《概率论》总复习

考试题型 填空题5*3’=15’ 选择题 5*3’=15’ 计算题4*12’=48’ 应用题1*12’=12’ 证明题1*10’=10’

第一章 概率论的基本概念

确定性事件 随机事件 Ω 随机试验(E)： 样本空间 样本点e 随机事件A 条件完全决定结果 条件不能完全决定结果 . （1）可以在相同的条件下重复地进行； 随机事件A （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果； 样本空间 （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

1.事件的关系和运算

(1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 (4) 自反律 (5) 对偶律 (6) 吸收律

(7) 替换律 B A B A B A

基本计数原理 2.古典概率 加法原理 乘法原理 3.加法公式 具有(1)样本空间有限性 (2)样本点的等可能性 对任意的事件A 若事件A1，A2，…，An两两互不相容，则

4.加法定理 特别地 A, B互相独立

5. 减法公式 若A，B为两个任意的事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB) 若A，B是两个概率不为零的互斥的事件，

条件 概率 6. 乘法公式 对相互独立的事件 特别地

若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 关于独立与互斥： 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 则A与B不独立. 反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0, 则A 、B不互斥. 关于独立： 定理：若两事件A、B独立，则 也相互独立.

7. 全概率公式 A1,A2,…, An是互斥完备事件组，B为任一事件，则 8.逆概率公式（贝叶斯公式） 9.独立试验模型（伯努利试验）

本章重点 1.利用事件的关系及运算计算概率 2. 古典概型的计算 3. 全概率公式和逆概率公式的应用

习题 1.已知随机事件A，B，C 满足 在下列三种情况下，计算 （1）A，B，C相互独立 （2）A，B独立，A，C互不相容

（1）A、B、C独立时

（2）A，B独立，A，C互斥

（3）A B，A，C独立

2.袋中装有m只正品硬币,n只次品硬币(两面均 为国徽),在袋中任取一只,将它投掷r次,已知每次都得到国徽,问这只硬币是正品的概率为多少？

3. 同一种产品由甲、乙、丙三个厂家供应。由长期经验知，三家的正品率分别为0. 95，0. 9，0 3.同一种产品由甲、乙、丙三个厂家供应。由长期经验知，三家的正品率分别为0.95，0.9，0.80，三厂家产品数所占比例为2:3:5，产品混合在一起。（1）从中任取一件，求此件产品为正品的概率；（2）现取到一件产品为正品，问它是三个厂中哪个厂生产的可能性大？

记A表示事件“取到的产品为正品”，Bi表示事件“取到的产品来自i厂（i=1,2,3）” 由题目可知： 由全概率公式： =0.86

=0.22 =0.31 =0.47 所以该产品来自丙厂的可能性最大

第二到第四章 第二章 随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征

一、基本概念 1.随机变量及其概率分布(分布律及密度函数) 分布函数的性质： 单调不减 2.分布函数的性质 (1)一维随机变量

离散型随机变量——分布列

连续型随机变量——密度函数

(2)二维随机向量 分布函数的基本性质： 是x和y的不减函数

(3)二维随机向量的边缘分布函数和边缘密度函数

(4)随机变量的独立性 若X和Y相互独立，则

3.随机变量函数的分布

第一步 求 的分布函数 第二步 求 的密度函数

当 X, Y 独立时,

4. 期望和方差 离散型 连续型

数学期望的性质 1. 设 C 是常数, 则有 2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有 3. 设 X, Y 是两个随机变量, 则有

离散型 连续型 常用公式 均方差

方差的性质 (1) 设 C 是常数, 则有 (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 (3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则

5.中心矩和原点矩 X的k阶原点矩： X的k阶中心矩：

6.协方差和相关系数 协方差 与 独立时， 当 有 相关系数

协方差的性质 1. 协方差的基本性质 (1) (2) (3) 其中 是 常数； (4) 为任意常数； (5) (6) 当 与 相互独立， 则

2. 随机变量和的方差与协方差的关系 特别地， 若 与 相互独立， 则 3. 可以证明： 若 的方差存在， 则协方差 一定存在且满足下列不等式：

7.六个重要分布 (1)两点分布： 随机变量X可能取值只有两个x0和x1，其分布律为:

当 不为整数时， 二项概率 在 达到最大值； 当 为整数时， 二项概率 在 和 处达到最 大值. (2) 二项分布： (2) 二项分布： 随机变量X的所有可能取值为 0,1,2,……,n,分布律为 当 不为整数时， 二项概率 在 达到最大值； 当 为整数时， 二项概率 在 和 处达到最 大值.

(3)泊松分布：随机变量X的所有可能取值为0,1,2,……，取值的概率为

(4)均匀分布 一维均匀分布 连续型随机变量X的密度函数为 则称X在[a，b]上服从均匀分布

二维均匀分布： 随机向量(X，Y)服从区域G上的均匀分布，密度函数

(5)指数分布： 连续型随机变量X的密度函数为

(6)正态分布： 若连续型随机变量X的密度函数

正态分布的标准化公式

二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.

本章重点 1.分布函数的定义和性质 2.分布列的性质 3.泊松定理 4.密度函数的性质 5.正态分布的性质 6.随机变量函数的密度函数的计算 7.随机变量函数的概率计算 8.会查概率分布表

9.二维离散型随机向量的联合分布列的计算 10.二维连续型随机向量的概率计算 11.边际分布列、边际密度函数的计算 12.随机变量的独立性 13.连续型随机变量的条件密度函数的计算 14.随机变量及随机变量函数的期望、方差计算 15.几个常见离散型和连续型随机变量的期望和方差 16.相关系数的性质及计算

习题 1. 设随机变量 服从参数为 的指数分布，则 2.设 , ，则随机变量 不可能服从 A.二项分布 B. 泊松分布 1. 设随机变量 服从参数为 的指数分布，则 2.设 , ，则随机变量 不可能服从 A.二项分布 B. 泊松分布 C.指数分布 D.正态分布 3.已知随机变量 ， 则

4.设随机变量X在区间[-1，2]上服从均匀分布，随机变量 Y由下式构造 ，求E(Y)，D(Y) 5.设A、B 为两个随机事件，且 令 求二维随机变量(X,Y) 的联合概率分布

6.设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为

7.设随机变量X的概率分布的密度函数为

第五章 1.依概率收敛

2.切比雪夫不等式 设随机变量 的期望值 方差 则对于任意给定的正数 有 注: 切比雪夫不等式也可以写成

3.切比雪夫大数定理

4.贝努利大数定律： n重贝努利试验中事件A发生n次, 每次试验A发生的概率为 p，则对任意＞0, 有

5.辛钦大数定律

6. 林德伯格—莱维中心极限定理：

7. 棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理

本章重点 1.切比雪夫不等式 2.两个中心极限定理

习题 1.设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式计算 2.设随机变量 ，则