专题一: 平衡类问题

专题解说 一.命题趋向与考点 物体的平衡、平衡条件及其运用历来是高考的热点，它不仅涉及力学中共点力平衡，还常常涉及带电粒子在电磁场或复合场中的运动平衡问题。近几年的高考题中有运用平衡条件进行判断的选择题，也有运用平衡条件结合其他知识进行求解的论述题。 1、在重力场中,物体在重力、弹力、摩擦力及其他力作用下，处于静止或匀速直线运动状态，求其中某些力的大小，特别是摩擦力求解较多。 2、在复合场中,带电粒子在重力或电场力、磁场力及其他力作用下，处于静止或匀速直线运动状态。 3、在复合场中,通电导体在重力和安培力及其他力作用下，处于静止或匀速直线运动状态，尤其是通电导体的动态平衡问题。

二.知识概要与方法 专题解说 1. 共点力作用下物体的平衡 2.物体平衡问题分类及解题思路 (1) 平衡条件：合外力为零, 即 F合=0 (2) 平衡条件的推论： 当物体处于平衡状态时,它所受的某一个力与它所受的其余力的合力大小相等,方向相反. (3) 三力汇交原理：物体在作用线共面的三个非平行力作用下,处于平衡状态时,这三个力的作用线交于一点. 2.物体平衡问题分类及解题思路 a．在重力场中的平衡 b．在电场、磁场中的平衡 (1)分类 c．在重力场、电场和磁场的复合场中的平衡 (2)解题思路： ⅰ.分析物体的受力特点； ⅱ.根据物体所处的状态列平衡方程求解。

专题解说 3.解平衡问题几种常见方法 (1)力的合成、分解法：对于三力平衡，一般根据“任意两个力的合力与第三力等大反向”的关系，借助三角函数、相似三角形等手段求解；或将某一个力分解到另外两个力的反方向上，得到这两个分力必与另外两个力等大、反向;对于多个力的平衡,利用先分解再合成的正交分解法。 (2)力汇交原理：如果一个物体受三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必有共点力。 (3)正交分解法：将各力分解到x轴上和y轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件(FX合=0,FY合=0)多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。值得注意的是，对x、y方向选择时，尽可能使落在x、y轴上的力多；被分解的力尽可能是已知力。

专题解说 (4)矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接恰好构成三角形,则这三个力的合力必为零,利用三角形法求得未知力. (5)对称法：利用物理学中存在的各种对称关系分析问题和处理问题的方法叫做对称法。在静力学中所研究对象有些具有对称性，模型的对称往往反映出物体或系统受力的对称性。解题中注意到这一点，会使解题过程简化。 (6)正弦定理法：三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。 (7)相似三角形法：利用力的三角形和线段三角形相似。

第一类:力学平衡问题： 专题聚焦 A、运动状态特征——静止或匀速直线运动（a=0） B、受力特征——F合=0（∑Fx=0， ∑Fy=0） 1.在重力、弹力、摩擦力作用下的平衡 α F N T f mg θ 例1.质量为m的物体置于动摩擦因数为μ的水平面上,现对它施加一个拉力,使它做匀速直线运动,问拉力与水平方向成多大夹角时这个力最小? 物体受到重力mg,支持力N,摩擦力f及拉力T的作用. 物体在水平面上滑动,则f=μN,将f和N合成,得合力F,由图知F与f的夹角:α=arcctg(f/N)=arcctgμ为定值,不管拉力T方向如何变化,F与水平方向的夹角α不变,即F为一个方向不发生改变的变力. 这显然属于三力平衡中的动态平衡问题,则当T与F互相垂直时,T有最小值,即当拉力与水平方向的夹角θ=900－arcctgμ=arctgμ时,使物体做匀速运动的拉力T最小. 解析:

专题聚焦 例2.(05天津) 如图所示,表面粗糙的固定斜面顶端安有滑轮,两物块P、Q用轻绳连接并跨过滑轮(不计滑轮的质量和摩擦),P悬于空中,Q放在斜面上,均处于静止状态.当用水平向左的恒力推Q时,P、Q仍静止不动,则 Ａ.Q受到的摩擦力一定变小 Ｂ.Q受到的摩擦力一定变大 Ｃ.轻绳上拉力一定变小　 Ｄ.轻绳上拉力一定不变 (D) 解析:分析P的受力,始终是重力Gp与绳的拉力 T相平衡,即T=Gp.而对于Q物体在沿斜面方向 上有绳的拉力大于、等于、小于下滑力的三 种起始情况，即起始摩擦力有大于零向上、大于零向下、等于零三种情况，因此在水平恒力作用时摩擦力增大、减小、不变的可能都存在。 P Q 说明:静摩擦力方向能够改变，数值也有一定的变动范围,滑动摩擦力虽有确定数值,但方向则随相对滑动的方向而改变,因此,讨论使物体维持某一状态所需的外力F的许可范围和大小是很重要的。

专题聚焦 例3.如图所示,一个重力为mg的小环套在竖直的半径为r的光滑大圆环上,一劲度系数为k,自然长度为L(L<2r)弹簧的一端固定在小环上,另一端固定在大圆环的最高点A.当小环静止时,略去弹簧的自重和小环与大圆环间的摩擦.求弹簧与竖直方向之间的夹角φ. A m O φ 小环受重力mg、大圆环的支持力N、弹簧的拉力F的作用,显然, 解: ф 2ф x y N F mg 运用正交分解法 解得 请练习用相似比法求解: 力F、N、mg构成首尾相连的三角形,与三角形AOm相似,对应边成比例.

专题聚焦 2．在电场、磁场力作用下的平衡 例4.(05上海)如图，带电量为+q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心．若图中a点处的电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小为＿ ，方向＿ ＿．(静电力恒量为k) 水平向左(或垂直薄板向左) 例5.(03春季)如图所示,在oxyz坐标系所在的空间中,可能存在匀强电场或磁场,也可能两者都存在或都不存在.但如果两者都存在,已知磁场平行于xy平面.现有一质量为m带正电q的点电荷沿z轴正方向射入此空间中,发现它做速度为v0的匀速直线运动.若不计重力,试写出电场和磁场的分布有哪几种可能性.要求对每一种可能性,都要说出其中能存在的关系.不要求推导或说明理由。

专题聚焦 解答：由题设知带正电的粒子以速度V0沿Z轴正方向做匀速运动,则以E和B分别表示电场强度和磁感强度,(不计电荷重力）有以下几种可能： （2）E＝0，B≠0。 B的方向与z轴的正方向平行或反向平行。B的大小可任意。 （3）E≠0，B≠0。磁场方向可在平行于xy平面的任何方向。电场E 方向平行于xy平面，并与B的方向垂直。 当迎着z轴正方向看时，由B的方向沿顺时针转90°后就是E的方向 E和B的大小可取满足关系式 的任何值。

专题聚焦 3．电磁感应中的动态平衡 例6.(04北京)如图所示,两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上,两导轨间距为L0、M、P两点间接有阻值为R的电阻.一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上,并与导轨垂直.整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直斜面向下,导轨和金属杆的电阻可忽略.让ab杆沿导轨由静止开始下滑,导轨和金属杆接触良好,不计它们之间的摩擦. (1)由b向a方向看到的装置如图2所示,请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图； (2)在加速下滑过程中,当ab杆的速度 大小为v时,求此时ab杆中的电流及其加 速度的大小； (3)求在下滑过程中,ab杆可以达到 的速度最大值。 M R P a b B N Q L θ

专题聚焦 解答:（1） 重力mg，竖直向下;支持力N，垂直斜面向上;安培力F，沿斜面向上 R P a b B N Q L θ 解答:（1） 重力mg，竖直向下;支持力N，垂直斜面向上;安培力F，沿斜面向上 （2）当ab杆速度为v时，感应电动势E=BLv,此时电路电流 N F mg B b θ ab杆受到安培力 根据牛顿运动定律,有: 时，ab杆达到最大速度vm, （3）当

专题聚焦 例7.(01浙江)电磁流量计广泛应用于测量可导电流体(如污水)在管中的流量(在单位时间内通过管内横截面的流体的体积).为了简化,假设流量计是如图所示的横截面为长方形的一段管道,其中空部分的长、宽、高分别为图中的a、b、c,流量计的两端与输送液体的管道相连接(图中虚线).图中流量计的上下两面是金属材料,前后两面是绝缘材料,现于流量计所在处加磁感强度为B的匀强磁场,磁场方向垂直于前后两面.当导电液体稳定地流经流量计时,在管外将流量计上、下两表面分别与一串接了电阻R的电流表的两端连接,I表示测得的电流值.已知流体的电阻率为ρ,不计电流表的内阻,则可求得流量为 A． B． C． D．

专题聚焦 A． B． C． D． 解析:带电粒子在磁场中运动,受洛伦兹力而偏转至上下极板,从而在上下极板间产生电势差,相当于一个电源.达到稳定状态后,带电粒子受洛伦兹力和电场力的作用而做匀速运动,则 qvB=Eq=Uq/c, 流量Q=vS=vbc, （A） 由以上三式得Q=

专题聚焦 4．动静穿插的平衡问题 例8．如图所示,质量为M的木箱放在水平面上,木箱中的立杆上套着一个质量为m的小球,开始时小球在杆的顶端,由静止释放后,小球沿杆下滑的加速度为a=g/2,则小球在下滑的过程中,木箱对地面的压力为多少？ M m a 取小球m为研究对象，受重力mg、摩擦力Ff，据牛顿第二定律得：mg-Ff=ma ① 解: 取木箱M为研究对象，受重力Mg、地面支持力FN及小球给予的摩擦力Ff′如图据物体平衡条件得：FN-Ff′-Mg=0② 且Ff=Ff′③ 由①②③式得FN= g 由牛三定律得木箱对地面的压力大小为FN′=FN= g

(ACD) 第二类:电磁学平衡问题 专题聚焦 （1）电桥平衡 （2）静电平衡 R2 R1 ε R R3 R4 若没有R，则R1和R2串联后与R3和R4串联后再并联,设通过R1的电流为I1，通过R3的电流I2,则有：I1R1=I2R3，I1R2=I2R4, 则R两端电势差为0所以R中的电流为0，即电桥平衡。 （2）静电平衡 例8 如图所示,水平放置的金属板正上方有一固定的正点电荷Q,一表面绝缘的带电的小球(可视为质点且不影响Q的电场),从左端以初速度v0滑上金属板,沿光滑的上表面向右运动到右端,在该运动过程中 A.小球做匀速直线运动 B.小球做先减速，后加速运动 C.小球的电势能保持不变 D.电场力对小球所做的功为零 (ACD) 解:水平放置的金属板处于点电荷Q的电场中而达到静电平衡状态,是一个等势体,表面处电场线处处与表面垂直,带电小球(表面绝缘,电量不变)在导体表面滑动时,电场力不做功,故小球做匀速直线运动，所以A、C、D选项正确.

专题聚焦 第三类:热平衡问题 例9.家用电热灭蚊器中电热部分的主要元件是PTC,PTC元件是由钛酸钡等半导体材料制成的用电器，其电阻率与温度的关系如图所示，由于这种特性，因此，PTC元件具有发热、控温双重功能，对此．以下判断中正确的是 （ ） A.通电后，其电功率先增大后减小 B.通电后，其电功率先减小后增大 C.当其产生的热量与散发的热量相等时， 温度保持在t1或t2不变 当其产生的热量与散发的热量相等时， 温度保持在tl—t2的某一值不变. t/ ℃ t1 t2 ρ

专题聚焦 分析:通电后应认为电压U不变。随着温度的升高，在（0～t1）范围内，电阻率随温度的升高而减小，因此电阻减小，电功率增大，驱蚊器温度持续上升；在（t1～t2） t/ ℃ t1 t2 ρ 范围内，电阻率随温度的升高而增大，因此电阻增大，电功率减小。当电热器产生的热与向外散发的热平衡时，温度、电阻、电功率都稳定在某一值。 结论:功率变化是先增大后减小，最后稳定在某一值。这时温度应在t1～t2间。 (AD)

专题聚焦 第四类:力矩平衡问题 (N)的由轻绳悬挂于墙上的小球,搁在轻质斜板上,斜板搁于墙角.不计一切摩擦,球和板静止于图所示位置时,图中α角均为300.求:悬线中张力和小球受到的斜板的支持力各多大?小球与斜板接触点应在板上何处?板两端所受压力多大?(假设小球在板上任何位置时,图中α角均不变) 例10.重 A B α 解析:设球与板的相互作用力为N，绳对球的拉力为T， 则对球有Tcosα=Gsinα，Tsinα＋N=Gcosα,可得 T=100N,N=100N.球对板的作用力N、板两端所受 的弹力NA和NB,板在这三个力作用下静止,则 该三个力为共点力,据此可求得球距A端距离x=ABsin2α=AB/4,即球与板接触点在板上距A端距离为板长的1/4处.对板,以A端为转动轴,有NBABsinα=NX,对板,以B端为转动轴,有NAABcosα=N(AB－X). 可得 NB=50N

专题聚焦 例11.(04上海)有人设计了一种新型伸缩拉杆秤.结构如图,秤杆的一端固定一配重物并悬一挂钩,秤杆外面套有内外两个套筒,套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所在位置(设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置),秤杆与内层套筒上刻有质量刻度.空载(挂钩上不挂物体,且套筒未拉出)时,用手提起秤纽,杆秤恰好平衡,当物体挂在挂钩上时,往外移动内外套筒待测物体的质量.已知秤杆和两个套筒的长度均为16cm,套筒可移出的最大距离为15cm,秤纽到挂钩的距离为2cm,两个套筒的质量均为0.1kg.取重力加速度g=10m/s2， (1)当杆秤空载平衡时,秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩; (2)当在秤钩上挂一物体时,将内套筒向 右移动5cm,外套筒相对内套筒向右移 动8cm,杆秤达到平衡,物体的质量多大? (3)若外层套筒不慎丢失,在称某一物体 时,内层套筒的左端在读数为1千克处 杆秤恰好平衡,则该物体实际质量多大? 秤杆 秤纽 挂钩 配重物 内套筒 外套筒

专题聚焦 解析:(1)套筒不拉出时杆秤恰好平衡，此时两套筒的重力相对秤纽的力矩与所求的合力矩相等， 设套筒长度为L，合力矩 (2)力矩平衡 秤杆 秤纽 挂钩 配重物 内套筒 外套筒 解析:(1)套筒不拉出时杆秤恰好平衡，此时两套筒的重力相对秤纽的力矩与所求的合力矩相等， 设套筒长度为L，合力矩 (2)力矩平衡 (3)正常称衡1kg重物时,内外两个套筒可一起向外拉出x/,力矩平衡 外层套筒丢失后称物,此时内套筒左端离秤纽距离为 x/-d=0.08m, 力矩平衡

专题小结 解决力的平衡问题应注意以下几点： 1、选择研究对象，并隔离进行受力分析： 重力 弹力 摩擦力 其他：电场力、磁场力 2、建立直角坐标，由平衡条件列平衡方程； 3、判断多个力作用下物体是否处于平衡状态： （1）根据物体所处状态确定：静止或匀速直线运动 （2）根据物体所受各力的合力为零进行判断。 4、物体处于平衡状态是有条件的、相对的，物体一旦失去平衡条件，物体的平衡即被破坏。

专题小结 G=mg 力学 F弹=kx 共点力平衡条件 F动=μFN，0<F静<Fm 平衡 F安=BIL 电磁学 F洛=qvB F电=Eq,F库=kq1q2/r2 F安=BIL 电磁学 F洛=qvB

专题训练 1. （03全国）如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨过碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=600。两小球的质量比 为 m1 m2 O A. B. C. D. [ A ]

专题训练 2、（04广东广西）用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中,如图所示。已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为300和600，则ac绳和bc绳中的拉力分别为 A． B． C． D． [ A ]

[ D ] 专题训练 A．l2＞l1 B．l4＞l3 C．l1＞l3 D．l2＝l4 3.（04全国2）如图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情况各不相同：①中弹簧的左端固定在墙上，②中弹簧的左端受大小也为F的拉力作用，③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动，④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动。若认为弹簧的质量都为零，以l1、l2、l3、l4依次表示四个弹簧的伸长量，则有 Ｆ F ① ② ③ ④ [ D ] A．l2＞l1 B．l4＞l3 C．l1＞l3 D．l2＝l4

专题训练 4．（05辽宁）两光滑平板MO、NO构成一具有固定夹角θ0=750的V形槽，一球置于槽内，用θ表示NO板与水平面之间的夹角，如图所示。若球对板NO压力的大小正好等于球所受重力的大小，则下列θ值中哪个是正确的？ A．150 B．300 C．450 D．600 [ B ]

专题训练 5.(2004江苏)如图所示,半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内,两个轻质小圆环套在大圆环上,一根轻质长绳穿过两个小圆环,它的两端都系上质量为M的重物,忽略小圆环的大小.(1)将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=300的位置上(如图).在两个小圆环间的绳子的中点C处,挂上一个质量M=⇃2m的重物,使两个小圆环间的绳子水平, C R O m θ 然后无初速释放重物M,设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略,求重物M下降的最大距离.(2)若不挂重物M，小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态？

专题训练 【解】(1)重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度为零时，下降的距离最大．设下降的最大距离为h，由机械能守恒定律得: 解得 m O C θ R N T mg α 解得 （另解h=0舍去） (2)系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为: a．两小环同时位于大圆环的底端． b．两小环同时位于大圆环的顶端． c．两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端． d．除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则

专题训练 m O C θ R N T mg α 两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称．设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧α角的位置上(如图所示)．对于重物m，受绳子拉力T与重力mg作用，有:T=mg 对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳子的拉力T、竖直绳子的拉力T、大圆环的支持力N.两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反 Tsinα=Tsinα/ 得α=α/, 而α＋α/=900，所以α=450。

专题训练 6.（05吉林）在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系Oxyz（z轴正方向竖直向上），如图所示。已知电场方向沿z轴正方向，场强大小为E；磁场方向沿y轴正方向，磁感应强度的大小为B；重力加速度为g。问：一质量为m、带电量为+q的从原点出发的质点能否在坐标轴（x，y，z）上以速度v做匀速运动？若能，m、q、E、B、v及g应满足怎样的关系？若不能，说明理由。 解：能 第一种情况：mg>qE,由平衡条件知洛仑兹力f 沿z轴正向，粒子以v沿x轴正向运动由匀速运动易知其条件是：mg－qE=qvB x y z O 第二种情况：mg<qE,则f沿z轴负方向 ，粒子以v沿x轴负向运动，由匀速运动知条件是：qE－mg=qvB

专题训练 7.（04天津）磁流体发电是一种新型发电方式，图1和图2是其工作原理示意图。图1中的长方体是发电导管，其中空部分的长、高、宽分别为L、a、b，前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可略的导体电极，这两个电极与负载电阻R1相连。整个发电导管处于图2中磁场线圈产生的匀强磁场里，磁感应强度为B，方向如图所示。发电导管内有电阻率为ρ的高温、高速电离气体沿导管向右流动，并通过专用管道导出。由于运动的电离气体受到磁场作用，产生了电动势。发电导管内电离气体流速随磁场有无而不同。设发电导管内电离气体流速处处相同，且不存在磁场时电离气体流速为v0，电离气体所受摩擦阻力总与流速成正比，发电导管两端的电离气体压强差Δp维持恒定，求： (1)不存在磁场时电离气体所受的摩擦阻力F多大； (2)磁流体发电机的电动势E的大小； (3)磁流体发电机发 电导管的输入功率P。

专题训练 解 : （1）不存在磁场时，由力的平衡得 （2）设磁场存在时的气体流速为v，则磁流体发电机的电动势E=Bav 回路中的电流 电流I受到的安培力 设F/为存在磁场时的摩擦阻力，依题意 存在磁场时，由力的平衡得

专题训练 根据上述各式解得 （3）磁流体发电机发电导管的输入功率 由能量守恒定律得 故