第二章 静电场（2） §2.2 唯一性定理 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2015年10月16日 《电动力学》第10讲 第二章 静电场（2） §2.2 唯一性定理 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2015年10月16日 山东大学物理学院 宗福建

静电势的微分方程 真空中Maxwell方程组中，静电场的方程为： 引入： 则有： 山东大学物理学院 宗福建 2

静电势的微分方程 ρ为自由电荷密度。 上式是静电势满足的基本微分方程，称为泊松（Poisson）方程。 给定边界条件就可以确定电势 的解。 给定边界条件就可以确定电势 的解。 山东大学物理学院 宗福建 3

静电势的微分方程 可以验证，电势 是泊松（Poisson）方程 的一个特解。 山东大学物理学院 宗福建 4

标势的边值关系 山东大学物理学院 宗福建 5

标势的边值关系 两绝缘介质之间： 即， 山东大学物理学院 宗福建 6

标势的边值关系 两导电介质之间： 即， 山东大学物理学院 宗福建 7

标势的边值关系 金属表面： 即， 山东大学物理学院 宗福建 8

标势的边值关系 一边是导电介质、一边是绝缘介质： 即， 山东大学物理学院 宗福建 9

上一讲习题简答 第72页，第14题。 山东大学物理学院 宗福建 10

上一讲习题简答 +h/2处放置一个+q，-h/2处放置一个-q 两电荷相距h，总电偶极距为p=qh 山东大学物理学院 宗福建 11

上一讲习题简答 解：电偶极子的电势 山东大学物理学院 宗福建 12

本讲主要内容 静电场的唯一性定理 可以均匀分区的单连通区域内静电场的唯一性 有导体存在时的唯一性定理 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 静电场的唯一性定理对于解决实际问题有着重要的意义。因为它首先告诉我们，哪些因素可以完全确定静电场，这样在解决实际问题时就有所依据。其次，对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定的分析，提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。下面我们先提出并证明一般形式的唯一定理，然后再证明有导体存在时的唯一性定理。 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 1、可以均匀分区的单连通区域内静电场的唯一性 §2.2 唯一性定理 1、可以均匀分区的单连通区域内静电场的唯一性 单连通区域：设 D为平面区域,如果D 内任一闭曲线所围的部分区域都属于D ,则称D 为平面单连通区域；否则称为复连通区域。通俗地讲,单连通区域是不含“洞”(包括“点洞”)与“裂缝”的区域。 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 1、可以均匀分区的单连通区域内静电场的唯一性 §2.2 唯一性定理 1、可以均匀分区的单连通区域内静电场的唯一性 单连通区域：设 D为空间区域,如果D 内任一闭曲线都能连续地缩小为一个点 ,则称D 为空间单连通区域；否则称为复连通区域。 山东大学物理学院 宗福建 16

§2.2 唯一性定理 v s 1、可以均匀分区的单连通区域内静电场的唯一性 §2.2 唯一性定理 1、可以均匀分区的单连通区域内静电场的唯一性 可以均匀分区的区域V，即V可以分为若干个均匀区域 Vi ，每一个区域的介电常数为 εi 。设V内有给定的电荷分布 ρ（x）。电势 φ 在均匀区域 Vi 内满足泊松方程 在两区域 Vi 和 Vj 的分界上满足边值关系 s v 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 唯一性定理： 设区域V内给定自由电荷分布，在V的边界上S上给定 （1）电势φ | s 或 §2.2 唯一性定理 唯一性定理： 设区域V内给定自由电荷分布，在V的边界上S上给定 （1）电势φ | s 或 （2）电势的法向导数 ∂φ /∂n| s ， 则V内的电场唯一确定。 也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界S上满足该给定的φ或∂φ /∂n值。 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 证明 设有两组不同的解 φ’ 和 φ’’ 满足唯一性条件定理的条件。 令 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 在两均匀区界面上有 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 在整个区域V的边界S上有 所以， 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 考虑第i个均匀区 Vi 的界面 Si 上的面积分 这面积分可以变换为体积分 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 对所有分区 Vi 求和得 在两均匀区 Vi 和 Vj 的界面上， φ和εi▽φ的法向分量分别相等，但 dSi = −dSj 。因此，在上式左边的求和式中，内部分界面的积分互相抵消，因而只剩下整个V的边界S上的积分。 但在S上， φ|s=0 ，或者 ∂φ/∂n|s=0 ，两情形下面积分都等于零。 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 因此有 由于被积分函数 εi（▽φ）2 ≥0，上式成立的条件是在V内各点上都有 §2.2 唯一性定理 因此有 由于被积分函数 εi（▽φ）2 ≥0，上式成立的条件是在V内各点上都有 φ' 和 φ'' 至多只能相差一个常量。但电势的附加常量对电场没有影响，这就证明了唯一性定理。 山东大学物理学院 宗福建

思考题 考虑第i个均匀区 Vi 的界面 Si 上的积分 为什么有系数εi？ 若没有该系数结果会怎样？ 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 2. 有导体存在时的唯一性定理 当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定电场，所需条件有两种类型：一类是给定每个导体上的电势 φi ，另一个是给定每个导体上的总电荷 Qi 。 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 设在某区域V内有一些导体，我们把除去导体内部以后的区域称为V' ，因而V' 的边界包括界面S以及每个导体的表面 Si 。设V' 内有给定电荷分布 ρ ，S上给定φ|s 或 ∂φ/∂n|s值。对上述第一种类型的问题，每个导体上的电势φi 亦给定，即给出了V' 所有边界上的φ或 ∂φ/∂n 值，因而由上一小节证明了的唯一性定理可知，V' 内的电场唯一地被确定。 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 对于第二种类型的问题，唯一性定理表述如下： §2.2 唯一性定理 对于第二种类型的问题，唯一性定理表述如下： 设区域V内由一些导体，给定导体之外的电荷分布ρ，给定各导体上的总电荷 Qi 以及V的边界S上的φ或 ∂φ/∂n 值，则V内的电场唯一确定。 也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 在第i个导体上满足总电荷条件 （n为导体面的外法线）和等势面条件 φ|s= φi=常量 §2.2 唯一性定理 在第i个导体上满足总电荷条件 （n为导体面的外法线）和等势面条件 φ|s= φi=常量 以及在V的边界S上具有给定的φ|s 或 ∂φ/∂n|s 值。 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 由本定理的证明可以看出电场与电荷的相互制约关系。若空间内有一些导体，给定各导体上的总电荷后，在空间中就激发了电场。同时导体上的电荷受到电场作用。在静止情况，导体上的电荷分布使得导体表面为一个等势面。因此，由导体上的总电荷和导体面为等势面的条件同时确定空间中的电场以及导体上的电荷面密度。 山东大学物理学院 宗福建

唯一性定理的意义 1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度指明了方向。 1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度指明了方向。 2. 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 例题：半径为a的导体球壳接地,壳内中心放置一个点电荷 Q，求壳内场强。 解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地 §2.2 唯一性定理 Q 例题：半径为a的导体球壳接地,壳内中心放置一个点电荷 Q，求壳内场强。 解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地 因而腔内场唯一确定。 已知点电荷产生的电势为 但它在边界上 不满足 山东大学物理学院 宗福建

可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q有关。 要使边界上任何一点电势为0 ， 设 它满足 根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。 可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q有关。 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 例 如图，两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为 ε1，右半部电容率为 ε2。设内球壳带总电荷Q，外球壳接地，求电场和球壳上的电荷分布。 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 解 设两介质内的电势、电场强度和电位移分别为 φ1, E 1，D 1 和 φ2 ，E 2，D 2。由于左右两半是不同介质，因此电场一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解。在找尝试解时，我们先考虑两介质分界面上的边值关系 E1t=E2t D1n=D2n 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 山东大学物理学院 宗福建

§2.2 唯一性定理 山东大学物理学院 宗福建

本讲总结 本讲实际上是数学物理方法中关于泊松方程的定解问题 第1类边值问题，给定边界条件 电势φ|s ； 第2类边值问题，给定边界条件 电势的法向导数 ∂φ/∂n|s ； 第3类边值问题（混合问题），在部分边界上给定未知函数在这部分边界上的函数值，在其它边界上给定未知函数在这部分边界上的法向导数值；或者给定边界上未知函数与其法向导数值的线性组合。 山东大学物理学院 宗福建