Descriptive Statistics 第二讲 统计描述 Descriptive Statistics

第一节 计量资料的统计描述 频数表与频数分布 平均指标（算术均数、几何均数、中位数、众数） 第一节 计量资料的统计描述 频数表与频数分布 平均指标（算术均数、几何均数、中位数、众数） 变异指标（极差、百分位数与四分位间距、方差、标准差、变异系数）

一、频数表与频数分布 (frequency table and frequency distribution) 用于描述资料的分布特征

160名正常成年女子的血清甘油三酯（mmol/L） 编号 血清甘油三脂 1 0.51 … 2 0.52 153 1.65 3 0.59 154 1.66 4 0.61 155 1.67 5 156 6 0.62 157 1.69 7 0.63 158 1.7 8 0.64 159 1.71 160 1.77

1. 频数表的编制步骤 （1）求极差（range）：即最大值与最小值之差，又称为全距。 本例极差： R=1.77－0.51=1.26 （mmol/L） （2） 决定组数、组段和组距：根据研究目的和样本含量n确定。组距=极差/组数，通常分10-15个组，为方便计，组距参考极差的十分之一, 再略加调整。 本例i= R /10=1.26/10=0.126≈0.1。

（3） 列出组段：第一组段的下限略小于最小值，最后一个组段上限必须包含最大值，其它组段上限值忽略。 （4） 划记计数：用划记法将所有数据归纳到各组段，得到各组段的频数。

组段 （1） 划 记 （2） 频数，f （3） 组中值，X （4） fX (5)= (3)×(4) 0.5～ 3 0.55 1.65 0.6～ 正 9 0.65 5.85 0.7～ 正正 12 0.75 9.00 0.8～ 13 0.85 11.05 0.9～ 正正正 17 0.95 16.15 1.0～ 18 1.05 18.90 1.1～ 正正正正 20 1.15 23.00 1.2～ 1.25 22.50 1.3～ 1.35 22.95 1.4～ 1.45 18.85 1.5～ 1.55 12.40 1.6～ 8 14.85 1.7～1.8 合计 1.75 5.25 160 182.30

2. 频数分布 ①集中趋势(central tendency):变量值集中位置。本例在组段“1.1～”。 ——平均水平指标 ②离散趋势(tendency of dispersion):变量值围绕集中位置的分布情况。本例0.9～1.4，共有90人，占56％；离“中心”位置越远，频数越小；且围绕“中心”左右对称。 ——变异水平指标

3. 正态分布与偏态分布 1. 表2－2频数表—— 正态分布normal distribution （图2-1） 2. 表2－3频数表——右偏态（ skewed to the right），也称正偏态（positive skewed）（图2-2） 3. 表2－4频数表——左偏态（ skewed to the left），也称负偏态（negative skewed）（图2-3）

正态分布：中间高、两边低、左右对称 负偏态分布：长尾向左延伸 正偏态分布：长尾向右延伸

二、平均指标 总称为平均数（average）反映了资料的集中趋势（ central tendency ）。常用的有： 1. 算术均数(arithmetic mean)，简称均数 (mean) 2. 几何均数(geometric mean) 3. 中位数 (median) 4. 众数（mode）

1. 均数（mean） Σ为求和符号，读成sigma 适用条件：资料呈正态或近似正态。

例：均数＝182.3/160＝1.14 组段 （1） 划 记 （2） 频数，f （3） 组中值，X （4） fX (5)= (3)×(4) 0.5～ 3 0.55 1.65 0.6～ 正 9 0.65 5.85 0.7～ 正正 12 0.75 9.00 0.8～ 13 0.85 11.05 0.9～ 正正正 17 0.95 16.15 1.0～ 18 1.05 18.90 1.1～ 正正正正 20 1.15 23.00 1.2～ 1.25 22.50 1.3～ 1.35 22.95 1.4～ 1.45 18.85 1.5～ 1.55 13.95 1.6～ 8 13.20 1.7～1.8 合计 1.75 5.25 160 182.30 例：均数＝182.3/160＝1.14

2. 几何均数（geometric mean） 几何均数：变量对数值的算术均数的反对数。

几何均数的适用条件与实例 例：血清的抗体效价滴度的倒数分别为：10、100、1000、10000、100000，求几何均数。 适用条件：呈倍数关系的等比资料或对数正态分布（正偏态）资料；如抗体滴度资料 例：血清的抗体效价滴度的倒数分别为：10、100、1000、10000、100000，求几何均数。 此例的算术均数为22222，显然不能代表滴度的平均水平。同一资料，几何均数<均数

频数表资料的几何均数 例：几何均数＝反对数（102.1/72）＝26.19 抗体滴度 ⑴ 人数,f ⑵ 滴度倒数,X ⑶ lgX ⑷ f·lgX ⑸ 1:2.5　 1:10 1:40 1:160 1:640 合计 14 18 22 12 6 72 2.5 10.0 40.0 160.0 640.0 0.3979 1.0000 1.6021 2.2041 2.8062 5.5706 18.0000 35.2462 26.4492 16.8372 102.1032

3. 中位数（median） 适用条件：适合各种类型的资料。尤其适合于①大样本偏态分布的资料； ②资料有不确定数值；③资料分布不明等。 中位数是将一批数据从小至大排列后位次居中的数据值，符号为Md，反映一批观察值在位次上的平均水平。 适用条件：适合各种类型的资料。尤其适合于①大样本偏态分布的资料； ②资料有不确定数值；③资料分布不明等。

中位数计算公式与实例 特点：仅仅利用了中间的1～2个数据 例：9名病人潜伏期: 2,3,3,3,4,5,6,9,16 先将观察值按从小到大顺序排列，再按以下公式计算： 特点：仅仅利用了中间的1～2个数据 例：9名病人潜伏期: 2,3,3,3,4,5,6,9,16

频数表资料的中位数 i; fm 下限值L 中位数Md 上限值U

中位数＝1.1+0.1x[(160x50%－72)/20] ＝1.14微克/毫升 组段 （1） 划 记 （2） 频数，f （3） 累计频数Sf （4） 累计百分率 0.5～ 3 1.9 （0～1.9） 0.6～ 正 9 12 7.5 （1.9～7.5） 0.7～ 正正 24 15.0 （7.5～15.0） 0.8～ 13 37 23.1 （15.2～23.1） 0.9～ 正正正 17 54 33.8 （23.1～33.8） 1.0～ 18 72 45.0 （33.8～45.0） 1.1～ 正正正正 20 92 57.5 （45.0～57.5） 1.2～ 110 68.8 （57.5～68.8） 1.3～ 127 79.4 （68.8～79.4） 1.4～ 140 87.5 （79.4～87.5） 1.5～ 149 93.1 （87.5～93.1） 1.6～ 8 157 98.1 （93.1～98.1） 1.7～1.8 合计 160 100.0 （98.1～100） 中位数＝1.1+0.1x[(160x50%－72)/20] ＝1.14微克/毫升

4. 众数（mode） 出现次数（或频数）最多的观察值；在频数分布图中对应于高峰所在位置的观察值。适用于大样本；较粗糙。

均数、中位数、众数三者关系 正态分布时： 均数＝中位数＝众数 正偏态分布时：均数>中位数>众数 正态分布时： 均数＝中位数＝众数 正偏态分布时：均数>中位数>众数 负偏态分布时：均数<中位数<众数

三、变异（variation）指标 反映数据的离散度（ Dispersion ）。即个体观察值的变异程度。常用的指标有： 1. 极差(Range） (全距) 2. 百分位数与四分位数间距 Percentile and Quartile range 3. 方差 Variance 4. 标准差Standard Deviation 5. 变异系数 Coefficient of Variation

三、变异（variation）指标 甲 乙 丙 440 480 490 460 495 500 540 510 505 560 520 均数 例：设甲、乙、丙三人，采每人的耳垂血，然后红细胞计数，每人数5个计数盘，得结果如下（万/mm3） 盘编号　 甲 乙 丙 1 440 480 490 2 460 495 3 500 4 540 510 505 5 560 520 合计 2500 均数 甲 乙 丙

1.极差(Range） (全距) 优点：简便 缺点：1. 只利用了两个 极端值 2.n大，R也会大 3.不稳定 120 40 20

2.百分位数与四分位数间距 Percentile and quartile range 百分位数 ：数据从小到大 排列;在百分尺度下，所占百分比对应的值。记为Px。 四分位间距： QR＝P75－ P25 四分位半间距quartile deviation：QD＝QR/2 P100(max) P75 P50(中位数) P25 P0(min) Px

频数表资料的百分位数 i; fm 下限值L 百分位数Px 上限值U

P25＝0.9+0.1x[(160x25%－37)/17]＝0.92 P75＝1.3+0.1x[(160x75%－110)/17]＝1.36 组段 （1） 划 记 （2） 频数，f （3） 累计频数Sf （4） 累计百分率 0.5～ 3 1.9 （0～1.9） 0.6～ 正 9 12 7.5 （1.9～7.5） 0.7～ 正正 24 15.0 （7.5～15.0） 0.8～ 13 37 23.1 （15.2～23.1） 0.9～ 正正正 17 54 33.8 （23.1～33.8） 1.0～ 18 72 45.0 （33.8～45.0） 1.1～ 正正正正 20 92 57.5 （45.0～57.5） 1.2～ 110 68.8 （57.5～68.8） 1.3～ 127 79.4 （68.8～79.4） 1.4～ 140 87.5 （79.4～87.5） 1.5～ 149 93.1 （87.5～93.1） 1.6～ 8 157 98.1 （93.1～98.1） 1.7～1.8 合计 160 100.0 （98.1～100） P25＝0.9+0.1x[(160x25%－37)/17]＝0.92 P75＝1.3+0.1x[(160x75%－110)/17]＝1.36 QR＝1.36-0.92＝0.44；QD＝0.22

百分位数的应用 确定医学参考值范围 （reference range）： 如95％参考值范围＝P97.5－P2.5； 表示有95％正常个体的测量值在此范围。 中位数Md与四分位半间距QD一起使用，描述偏态分布资料的特征

3.方差 方差 （variance）也称均方差（mean square deviation），样本观察值的离均差平方和的均值。表示一组数据的平均离散情况。

样本方差为什么要除以（n－1） 小样本分母为n-1，称为自由度。

4.标准差 标准差 （standard deviation）即方差的正平方根；其单位与原变量X的单位相同。

标准差的计算 盘编号　 甲 乙 丙 甲2 乙2 丙2 1 440 480 490 193600 230400 240100 2 460 495 211600 245025 3 500 250000 4 540 510 505 291600 260100 255025 5 560 520 313600 270400 合计 2500 1260400 1251000 1250250 标准差 50.99 15.81 7.91

方差＝(221.52－182.302/160)/(160-1)＝ 0.0869 标准差＝0.298mmol/L 组段 （1） 频数，f （3） 组中值，X （4） fX (5)= (3)×(4) fX2 (5)= (3)×(4) 2 0.5～ 3 0.55 1.65 0.91 0.6～ 9 0.65 5.85 3.80 0.7～ 12 0.75 9.00 6.75 0.8～ 13 0.85 11.05 9.39 0.9～ 17 0.95 16.15 15.34 1.0～ 18 1.05 18.90 19.85 1.1～ 20 1.15 23.00 26.45 1.2～ 1.25 22.50 28.13 1.3～ 1.35 22.95 30.98 1.4～ 1.45 18.85 27.33 1.5～ 1.55 13.95 21.62 1.6～ 8 13.20 21.78 1.7～1.8 合计 1.75 5.25 9.19 160 182.30 221.52 方差＝(221.52－182.302/160)/(160-1)＝ 0.0869 标准差＝0.298mmol/L

变异系数(coefficient of variation，CV) 5. 变异系数 变异系数(coefficient of variation，CV) 适用条件：①观察指标单位不同，如身高、体重 ②同单位资料，但均数相差悬殊 均数 标准差 变异系数 青年男子 身高 170 cm 6 cm 3.5％ 体重 60 kg 7 kg 11.7％

变异指标小结 1．极差较粗，适合于任何分布 2．标准差与均数的单位相同，最常用，适合于近似正态分布 3．变异系数主要用于单位不同或均数相差悬殊资料 4．平均指标和变异指标分别反映资料的不同特征， 常配套使用 如 正态分布：均数、标准差； 偏态分布：中位数、四分位半间距