五.連續變數及常態分佈 (Continuous Random Variables and Normal Distribution) 劉仁沛教授 國立台灣大學農藝學研究所生物統計組 國家衛生研究院生物統計與生物資訊組 Jpliu@ntu.edu.tw
連續變數機率分佈 (Continuous Probability Distribution) 許多生物上的特性均為連續性觀測值 身高 體重 作物產量 血壓 肝功能指數(SGOT) ：
吾人所關心的問題 一位男性體重小於65公斤之機率？P(X≦65) 一位男性體重在55至65公斤之機率？P(55≦X≦65) 一位女性肝功能指數(SGOT)為正常(＜30 units)之機率？ P(Y≦30)
連續性觀測值分佈可用某些函數描述， 這些函數稱為機率密度函數(Probability density function) f(x) 2. 函數下面積和為1 3. 體重在55至65公斤之機率？ 其曲線在55至65公斤下之面積
55 65
常態分佈(Normal Distribution) 許多生物及自然界特性之觀測值之分佈均可用常態分佈描述。身高、體重、作物產量、血壓… 統計上許多抽樣分佈在樣品數大時，均會收斂於常態分佈 常態分佈又稱高斯分佈(Gaussian Distribution) 常態分佈為一對稱(Symmetric)及鐘形(Bell-shape)之分佈
常態分佈之機率密度函數 μ：常態分佈之期望值（族群平均值） ：常態分佈之族群變方 ：常態分佈之族群變方 π：3.1416，e：2.71828 常態分佈由μ及 決定其位置與型態
常態分佈對稱於其族群平均數
圖5.2 平均值不同，標準偏差相同之常態分佈圖
圖5.3 平均值相同，標準偏差不同之常態分佈圖
圖5.4 成年男子身高(X)之機率密度函數圖 N(160,100) P(μ－σ<X<μ＋σ)=0.6827 P(μ－2σ<X<μ＋2σ)=0.9545 P(μ－3σ<X<μ＋3σ)=0.9973
標準常態分佈 (Standard Normal Distribution) 族群平均值：μ 族群變方： 族群標準偏差：σ 標準化：減去平均值除以標準偏差 當μ=0， ＝σ=1時的常態分佈稱為標準常態分佈
原觀測值減一常數(μ) 新觀測值之平均值為 原觀測值平均值減此常數 原觀測值除一常數(σ) 新觀測值之標準偏差 為原觀測值標準偏差除此常數
Z 其族群平均值為0，標準偏差為1 Z~N(0，1)
標準常態分佈之性質 對稱於0： 2.
因不同常態分佈有不同μ及σ，故欲計 算機率時必須將原常態變數先行標準化 ，成為標準化常態值(Standard Normal Deviate)後，再查附表4 (p.473-p474)標 準常態分佈累計機率表求機率
步驟 找出問題的常態隨機變數及其相對應母體平均值與標準偏差 計算標準化常態值將問題以標準常態分佈表示之 再將問題用標準常態分佈圖表示之 用表4標準常態分佈累計機率求得問題之機率
例題：成人男性體重為常態分佈，其平均值μ=60公斤，標準偏差為σ=5公斤 求體重小於65公斤者佔全體成人男性之機率， 式：
60 65 X體重
例題：成人男性體重為常態分佈，其平均值 μ=60公斤，標準偏差為σ=5公斤 例題：成人男性體重為常態分佈，其平均值 μ=60公斤，標準偏差為σ=5公斤 (2) 成人男性體重小於55公斤者之機率為多 少？
例題：成人男性體重為常態分佈，其平均值 μ=60公斤，標準偏差為σ=5公斤 例題：成人男性體重為常態分佈，其平均值 μ=60公斤，標準偏差為σ=5公斤 (3) 成人男性體重介於55至62公斤者之機率 為多少？
55 60 62 X體重
例題： 題目：某電子商品零售店其某品牌數位相機之每週銷售 量為常態分佈其平均值為100與標準偏差為10，此 零售店每週一進貨，為了要保證每週只有5%無貨 的機會，零售店經理週一要進貨幾架此品牌的數 位相機？ Ans：吾人知在標準常態分佈，故對數位相機銷售量先 標準化
例題： 題目：若某品牌汽車電瓶之壽命為常態分佈，其平均為60個月，標準偏差為6個月，廠商將定出一個時間點，在此時間內損壞之電瓶可免費換置，若只允許1%售出的電瓶可免費換置，求此時間點： Ans：由標準常態分佈，標準化
總結(Summary) 連續隨機變數機率密度函數 常態分佈 對稱於 標準化常態值 標準常態分佈 Z~N(0，1)
習題 習題 P.129：1，3，4 P.130:6