從尺規作圖開始談幾何有感的教學 潭秀國中陳勝楠老師
一: 前言:觀念分享(從CA身上學到，CA語錄) 老師的角色:(帶領學生) 希望陪學生看到什麼?感受什麼? 而不是證明正確的理論給學生看 (感覺是重要的，讓學生有感) 師生關係
老師看待學生學數學的看法 所有的數學原本都是具象的，但每次都要能看 到再算會變慢，為了要算的快，才會變抽象。 PS:兩者都要，快且要知道自己在做什麼 (要帶領學生走趟思考歷程) (要習慣停下來，發問學生)
不要急著把過度簡化的知識交給學生，先講複雜的但要有感才能看的到全貌，學起來反而簡單
解題教學不是無意義的以解出答案為目的，而是一連串的對觀念再度釐清，再次經歷一次歷程(常以會考題做示範) (指導語)
直觀，有意義的知識才能用於未來(想不到找CA，梅仙學習單，生根團隊，沒有慧根就要會跟)
是否有充分利用疑問句 要做什麼，請他做什麼 是否有充分時間給學生，是否自己直接講，喪失了選擇，判斷的能力訓練。 (常走下講台，就會習慣了)
直觀，有意義的知 識才能用於未來 例如:用表格呈現 比例(相似形的計算) 比呈現項目和項目 的關係 2 3 4 10 X Y
二:拉直，直線的有感覺教法 同時說明疊合法
利用下表，在不用測量情況下，比較長短，及如何比較。(潭秀國中共備團隊)
三:回到尺規作圖 尺的意思: 尺的功用
我們是怎麼把「直線」畫出來的呢? 用什麼工具? 什麼是A、B兩點的「最短距離」？為什 麼這就是「最短距離」呢？如何說明呢
(2)利用直尺將下邊的圖形做精準的複製，好處理嗎?(不必急著下結論，讓學生自己畫，自己下結論)
直尺畫直線很好用，但用刻度測量會有誤差，做重複性的複製長度更麻煩(圓規代替尺的刻度很自然的跑進來了) 圓規可以用來做什麼? 當你拿圓規時，你的核心是決定 圓心這個點在哪裡 直尺畫直線很好用，但用刻度測量會有誤差，做重複性的複製長度更麻煩(圓規代替尺的刻度很自然的跑進來了)
一定要練習畫，你會發現 不是所有學生都會用圓規 如何畫圓 學生實際畫一個圓 一定要練習畫，你會發現 不是所有學生都會用圓規
畫圓意義為何 圓心------固定一點 (當圓心亂動時，圓會如何?) 半徑------取所需的長度(例如:想要AB線段長 度，量半徑有測量嗎?) 圓即代表所有要複製長度的可能位置 不畫圓畫弧即是標示可能位置
拿出一元，拿出10元你覺得看圓的大小，你的感受是半徑麼. 你量量看1圓多大，10圓多大. 面積大小的感覺呢 拿出一元，拿出10元你覺得看圓的大小，你的感受是半徑麼? 你量量看1圓多大，10圓多大? 面積大小的感覺呢?(可放在相似形面積比等於邊長平方比)
能很快的畫出一個等腰三角形嗎 為什麼?
在一張正方形紙上如何不用圓規畫一個圓?
討論輪子為什麼是圓? 如果不是圓呢
圓規最主要的功能:從 這一點到另一點複製一 個線段 圓規除了畫圓外?
拿到圓規，先決定圓心 複製一條線段時，半徑如何? 先畫線，在畫圓 先畫圓，在畫線
線段和: 先畫一條直線L， 其上取一點E(為什麼?) 複製線段和，線段差 線段和: 先畫一條直線L， 其上取一點E(為什麼?)
請利用尺規作圖做長度複製，「複製」出下面這些圖形，並說明你是怎麼做到的？
課本隨堂練習 給定兩個長度做一個等腰三角形
課本自我評量 給定一個長度做正三角形
請利用尺規作圖做長度複製，「複製」出下面這些圖形，並說明你是怎麼做到的？
出現trouble? 怎麼辦? 討論吧 有解決方法麼? 實作吧
另一個角度思考，這條隱形 的對角線也撐住角的兩邊(要 為後面的東西鋪呈) 要透過隱形的對角線幫忙固定住
形是靠距離固定的，有些距離是有形，有些是無形的 瓶子變形，透過捏改變了某些點之 間的距離 形是靠距離固定的，有些距離是有形，有些是無形的
比較下面這兩個角的大小，我們可以這樣說嗎？ □可以 □不可以 因為 a 撐開的長度 大過 b 撐開的長度， □可以 □不可以 因為 a 撐開的長度 大過 b 撐開的長度， 就說 左邊的角 比 右邊的角 還要大！(來自 梅仙學習單) b a
角的大小，可以從角被撐開的長度來比出來 但是得先說好，從這一邊的a開始撐開，撐到角的另一邊的b c d
想想看！下面這種更簡單的撐開方式是怎麼畫的呢？ 和上面的方法做比較，有何不同？ a e f
角度是靠長度幫忙固定住的
除了尺規作圖外，還可應用到樞紐定理
先決定撐開角的兩邊的水平位置 (2)再決定撐開角的兩邊的高度大小 (1) 請使用圓規複製出下面這個角 先決定撐開角的兩邊的水平位置 (2)再決定撐開角的兩邊的高度大小
請利用下面兩個角度畫出10度角和90度角 角的和和差
在利用尺規作圖複製角度的教學上，再利用扣條，又可以帶進三角形的全等條件
什麼叫全等(一模一樣，怎麼才是 一模一樣?) 給你兩個邊，能做出全等麼? 要加哪一個條件(sss,sas,ssa的教學 就呼之欲出了)(ssa，分是鈍角還是 銳角討論，鈍角抓不住) 三角形全等(扣條的協助)
三:三角形的全等 利用扣條做一個三角形， 目的:複製一個一模一樣的三角形 方法:給定兩個扣條，讓此兩個扣條的夾角與原圖相同. 第三邊拿來檢驗
給定已知線段8公分，分別畫半徑2 公分，4公分，6公分的圓 感受半徑要多大，才會有兩個交點 垂直平分線作圖
分別以E，F為圓心，大 於 1 2 𝐸𝐹 的相同半徑畫圓 (知道為什麼，感受感 覺) 感受交點連線的位置
觀察兩交點連線，了解相同半徑畫圓的意義
如何用扣條去感受對角線的情況，如何決定四邊形 工具:扣條，橡皮筋 如何用扣條去感受對角線的情況，如何決定四邊形
在2-3時用對稱說明 在4-3時要學會用全等來解釋
角平分線作圖(要利用中垂線作圖的筝形，利用對稱的概念產生角平分線，推導出角平分線作圖)
利用問句，推導作圖過程
能很快的畫出一個等腰三角形嗎 為什麼?
等腰三角形剪下來對摺 觀察
線外一點做垂線
延伸 得知過圓內任意弦的中垂線必過圓心
用相同的概念，以P點為圓心畫一個圓，個人覺得畫圓比畫弧更清楚
過線上一點作垂線
在A4紙上畫出一個三角形ABC 過A點作高(尺規作圖) 再利用對摺 三角形內角和180度 在A4紙上畫出一個三角形ABC 過A點作高(尺規作圖) 再利用對摺
以三角形三點為圓心，相同半徑畫圓， 剪下來 三角形內角和180度 以三角形三點為圓心，相同半徑畫圓， 剪下來
補充球面三角形內角和大於180(利用籃球) 補充馬鞍面三角形內角和小於 180度
補充球面的形成 補充馬鞍面的形成(有感覺就 好)
什麼叫全等(一模一樣，怎麼才 是一模一樣?) 給你兩個邊，能做出全等麼? 要加哪一個條件(sss,sas,ssa的教 學就呼之欲出了) 三角形全等(扣條的協助)
三:三角形的全等 利用扣條做一個三角形， 目的:複製一個一模一樣的三角形 方法:給定兩個扣條，讓此兩個扣條的夾角與原圖相同. 第三邊拿來檢驗
ASA的扣條教學 把相同的邊S當底邊 1.兩側夾邊長度與原先三角形一樣 2.如果兩側夾邊長度與原先三角形不一樣，觀察兩夾邊的交點位置
角平分線作圖
也可以從任意三角形的任意角 從摺紙去釐清角平分線上任一 點到角的兩邊距離相等 從直角三角形摺紙去感受角平分線定理 也可以從任意三角形的任意角 從摺紙去釐清角平分線上任一 點到角的兩邊距離相等
利用扣環 感覺第三邊範圍
利用扣環 感覺大邊對大角 直角三角形: 𝑎 2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 鈍角三角形: 𝑎 2 + 𝑏 2 < 𝑐 2 銳角三角形: 𝑎 2 + 𝑏 2 > 𝑐 2
關於大邊對大角，我們可以這樣說嗎？ □可以 □不可以 因為 a 撐開的長度 大過 b 撐開的長度， 就說 左邊的角 比 右邊的角 還要大！ □可以 □不可以 因為 a 撐開的長度 大過 b 撐開的長度， 就說 左邊的角 比 右邊的角 還要大！ (樞紐定理為何需要角的兩邊相等) b a
角的大小，可以從角被撐開的長度來比出來 但是得先說好，從這一邊的a開始撐開，撐到角的另一邊的b，當角的兩邊被固定住了，這時這兩個三角形才可利用角度大小來比較長度 c d
要摺斜的，順便可以說明 同側內角 釐清距離處處相等的觀念 利用A4紙摺出兩條平行線 要摺斜的，順便可以說明 同側內角 釐清距離處處相等的觀念
利用兩個全等的梯形來說明內錯角相等
利用摺紙折成多條平行線，用量長度的方法感受利用平行線可以形成等面積不同形狀
將A4紙折成平行四邊形， 寫下來你覺得平行四邊形的特性，請多組上台寫，釐清基本性質
利用測量長度，了解長度特性，包含對角線互相平分 利用對角線剪下三角形，利用全 等，看出對角相等的特性 利用測量長度，了解長度特性，包含對角線互相平分
利用A4紙，利用對角線互相平分剪出平行四邊形
交點在中點，為什麼是平行 四邊形? 不同長度的兩對角線
利用A4紙，利用對角線互相垂直平分剪出菱形
將A4紙折成一半，形成長方形，寫出長方形的特性
相同長度的兩對角線
兩條平行線段，長度一樣，長度不一樣 平行四邊形，梯形
兩條繩子，如何做出長方形，正方形，等腰梯形，菱形 鳶形?
先將A4紙折成等分平行線，在其上畫任一直線，測量是否等長?
利用平行線等分線段應用， 如何把繩子分成五等分 第五冊第一章 利用平行線等分線段應用， 如何把繩子分成五等分
平行 正比線段 例 1 3 相似 反比線段
共用 ABC的角A，一定可以形成兩個相似三角形，一個小三角形，一個大三角形
共用 ABC的角B，形成三個相似三角形，只有直角三角形才能做到
a b c d f e 從相似形角度出發，利用長度來看畢氏定理
沒有圓規畫兩個相似三角形 圓的內冪性質 圓的外冪性質
把圓四等分做出90度 利用長方形剪出45度角 實作比較 圓心角，圓周角的實作
利用橡皮筋，兩 個硬幣 外公切線
利用橡皮筋， 兩瓶礦泉水 內功切線
透過給定的數字， 劃出太極圖 隱含兩圓的所有 位置關係 兩圓的位置關係
重心的木棍堆疊
教學前的反思(不知道怎麼教， 沒感覺，找CA) 教學中的師生對話 教學後的檢討 成就感 ，踏實感。 心得分享
謝謝大家