相似三角形的對應關係與作圖 利用相似三角形作簡易測量 自我評量

在上一節中，我們用AAA、AA、SAS、SSS等性質來判別兩個三角形是否相似。以下則進一步探討，兩相似三角形的對應邊與對應高、對應角平分線、對應中線之間的關係，及對應邊與面積的關係。

1相似三角形對應邊的比＝對應高的比 如圖，△ABC∼△A'B'C' ，且 於D點， 於D 點，試說明 ： ＝ ： 。 搭配習作P13基礎題 1 1相似三角形對應邊的比＝對應高的比 如圖，△ABC∼△A'B'C' ，且 於D點， 於D 點，試說明 ： ＝ ： 。

說明 (1)∵△ABC∼△A'B'C'， ∴∠B＝∠B'， ： ＝ ： ---- (2)∵ 且 ， ∴∠ADB＝∠A'D'B'＝90° 故△ABD∼△A'B'D'（AA 相似） ： ＝ ： ------  (3)由式、式知： ： ＝ ：

1.如圖，△ABC∼△A'B'C'， 平分∠BAC，交 於T 點， 平分∠B'A'C'，交 於 T' 點，試說明： (1)△ABT∼△A'B'T '。 (2) ： ＝ ： 。

∵△ABC∼△B'D'C' ∴∠B＝∠B'，∠A＝∠A'， 故∠BAT＝ ∠A＝ ∠A'＝∠B'A'T ' 則△ABT∼△A'B'T '（AA 相似） ： ＝ ：

2.如圖，△ABC∼△A'B'C'， 為 中線， 為 中線，試說明： (1) △ABM∼△A'B'M'。 (2) ： ＝ ： 。

∵△ABC∼△A'B'C' ∴∠B＝∠B'， ： ＝ ： 又 ： 為中線 ∴ ： ＝ ： 故△ABM∼△A'B'M'（SAS 相似） ： ＝ ：

由例題1與隨堂練習可得： 兩個相似三角形， 對應邊的比＝對應高的比＝對應角平分線的比＝對應中線的比。

如圖，△ABC∼△A'B'C'， ， ， 試說明△ABC：△ A'B'C' ＝ ： 。 2相似三角形面積的比＝對應邊的平方比 搭配習作P13基礎題 1 2相似三角形面積的比＝對應邊的平方比 如圖，△ABC∼△A'B'C'， ， ， 試說明△ABC：△ A'B'C' ＝ ： 。

說明 （對應高的比等於對應邊的比） ∴△ABC：△A'B'C'＝ ：

由例題2可知：△ABC：△A'B'C'＝ ： 。 同理可得△ABC：△A'B'C' ＝ ： ； △ABC：△A'B'C'＝ ： ， ∴△ABC：△A'B'C'＝ ： ＝ ： ＝ ： 。 由上可知： 兩個相似三角形，面積的比＝對應邊的平方比。

1.如右圖，平行四邊形ABCD 中， ＝ ，試求△EMD：△CMB 的比值。

∵ ＝ ，∴ ＝ 又ABCD 為平行四邊形∴ // 故∠1＝∠2，∠3＝∠4， 則△EMD∼△CMB（AA 相似） △EMD：△CMB＝ ： ＝( )2： ＝4：9 故比值＝

2.如右圖，平行四邊形ABCD中，若E為 中 點， 、 交於F 點，回答下列問題： (1)試證△FCE △ADE。 (2)試求△ABF：△ADE 的比值。

(1)在△FCE 與△ADE中 ∵∠1＝∠F，∠2＝∠3， ＝ ， ∴△FCE △ADE（AAS） (2)∵ // ，∴△FEC∼△FAB 又 ＝ ＝ ， ∴ ＝2 △ABF：△ADE ＝△ABF：△FCE ＝ ： ＝4：1 故比值＝4

我們利用方格紙簡單的製作放大圖（縮小圖），即可作出相似形。但沒有方格紙的情形下，該如何做出簡單的相似形呢？

如右圖，已知△ABC 及其內部一點O，回答下列問題： (1)用尺規依下面作法完成作圖。 3相似三角形的尺規作圖 搭配習作 P14 基礎題 2 如右圖，已知△ABC 及其內部一點O，回答下列問題： (1)用尺規依下面作法完成作圖。 作法 連接 ，並在 上取一點P，使 ＝2 。 連接 ，並在 上取一點Q，使 ＝2 。 連接 ，並在 上取一點R，使 ＝2 。 連接 、 、 ，得△PQR。 (2)試證△ABC∼△PQR。

作圖

說明 ∵∠AOB＝∠POQ， ： ＝ ： ＝1：2， ∴△OAB∼△OPQ(SAS相似)， 同理，△OBC∼△OQR， ， △OAC∼△OPR， 。 由上可知： ， ∴△ABC∼△PQR(SSS 相似) ＝

如下圖，已知△ABC 及其外部一點O，回答下列問題： (1)用尺規依下面作法完成作圖。 連接 ，並在 上取一點P，使 ＝2 。 連接 ，並在 上取一點Q，使 ＝2 。 連接 ，並在 上取一點R，使 ＝2 。 連接 、 、 ，得△PQR。

(2)若△ABC 的面積＝17，試求△PQR 的面積。 ＝12：22＝1：4 ∴△PQR＝17 × 4＝68

如右圖，湖邊有A、B 兩點，志明想知道它們之間的距離。首先他在湖邊的空地找另一點C，並測得 搭配習作 P15 基礎題 3 4 測量湖寬 如右圖，湖邊有A、B 兩點，志明想知道它們之間的距離。首先他在湖邊的空地找另一點C，並測得 ＝75 公尺， ＝25 公尺， ＝90公尺， ＝30公尺， ＝28公尺，試求A、B兩點的距離。

在△ABC 與△MNC 中， ∵ ： ＝ ： ＝3：1， 且∠ACB＝∠MCN， ∴△ABC∼△MNC（SAS 相似）， ： ＝ ： 解 在△ABC 與△MNC 中， ∵ ： ＝ ： ＝3：1， 且∠ACB＝∠MCN， ∴△ABC∼△MNC（SAS 相似）， ： ＝ ： ：28＝3：1 ＝28．3＝84 故A、B 兩點的距離為84公尺。

如右圖，宜君想知道湖邊A 點到湖中小島B 點的距離，她在湖邊找了一點C，並測得 ＝24 公尺， ＝8 公尺， ＝6 公尺， // ，試求A、B兩點的距離。 ∵ // ∴ ： ＝ ： 8：24＝6： ＝18（公尺）

5 測量樹高 如右圖，心怡想要測量樹高 ，她在樹前7.5公尺的C點立了一根1公尺長的標竿 ，且 的延長線與 的延長線交於E點，又測得 ＝9公尺，試求樹高 。

解 ∵ 與 皆垂直於 ， ∴ // 。 ： ＝ ： ：1＝9：（9－7.5）＝9：1.5 ＝6 故樹高 ＝6 公尺。

如圖，志豪想要測量樹高 ，他在樹前5公尺的 D 點豎立了一根長1 如圖，志豪想要測量樹高 ，他在樹前5公尺的 D 點豎立了一根長1.8公尺的木棍，並從木棍後方2公尺的觀測點E，觀察到木棍的頂端與樹梢成一直線，已知E點至地面的高度 為1公尺，試求樹高 。

∵ // ∴ ： ＝ ： 2：（2＋5）＝（1.8－1）： ＝2.8 故 ＝2.8＋1 ＝3.8（公尺）

1.兩個相似三角形之間的關係： 兩個相似三角形中， 、 分別為△ABC、△A'B'C'的高， 、 分別為△ABC、△A'B'C'的角平分線， 則 ： ＝ ： ＝ ： ＝ ： 。

圖 1-24

(2)面積的比＝對應邊的平方比。 如圖 1-25，△ABC∼△A'B'C'， 則△ABC面積：△A'B'C'面積＝ 2： 2。 圖 1-25 2.現實生活中，無法直接求得的距離或長度，常利用相似三角形作簡易測量。

1. 如圖，△ABC∼△DEF，已知△ABC的周長為 20，△DEF的周長為60，則： (1) ： ＝______：_______ 1-3 自我評量 1. 如圖，△ABC∼△DEF，已知△ABC的周長為 20，△DEF的周長為60，則： (1) ： ＝______：_______ (2)（ ＋ ）：（ ＋ ） ＝_______：_______ (3) △ABC 的面積：△DEF 的面積 1 3 1 3 1 9

2.如右圖，△ABC 中，D、E分別為 、 的中點，若△ABC 的面積為16平方公分，試求△ADE 的面積。 ∵D、E 分別為 AB、AC 的中點 ∴ // ， ＝ 且△ADE∼△ABC 故△ADE：△ABC ＝ 2： 2 ＝（ ）2 ： 2 ＝ ：1 ∴△ADE＝ △ABC＝4（平方公分）

3.如下圖，請在 、 、 上取 A'、B'、C' ，使△A'B'C'∼△ABC，且 ＝2 。（只要作圖，不必寫出作法）

7. 如圖，忠明在地上放了一面鏡子（C 點），透過鏡子的反射，他可以看見樹梢（即∠1＝∠2）。已知忠明與鏡子的距離 ＝1 7.如圖，忠明在地上放了一面鏡子（C 點），透過鏡子的反射，他可以看見樹梢（即∠1＝∠2）。已知忠明與鏡子的距離 ＝1.2公尺，鏡子與樹的距離 ＝6公尺，且忠明眼睛（E點）離地面的高度 ＝150公分，試求樹高 。

∵∠EDC＝90°＝∠ABC，∠1＝∠2， ∴△EDC∼△ABC（AA 相似） ： ＝ ： 120：600＝150： ＝750（公分）

確實的高度。於是命令祭司們去丈量，但是祭司們卻束手無策，國王只好以巨額懸賞徵求能人高手前來揭開這個難題。 推理的妙用 相傳兩千六百多年前， 法老王阿美西斯（Amasis） 很想知道金字塔（如圖1-19） 確實的高度。於是命令祭司們去丈量，但是祭司們卻束手無策，國王只好以巨額懸賞徵求能人高手前來揭開這個難題。 圖1-26

這時希臘數學家泰勒斯（Thales of Miletus，西元前六、七世紀）正好看到了國王的告示，便燃起挑戰的壯志。他試了幾種方法，還是行不通；然而他並不氣餒。有一天，他走在路上苦思對策，炙熱的太陽照著他孤獨的身體，正當他低下頭時，注意到影子一直跟著自己，而且影子隨著太陽升起愈來愈短，終於觸動了他的靈感，喃喃自語：「在一天之中，一定有一個

時間，身高與影子的長度相等，這時候金字塔的高度與它的影子也會相等。」泰勒斯終於利用推理的方法解決了金字塔高度的問題。 泰勒斯如何解決這個問題呢？如圖1-27，藍線表示太陽光線，人與金字塔分別垂直於地面，因為可視太陽光線為平行，所以△ABC∼△DEF（AA 相似），

，即金字塔的高度與金字塔的影子長度相等。 因此當人的身高與影子的長度相等時（ ＝ ），由 ： ＝ ： 可知 ＝ ，即金字塔的高度與金字塔的影子長度相等。 圖1-27