統 計 學 11.2.2. Power Power of the two-sample t test depends on four factors. 1. The real difference△= 越大,Power越大 2. Significance level . ,p 3. Standard deviation . ,p 4. Sample sizes n,m. 如果 n,m 大,則 p 大. p.s. | y x m - ：the amplitude of the 「noise」that hides the 「signal」. 最近更新日期: 2019年5月3日星期五

11.2.2. Power 若 未知，則需用noncentral t分配。 現設樣本夠大，或 已知，則可用normal。 v.s. rejects if or

11.2.2. Power

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11.2.2. Power Fig 11-6

11.2.3. 無母數方法 11.2.3.無母數方法 無母數方法並不假設數據來自任何特定分配,許多都是根據排序而來. n units control group m units treatment group ：treatment has no effect ：otherwise 若虛無假設為真,則兩groups間之差異純粹來自“randomization” 將 , 放在一起排序 （假設沒有相等之值） 然後將control group 之rank 加在一起,若 太大或太小,則拒絕.

11.2.3. 無母數方法 Remark:以Rank分析的優點 (1)the results and invariant under any monotonic (前述之t-test則受transform 影響) (2)減低outlier 的effect! 欲尋找critical values that define the rejection region,需找出在虛無假設下檢定量之分配. 由於若虛無假設為真時,每種排列方式出現之機會都一樣.總共有(m+n)!排法. 針對每一種排法,都可求出一rank sum.再算出其和的分配.由1至m+n之總和為 ,所以知道一組之和即知道另一組和.

11.2.3. 無母數方法 附表 令R＝樣本小之和.(Sample 較少的那組的rank sum) 表中給出 之critical values.(少於此critical values的 ) 以parameter的想法: 若 , 則Wiilcoxon rank sum test is a test of the null hypothesis 原因是若 under ,m+n obs之任何排序機會相同. Remark:若有small number of ties,tied observations are assigned average ranks.The signifian levels are not greatly affected. Ex.冰塊熔解放熱之例. 附表

11.2.3. 無母數方法 表一 Mann-Whitney test 之推導 設 F G X和Y獨立.則考慮估計 所以在Table.8.(見表一)中,當m,n large時,其 critical value 可以 來逼近之. （Y的rank sums 的critical value.) 表一

11.2.3. 無母數方法 Let =the rank of in the combined sample. Then the # of can be expressed in terms of the rank sum of

11.2.3. 無母數方法 Thm:Under the null hypothesis Let <pf> r.v.

11.2.3. 無母數方法 ( 任三個i.i.d. r.v.’s任一個都有相同的機率 是為最小的那一個數) 各發生nm(m-1)及nm(n-1)次

11.2.3. 無母數方法 Remark:For m 10&n . The distribution of under is quite well approximated by a normal distribution ( the distribution of the rank sum of the X’s or Y’s may be approximated by a normal distribution. Because these rank sums differ from only by constant.) Coro: Let denote the sum of the m ranks of the Y’s. Then under :F=G.

11.3. Comparing Paired Samples 在前一節中,我們討論兩個independent samples之比較.但在許多實驗中,subjects常是以年齡或體重或情況嚴重程度來配對的.則其中之一subject.進入treatment group ,另一則進入control group.在生物實驗中,這些subjects所得samples為dependent.所以前述檢定並不適用. 設 為一組random pairs 取 為indep with Natural test of 為

11.3. Comparing Paired Samples <I>若{ },{ }為indep ,則 =0 <II>若X’s and Y’s為positively correlated. 則pairing 是一更有效率之實驗設計. <III>若X’s and Y’s 為negatively correlated 則pairing 是較差的. 在 之情形下,可將 表為 ( , ) 與X’s 及 Y’s 為indep 時,則相對效率之比為

11.3. Comparing Paired Samples 若P=0.5 ,則使用paired design with n pairs與用unpaired design with 2n subjects per treatment 之效率相同. 11.3.1 Methods based on the normal distribution 設 來自 , 令 for A two sided test of the null hyp. at level . Rejects if 若為大樣本,則即使原來分配並非normal 亦可用. 否則所宣稱之prob. levels有很大誤差.

11.3.1 Methods based on the normal distribution Platelet:A protoplasmic disk(原形質（似）的,圓盤狀組織),smaller than a red blood cell,found in the blood of vertebrates(脊椎) and thought to promote coagulation(凝結). Ex.欲瞭解抽煙對platelet(血小板）集結之情形. Levine(1973)由11人身上在抽煙前後分別抽血後測量他們血液中之platelet集結情形.Platelets對形成血液凝塊有影響.而已知抽煙者受到血液凝塊而導致生理疾病遠較不抽煙者為多.以下為前述之數據.Y為maximum percentage of all the platelets that aggregated after being exposed to a stimulates. (刺激) 表二 表三 註

11.3.2. A Nonparametric Method –The Signed Rank Test 統計量之計算如下： 1、Rank the absolute values of the differences. (For now assume no ties) 2、Restore the signs of the to the ranks and obtained the signed ranks. 3、Calculate W+ ,the sum of those ranks with positive sign. 想法：若沒有差異,則應該有約一半之 為正,一半為負.所以,W+太小或太大皆不適當.

11.3.2. A Nonparametric Method –The Signed Rank Test 之分配對0對移. ( 在members of pairs of exp units被隨機變數指定到treatment group 或 control group且treatment 沒有效應時為真) 欲找出一test at level 需在 下求W+之分配 Null dist.可由下列公式計算： 之分配相同.故對0對稱. 之第k大統計量為正或負之機會相同. Ex. 1 2 3 …… n 共有 次組合 + - - +……+ 每種機會相同 然後算出W+之可能性機率,見 表四

11.3.2. A Nonparametric Method –The Signed Rank Test Ex.Platelet aggregation W- =1 ,在 =0.01時為顯著 If the sample size ,there is a normal approximation to the null dist. 定理A：Under . 為indep and sym dist.about zero.

11.3.2. A Nonparametric Method –The Signed Rank Test <pf> 若 the largest has otherwise 因為 為independent Bernoulli 所以 We have 若有些 ,一般是丟棄那些觀測值,若有ties則將 指定為有ties之rank之平均值.若沒有太多ties. Sign level不會影響太大. 所以 For large n,

11.3.3. An Example-測量魚體中之水銀含量(Hg) Kacprzak and Chvojka (1976)比較兩種測量魚中水銀 的方法. 新方法-Selective reduction 現有方法-permanganate(過錳酸鹽) method 新方法之好處可同時測量無機水銀與含CH(甲醇)之水銀 表六 表七

11.4. Experimental Design 11.4.1. Mammary Artery Ligation (乳腺冠狀動脈結紮） (Cobb et al.1959)此種結紮方式曾經流行過一陣子 對照組與實驗組.病人及attending physicians均不知 Double-blind randomized controlled exp. 有冠狀動脈疾病的人,有於壓縮的動脈無法將足夠的氧氣送到心臟.因此常在做運動時,胸部會疼痛.乳腺冠狀動脈結紮曾流行一陣子.（主要想法即結紮乳腺動脈可迫使更多血液流向心臟）主要的好處是此種手術簡單方便.當病人進入手術房後,外科醫師完成手術前,並沒有將冠狀動脈結紮的指示,因此病人和醫師均不知是否做了結紮手術.此方法為double blind randomized controlled exp. Ratcliffe與Cobb研究結果的主要差異,Ratcliffe的實驗中並沒有control group.因此缺少banchmark無法比較此手術是否真能有效改善病症.Ratchiffe所報告的improvement可能是placebo effect.

11.4.2. The Placebo Effect 何謂Placebo effect Placebo effect:有時不完全是心理因素 Levine,Gordon and Fields(1978)之拔牙實驗. 在拔牙時給含硝酸及局部麻醉,在復原的房間將所經驗到的疼痛評分.手術後兩小時,給病人服下安慰劑,再將病評分一小時後,有些病人給安慰劑,有些給naloxone(一種嗎啡抑制劑)已知腦中有接受嗎啡的管道,而身體中亦含放出一種endorphine附在這些接收處.Naloxone則阻塞這些嗎啡通道.在這研究中發現原來對安慰劑有正面止痛效果的人,在接受Naloxone後,痛苦程度增到與對安慰劑沒反應的人一樣.他所代表的含意,即對placebo有反應的會生產endorphine.但此行動之後被naloxone所破壞.有控制組並不得證實驗成功,還需randomization. 何謂Placebo effect

11.4.3. The Lanarkshine Milk Experiment. “Randomization”之重要性 1930年春天 Lanarkshine England children -milk.(treatment group). -no milk.(control group).體重較重 <I>老師將營養不良的assigned 到treatment group <II>量體重時,穿著衣服. Late spring early spring or late winter 家境較好的,衣服穿的多且較重.

11.4.4. The Portocaval Shunt 表八 嗜酒的人容易肝臟硬化，以致血液不流通受到阻塞.引 起肝內血壓高到危險的水準.血管可能破裂，導致死亡. 外科醫生曾嘗試將portral的動脈(which feeds the liver)接到回流至心臟的主靜脈上.而減少流至肝臟 的血液.這種程序稱為portocaval shunt已被使用了 20年，直到Grace. Muench and Chalmers(1966)發表 了一篇有關檢驗此方法的文章。裡面包含了51個cases 被提出討論。將此51個cases所屬之設計分為三類。結 果為investigators結論亦有三類。（見 ） 由此結果，亦可看出randomization之重要。可避免一些 不自覺的偏差。 表八

本章完 The End.