线性规划案例：上海红星建筑构配件厂生产计划的优化分析

上海红星建筑构配件厂生产计划的优化分析 一、问题的提出 二、生产主要过程及最优生产计划 三、计算结果的简单分析 四、生产计划的优化后分析（灵敏度分析） 五、结论及意义

一、问题的提出 上海红星建筑构配件厂是红星集团属下之制造建材设备的专业厂家。其主要产品有４种，分别用代号Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ表示。近年来，产品销售情况很好，市场对这４种产品的需求量很大，而预测的结果表明，需求还有进一步扩大的趋势，但有些客户希望能有更多的不同功能的新产品问世，至少对原产品在现有的基础上加以改进，以满足某些特殊需要。这就面临着进一步扩大再生产，努力开发适销对路新产品的问题。已经做的一些基础工作是：对引进新的技术和生产线有关资料和信息的调查和整理，对目前生产计划情况的成本核算及分析等。但对如何调整当前的生产计划，是否下决心引进新技术和生产线，开发出来的新产品何时投入批量生产和正式投产最为有利等一系列问题，尚缺乏科学的定量的决策依据。厂里目前最关心的是资源问题，主要是各种加工设备的生产能力。在这样的背景下，提出了生产计划的优化和分析。

二、生产主要过程及最优生产计划 生产Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种产品主要经过四个阶段。第一阶段是冲压：制造成技术所需要的零件；第二阶段是成形：在该车间里把零件制成符合规格的形状；第三阶段是装配：在装配车间，各种成形的零件按技术要求焊接在一起，成为完整的产品；第四阶段是喷漆：装配好的产品送到喷漆车间，被喷上防火的瓷漆装饰外表。 根据工艺要求及成本核算，单位产品所需要的加工时间、利润以及各种生产工艺可供使用的总工时如表1所示：

该厂仅有一台冲压机，每天工作8小时，共计480分钟可供加工用；另有成形中心、装配中心、喷漆中心分属各车间，除承担着科研任务外，还承担着科研试验、新产品开发试制等项工作，因此，这些生产中心每天利用的总计时间分别不超过2400分钟、2000分钟、3000分钟。 现假设上述问题的决策变量如下： 线性规划模型如下： 并且将目标函数取为每天的产品总利润，关于产品计划的 分别表示A、B、C、D型产品的日产量，

增加松弛变量 后，得到初始单纯形表，如表2。

或者利用LINGO10.0软件进行求解，得： Max=9*x1+6*x2+11*x3+8*x4; x1+x2+x3+x4<=480; 利用单纯形法进行计算，计算所得的最优解为： 或者利用LINGO10.0软件进行求解，得： Max=9*x1+6*x2+11*x3+8*x4; x1+x2+x3+x4<=480; 4*x1+8*x2+2*x3+5*x4<=2400; 4*x1+2*x2+5*x3+5*x4<=2000; 6*x1+4*x2+8*x3+4*x4<=3000; 求解输出结果为：

Global optimal solution found at iteration: 4 Objective value: 4450.000 Variable Value Reduced Cost X1 400.0000 0.000000 X2 0.000000 0.5000000 X3 70.00000 0.000000 X4 10.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 4450.000 1.000000 2 0.000000 2.500000 3 610.0000 0.000000 4 0.000000 0.5000000 5 0.000000 0.7500000

灵敏度分析结果为： Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 9.000000 0.5000000 0.1666667 X2 6.000000 0.5000000 INFINITY X3 11.00000 0.3333333 1.000000 X4 8.000000 1.000000 1.000000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 480.0000 20.00000 80.00000 3 2400.000 INFINITY 610.0000 4 2000.000 400.0000 20.00000 5 3000.000 40.00000 280.0000

这就是说，为了使日产利润最大，每天的生产计划应安排如下：生产A型产品400个，C型产品70个，D型产品10个，而不生产B型产品，这样每天总利润最大，可达4450元。

三、计算结果的简单分析 1.计算结果有4个松弛变量（软件求解结果Slack or Surplus的第2、3、4、5行），其中 ，这说明冲压、装配和喷漆三个工序可利用的加工机会都已全部用完，唯有成形工序还剩余610分钟时间闲置而未被利用。 2.分析相应的机会成本，从求解结果DUAL PRICES可以看出（最有单纯形表四个松弛变量的检验数），四种资源的影子价格分别为2.5元、0元、0.5元和0.75元。或者从原线性规划的对偶最优解可知：冲压时间机会费用是2.5元，装配时间的机会成本为0.5元，喷漆时间的机会费用是0.75元。其经济意义是上述三种时间资源每减少（或增加）1分钟，分别会使总利润下降（或增加）2.5元、0.5元、0.75元。而成形时间的机会费用为0，即无论时间增减对总利润均不产生影响。这与成形工序有闲置的610分钟而未被利用的事实是一致的。冲压时间的机会费用最高为2.5元，这意味着冲压工序是当前生产的关键所在，设法增加冲压可利用时间将使产品总利润得到较大程度的提高。

四、生产计划的优化后分析（灵敏度分析） 1.评价新的生产过程 为了满足市场需求，不断开发新产品，该厂计划引进1种新型产品技术，生产E型产品。根据设计计算得知，生产E型产品需要1分钟冲压时间、2分钟成形时间、6分钟装配时间、12分钟喷漆时间，单位产品利润为13元。在试制及制定生产计划之前，需要研究其投产效果，以便做出是否投产这一决策。 这个问题讨论发生以上变化时对原生产计划有无影响？相应的产品总利润是否能得到提高？ 设x5 为E型产品的产量，若令 为E型产品生产过程中所需要的各工序加工时间向量，则有： 则：

这表明，E型产品如果安排生产，每生产一件就会使总利润降低1.5元，这个1.5等于 ,也就是 的机会成本。

约束条件的左边，表示生产单位A,B,C,D四种产品，消耗资源所导致的总的机会费用之和。 该情况还可以从另外一个角度加以研究，考虑原线性规划的对偶规划，设 为对偶变量，则得： 约束条件的左边，表示生产单位A,B,C,D四种产品，消耗资源所导致的总的机会费用之和。 准备生产一种新产品（E型产品）所引起的变化相当于对偶问题增加一个约束条件：

2.B型产品投产的条件研究 在原先的最优生产计划中，不允许生产B型产品（x2=0），但当前市场上B型产品是有需求的，这就需要讨论在具备什么条件下，方可生产B型产品而使该厂得益？从灵敏度分析角度讨论该问题，途径无非两种：一是提高B产品的价格（增大C2）,二是压缩B型产品生产耗用时间资源（降低成本）。

途径1 提高B型产品的价格 由于 式中， 为B型产品新的单位产品利润。 从计算结果可以看出，只要B型产品利润由原来的6元提高到6.5元以上，那么，生产B型产品就有经济效益。此外，从用LINDO10.0软件求解的输出结果中，最优解x2=0，对应的REDUCED COST等于0.5，说明产品B不利于生产，当其单位利润增加0.5以上时该产品才具有竞争实力，才有利于生产。

换一个角度考虑上述问题。在对偶规划中，与B型产品有关的第二个约束条件： 元，并将原最优对偶解代入该约束条件，可得： 可见，只要 ，上述约束条件就被破坏， 最优解必将发生变化，B型产品的生产就将提高经济效益。 上述两种不同角度的分析得出完全一致的结论。

途径2 减少单位产品资源消耗以降低成本的分析 设 分别代入对偶约束条件（2）中，可得： 分别为单位B型产品对四种资源消耗的降低量， 将 分别代入上述四式中，可得：

结果表明，B型产品的单位加工时间如果能做到下面三个条件之一，就可使该产品的生产带来经济效益： 冲压时间由1分钟降低到（1-0.2）分钟=0.8分钟以下； 装配时间由2分钟降低到(2-1)分钟=1分钟以下； 喷漆时间由4分钟降低到(4-0.67)分钟=3.33分钟以下。 上述计算结果表明，对成形加工时间没有要求，这与成形加工可利用的总工时有闲置这一事实相符。这就是说，成形加工工序已造成资源浪费。因此应充分利用这部分闲置的资源，或考虑将原有的人力用于支援其他工序。

五、结论及意义 综合以上讨论和得出有关结论，据此提出相应的建议如下： 1.原始最优生产计划是考虑到现有的工时约束，为追求利润最大的目标而设计的，倘若不考虑品种是否齐全及B型产品的市场需求，则该生产计划是可行的，可使该厂的日产总利润最大，可达4450元。品种方面只安排生产A型产品400个，C型产品70个，D型产品10个。 2.考虑到市场需求及该厂现有产品品种，B型产品必须生产的话，就要设法改进B型产品的生产工艺及条件：一是努力开发其新的功能，对产品进行深加工，促使其利润增加，使单位产品利润达到6.5以上；二是尽量降低单位产品的加工时间，减少资源消耗以降低成本，起码做到冲压时间降低0.2分钟，或装配时间降低1分钟或者喷漆时间降低0.67分钟，甚至更多，此时生产B型产品将是有利可图的。

3.参数在一定范围内变动，不能调出基，说明成形工序的资源闲置是需要认真解决的一个问题，建议进行合理调整，或者在开发新产品时注意选用需要成形时间相对较多的品种，或者将多余的成形设备装转让出去，节余下来的人力、物力和财力用于添置较为关键的冲压设备，支援冲压工序。 4.新开发的E型产品目前投产的条件尚不成熟，匆忙上马会导致全厂的总利润下降。故还应做深入的研究与实验，设法提高利润，降低成本，直至单位产品利润大于14.5元或者 时，再考虑批量生产或者正式投产的问题。