Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是什么？ 定理:Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是GF(pn)=Zp() 推论16.6:GF(pm)中的元素恰为多项式xpm-xZp[x]的pm个根。 习题16.16 如果是f(x)在其根域上的根,则N=Zp() 该结论是针对有限域Zp上的多项式，对于无限域是不成立的。 例如x3-是Q[x]上的不可约多项式，为其根，但Q()不是x3-的根域。

伽罗瓦域GF(pm)在某种程度可以看做为 Zp上的m维线性空间，设1,,m为基，则有GF(pm)={a11+amm|aiZp,1im} 因此对于域上的+运算，对于,GF(pm), =a11++amm, = b11+bmm,有： +=(a1+b1)1+(am+bm)m, *无法利用向量空间来简化表示。

这里要注意，我们讲K为F上的线性空间，是指域的载集的表示，而不是指域与线性空间一致，故*无法利用向量空间来简化表示。 因为关于向量,没有定义2个向量乘法。 这里要注意，我们讲K为F上的线性空间，是指域的载集的表示，而不是指域与线性空间一致，故*无法利用向量空间来简化表示。 (1)对任意的,,K有: +=+, +(+)=(+)+, 并且存在0K,使得+0=,存在K, 使得+=0 (2)纯量积定义: ①设1为域F的单位元,K,则有1*=*1= ②对任意的,K,F有 *(+)=(*)+(*), (+)*=(*)+(*) ③对任意的,F, K有*(*)=(*)*

域的加法运算是多项式加, 而乘法运算则是多项式相乘。 本原元与本原多项式把乘法运算转换成元素的幂的加法。

§4 本原元与本原多项式 引理16.4：[G;*]为交换群。a,bG,分别以n和m为阶, 则存在cG,其阶为m与n之最小公倍数[n, m]。 证明：m=1, m与n之最小公倍数为n,取c=a n=1, m与n之最小公倍数为m,取c=b m,n都大于1， 习题14.20:G为群,a,bG,已知ab=ba,a的阶为 n, b的阶为m, 则(n,m)=1时,ab阶为nm

引理16.5：[G;*]为交换群,aG是其中阶最大元,设其阶为n。则任一xG的阶可整除n。 定理16.16:GF(pm)中非零元全体关于乘法构成循环群。 关键证明存在元素，其阶为pm－1。 找元素，阶最大的。

定义16.10:循环群[GF(pm)*;*]之生成元称为有限域GF(pm)的本原元。 GF((pm))={0,0=1,,2,,pm-2} 例:找出GF(32)的所有本原元。 不可约多项式x2+1 +1, +2, 2+1, 2+2都是本原元

+1是本原元,则其他元素2,, +2,2, 2+1,2+2怎样表示成+1的幂次? 二、本原多项式 定义16.11:设g(x)Zp[x]是m次不可约多项式,当k=pm-1时g(x)|(xk-1),当k<pm-1时g(x)不能整除(xk-1),称g(x)为Zp上的本原多项式。

定理16.16:g(x)Zp[x]是不可约的m次多项式,它是本原多项式,当且仅当g(x)的所有根x都是Zp[x]/(g(x))=GF(pm)的本原元。 (1)g(x)是不可约的m次多项式, 所有根都是Zp[x]/(g(x))=GF(pm)的本原元,则是本原多项式 (g(x))+x是g(x)的根,则阶为pm-1 (2)g(x)是本原多项式 g(x)与xt-1有公共零点 习题16.16:f(x)不可约,f(x)与g(x)有公共零点,则f(x)|g(x)

例:GF(22)≌Z2[x]/(x2+x+1),证明x2+x+1是Z2上的本原多项式。 (2+)*(2+1)-1+-2+ 例:GF(24)≌Z2[x]/(x4+x+1),证明x4+x+1是Z2上的本原多项式。

已知为GF(pn)上的本原元，怎样求出GF(pn)上的所有本原元？ GF*(pn)中的每个元素可表示为的幂次形式k。 由习题14.19知，k的阶为pn -1当且仅当(k, pn -1)=1，即k为本原元当且仅当(k, pn -1)=1。因此我们就可在,2,pn-1中找出所有的本原元。

已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),怎样求出Zp上所有的n次本原多项式? 1.费尔马小定理: 设p为素数,a为非零整数,且(a,p)=1,则 ap-11 mod p 证明:对任意与p互素的非零整数a, 有[a]pZp*, 因为元素的阶是群的阶的因子, 所以[a]p-1=1, 即ap-1=1modp,

2.(x)=xp是GF(pn)的自同构映射. 证明:满足同态等式 一对一 满射:设为生成元,对任意的GF(pn),有=k,取x=kpn-1 , 则(x)=(kpn-1)p= (kpn)= (pn)k =(pn-1 )k= k

3.设为本原多项式f(x)的根,则,p,p2, ,pn-1是本原元,且是f(x)的根. 证明:(1)pi是本原元 先证明(pi,pn-1)=1 然后由习题14.19得:pi的阶是pn-1 所以pi是本原元 (2)pi是f(x)的根

结论: 1. 为本原多项式f(x)的根,则有 f(x)=(x-)(x-p)(x-p2)(x-pn-1) 2.已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),求所有n次本原多项式的方法是: (1)先求出f(x)的一个根,即本原元,然后求出GF(pn)中的所有本原元, (2)根据求出的本原元按结论1中的方法构造其他本原多项式. 3.凡不可约多项式若有一个根是本原元,则它的所有根都是本原元,即,它一定是本原多项式.

作业: P338 26 1.已知x4+x+1是Z2上的本原多项式,设是x4+x+1的根, (1)求出GF(16)上的所有本原元，并用的幂次形式表示.(2)求出Z2上的所有四次本原多项式。 2.已知x4+x+1是Z2上的本原多项式,设是x4+x+1的根, (1)求出GF(16)上的所有本原元，并用的幂次形式表示.(2)求出Z2上的所有四次本原多项式。