第2章 图像的数字化与显示

2.1 连续图像的数学描述 一幅图像可以被看作是空间各点光强度的集合。 对于二维图像，可以把光强度I看作是 变化的连续函数： （2.1） 2.1 连续图像的数学描述 一幅图像可以被看作是空间各点光强度的集合。 对于二维图像，可以把光强度I看作是 随空间坐标（x, y）、光线波长 和时间t 变化的连续函数： （2.1）

如果只考虑光的能量而不考虑其波长 图像在视觉上表现为灰色影像--灰度图像： （2.2） 静止灰度图像： （2.3）

一般地，一个完整的图像处理系统输入和显示的都是便于人眼观察的连续图像（模拟图像）。 为了便于数字存储和计算机处理可以通过数模转换（A/D）将连续图像变为数字图像 。

2.2 图像场取样 2.2.1 取样和量化的基本概念 数字化包括取样和量化两个过程 ： 数字化图像所需的主要硬件： 2.2 图像场取样 2.2.1 取样和量化的基本概念 数字化包括取样和量化两个过程 ： 取样 ：对空间连续坐标(x, y)的离散化 量化 ：幅值 f (x, y)的离散化 数字化图像所需的主要硬件： 采样孔、图像扫描机构 、光传感器 、量化器 、输出存储体

（a）连续图像 （b）数字化结果 图2.1 图像的数字化过程

（c）像素 （d）灰度级 图2.1 图像的数字化过程

一幅连续图像f (x, y)被取样，则产生的数字图像有M行和N列。坐标(x, y)的值变成离散值，通常对这些离散坐标采用整数表示 ： 取样和量化的结果是一个矩阵 一幅连续图像f (x, y)被取样，则产生的数字图像有M行和N列。坐标(x, y)的值变成离散值，通常对这些离散坐标采用整数表示 ： 4行5列 ＝＞ 图2.2 图像的坐标

一幅行数为M、列数为N的图像大小为M×N的矩阵形式为： （2.4） 其中矩阵中的每个元素代表一个像素

假定图像尺寸为M、N，每个像素所具有的离散灰度级数为G 这些量分别取为2的整数幂m，n，k，即M=2m，N=2n，G=2k 存储这幅图像所需的位数是： 如果图像是正方形？ 图像尺寸的增加，所需的存储空间？ （2.5）

定义二维图像信号 的傅里叶频谱为 。二维傅里叶正反变换 ： 2.2.2 二维采样 图像在取样时，必须满足二维采样定理，确保无失真或有限失真地恢复原图像 。 定义二维图像信号 的傅里叶频谱为 。二维傅里叶正反变换 ： （2.6） （2.7）

二维采样定理： 如果2D信号 的傅里叶频谱 满足 其中 对应于空间位移变量x和y的最高截止频率。 （2.8）

此时，通过采样信号 能唯一地恢复原图像信号f (x,y) ，且有 则当采样周期 满足 此时，通过采样信号 能唯一地恢复原图像信号f (x,y) ，且有 （2.9）

（2.10） （2.11）

（a）原图像的频谱 （b）采样信号的频谱 图2.3 采样信号的频谱

2.3 图像的量化 量化：使连续信号的幅度用有限级的数码表示的过程。 量化的准则不同，会导致不同的量化效果。 2.3 图像的量化 量化：使连续信号的幅度用有限级的数码表示的过程。 量化的准则不同，会导致不同的量化效果。 从不同的角度将量化方法分成4类： （1）按量化级步长均匀性 均匀量化和非均匀量化。 （2）按量化对称性 对称量化和非对称量化

（a）中央上升型 （b）中央平稳型 图2.4 均匀对称量化

（a）中央上升型 （b）中央平稳型 图2.5 非均匀对称量化

（3）按量化时采样点相互间的相关性分 无记忆和有记忆量化。 （4）按量化时处理的采样点数分 标量量化和矢量量化。

2.3.1 标量量化 标量量化：将数值逐个量化 。 例：假设抽样信号的范围是0~5 V，将它分为8等分，这样就有8个量化电平，分别是5/8 V，10/8 V，15/8 V，…，35/8 V。 对每一个采样将它量化为离它最近的电平。 在量化后，为了能在数字信号处理系统中处理二进制码，还必须经过编码操作。 0 V用000表示，5/8 V用001表示，35/8 V用111表示，这样一来每个采样可以用3比特来表示

量化器设计的任务： 失真的度量： 划分子区间和设定量化值，使量化造成的失真最小。 使k个子区间的总误差平方 最小或是当造成的失真人眼看不出时，失真最小。 当概率分布为p(z)，量化值为qi时 （2.12）

1.均匀量化（线性量化） 均匀量化 将 均分成个k子区间后，每个区间的长度 各子区间以它的中心位置作为量化值 （2.13） （2.14）

当待量化值在区间内均匀分布时 最小 ： （2.15） （2.16）

2. Max量化器 Max量化器是一种非均匀量化器 主要思想： 不等于常数，使 最小。 不等于常数，使 最小。 说明样本值在某个取值范围内较频繁出现，而在另外一些范围内出现不多。 可对样本值较频繁出现的取值范围采用较小的量化区间，而在其它地方用较大的量化区间。 这样就可在不增加量化级数的条件下，降低平均误差，减少量化噪声。

Max量化器在总误差平方和最小的意义上是最优的。

2.3.2 矢量量化 定义：将一组采样的信号幅度矢量在容许的误差范围内用更少的离散矢量代替。 与标量量化相比，矢量量化提供较低的失真，但运算量比标量量化大得多。 原理：一次量化2个以上采样点，量化过程需要用到一个码书。 实质就是在码书中找到输入矢量X的最近码字，其衡量标准就是误差测度，通常采用平方误差测度 。

图2.6 一维矢量量化

例题：原始图像块是一个4灰度级的16维矢量。 矢量的每个分量就是一个像素的灰度值，其灰度有四个等级，0最黑，3最亮。 假设码书含4个16维码字。经计算可以发现码字y1离x最近，故用索引01进行编码。 y1 y2 y3 y4 图2.7 原始图像和灰度级 图2.8 码书C＝{y1,y2,y3,y4}

目的：对任一输入矢量X，在码书中寻找最佳匹配码矢Xi。 常用的最佳匹配原则：寻求最小误差。 若码书尺寸为M，矢量X对应码矢Xi，信号矢量X的概率密度函数为p(X)，则总的量化误差可表示为 （2.17）

矢量误差 j可取1,2,…, p; p属于正整数。 常用的误差有 ： 均方绝对值误差（MAE） 均方误差（MSE） （2.18） （2.19） （2.20）

2.3 图像输入输出设备 2.3.1 图像输入设备 数字化器是将模拟图像转换成数字图像的数字化输入装置。 常用的数字化器 数码电视摄像机 2.3 图像输入输出设备 2.3.1 图像输入设备 数字化器是将模拟图像转换成数字图像的数字化输入装置。 常用的数字化器 数码电视摄像机 数码相机 扫描仪等

2.3.2 图像输出设备 数字图像的显示是图像数字化的逆过程（D/A） 。 在多媒体技术中，显示器和其他图像输出设备（如打印机、胶片纪录仪、静电绘图仪等）都可以看成为输出显示媒体。显示器是典型的暂时显示设备，而打印机等永久显示设备。