的案例，因為風險中立者的目標是極大化報酬期望值，亦即她的預期效用與報酬期望值將呈一固定比例。 風險愛好者與風險趨避者的目標則是極大化效用的期望值（預期效用）。 效用與風險趨避 若某人的所得效用函數呈現邊際效用遞減，此人就是一風險趨避者；若某人的所得效用函數呈現邊際效用遞增，此人就是一風險愛好者；而若某人的所得效用函數的邊際效用為一常數，此人就是一風險中立者。

圖7.1 凱倫的效用報酬（假設凱倫報酬的效用函數是U(Y) = (Y)1/4）

表7.7 更多訊息下藝術畫轉售的效用報酬

表7.8 典藏畫作投保的效用報酬

本章摘要(1/2) 機率是一針對未確定事件相對可能性以數值表示的方法。任一事件的機率值是一介於0至1的數值。機率值愈大，代表事件發生的可能性愈大。 機率有助於將未確定報酬賦予價值。若一賽局的策略組合可能出現多種狀況，則此策略組合下的報酬期望值就是各種狀況報酬的加權平均值。 在賽局理論中，處理不確定性的方法是將產生不確定性的自然或是機會視為一獨立參賽者。而此參賽者的策略就是針對各種事件給定機率。因此，其他參賽者的策略就是在給定各事件的機率（自然的策略）下，極大化報酬的期望值。

本章摘要(2/2) 如果（包括自然）參賽者超過兩個，那麼這些其他參賽者在評估策略時，就須在給定自然的機率分配下，計算各策略下的報酬期望值。 但是，極大化貨幣報酬的期望值，未必是參賽者策略選擇的考量目標。某些參賽者可能並不喜歡不確定性，我們稱他們為風險趨避者。參賽者若為風險趨避者，其所追求的目標將是極大化效用而非貨幣報酬，因此，儘管效用將隨貨幣報酬增加而增加，但是若效用增加的幅度小於貨幣增加的幅度時，則此參賽者就是一個風險趨避者；反之，就是一個風險愛好者。而若一參賽者的目標是極大化貨幣報酬期望值，則此參賽者就是一個風險中立者。

附錄A：效用測度(1/2) 為了說明貨幣的預期效用與報酬效用期望值之間的關係，馮紐曼與摩根斯坦提出了測度報酬效用的一個方法。 舉例來說，如果我們想知道凱倫擁有無風險給付4,000元的效用為何？其中一個方法就是提供一張彩券與4,000元無風險給付，供凱倫選擇，而這張彩券可使凱倫有p的機率取得貨幣報酬1萬元，有1－p的機率取得0元報酬。若凱倫選擇彩券，則表示彩券對凱倫的效用較無風險給付4,000元要來得高，因此可調低p值，直到凱倫感覺兩資產無差異，那時的機率值p（乘以效用最大尺度值）便可定義為凱倫擁有4,000元無風險給付的效用。

附錄A：效用測度(2/2) 如果設定效用的尺度自0至10，確定獲致1萬元的效用就是最高仿照馮紐曼與摩根斯坦的方法，我們可以先設定一彩券兩高低報酬的效用尺度值，然後再定義某人某一確定報酬X的效用等於讓此人感覺兩資產（彩券與確定報酬X）無差異時的機率值。

附錄B：貝氏法則(1/2) 在進階賽局理論（訊號賽局）中，經常被使用到的另一個重要機率的觀念，就是貝氏法則(Bayes€?Rule)（以統計學家貝氏(Thomas Bayes)命名）。

附錄B：貝氏法則(2/2) 與納許(Nash)以及賽爾登(Selten)共同獲得1994年諾貝爾經濟學獎的哈桑尼(John Harsanyi)就是以貝氏法則運用在賽局理論的貢獻得獎。在哈桑尼所提出的方法中，參賽者的策略抉擇為：給定其他參賽者選擇特定策略機率的估測值，每一參賽者選擇極大化報酬的策略。而在此情況下，運用貝氏法則，可修正納許均衡的觀念（貝氏　納許均衡）為：每一參賽者不會再改變對其他參賽者策略選擇機率的估測值，也不會再改變自己的策略。