12. 1 转动惯量 12. 2 质点和质点系的动量矩 12. 3 动量矩定理 12. 4 刚体定轴转动微分方程 12 12.1 转动惯量 12.2 质点和质点系的动量矩 12.3 动量矩定理 12.4 刚体定轴转动微分方程 12.5 相对质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
质点系的运动,不仅与作用在质点系上的力有关,还与质点系各质点的质量其及分布情况有关。质心和转动惯量都是描述质点系质量分布的特征量。 12.1.1 转动惯量 质点系的运动,不仅与作用在质点系上的力有关,还与质点系各质点的质量其及分布情况有关。质心和转动惯量都是描述质点系质量分布的特征量。 刚体对轴 z 的转动惯量 Jz y z x O Mi 若刚体的质量是连续分布,用积分表示: ri xi yi zi 单位:千克·米2(kg·m2)
注意: 转动惯量恒为正值 转动惯量由刚体的质量,质量分布以及转轴位置这三个因素共同决定的 转动惯量与刚体的运动状态无关。 回转半径 :
12.1.2 简单形状均质刚体的转动惯量 (1)均质细直杆: 建立坐标系 则 OA 杆对 z 轴、y 轴的转动惯量: 建立坐标系 12.1.2 简单形状均质刚体的转动惯量 (1)均质细直杆: 建立坐标系 x y O A x l dx 则 OA 杆对 z 轴、y 轴的转动惯量: x y O 建立坐标系 (2)均质矩形薄板: b h y dy 均质矩形薄板对 x 轴的转动惯量: 同理:
(3)均质等厚圆盘: x y 建立坐标系 O R r dr 圆盘对 z 轴的转动惯量为: 圆盘质量:
定理:刚体对于任一轴的转动惯量,等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量,加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积,即: 12.1.3 平行轴定理 定理:刚体对于任一轴的转动惯量,等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量,加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积,即: y z x O x z O (y ) 证明: d C 刚体对于 轴的转动惯量为: ri xi yi zi ri Mi
质心坐标公式 : y z x O x z O (y ) d C ri xi yi zi ri Mi
例1 复摆由均质细杆及均质圆球刚连而成。细杆质量 m1,圆球质量 m 2 ,半径 r 。试求摆对 O 轴的转动惯量 A l O r 用平行轴公式求均质圆球对 O 轴转动惯量: 摆对 O 轴的转动惯量为两者之和,即:
12.2.1 质点的动量矩 质点对固定点 O 的动量矩 记为 : 单位:牛·米·秒 ( N · m · s )。 对各直角坐标轴之矩为: z 12.2.1 质点的动量矩 质点对固定点 O 的动量矩 记为 : O x y z M mv MO( mv ) 单位:牛·米·秒 ( N · m · s )。 x y z r 对各直角坐标轴之矩为:
12.2.2 质点系的动量矩 质点系对点 O 的动量矩:质点系内各质点对固定点 O 的动量矩的矢量和,用 LO 表示 质点系对各坐标轴动量矩: 质点系对 O 点的动量矩在通过 O 点的任意轴上的投影,等于质点系对该轴的动量矩。即:
定轴转动刚体对其转轴的动量矩,等于刚体对其转轴的转动惯量与角速度之乘积。 12.2.3 定轴转动刚体的动量矩 z Mi O w ri vi mivi 刚体对 z 轴的动量矩: 定轴转动刚体对其转轴的动量矩,等于刚体对其转轴的转动惯量与角速度之乘积。 Lz 正负号与 w 正负号相同。
质点系的动量矩等于各物体动量矩的代数和。 例2 物块 A 、B 的质量分别为 m 1 、m 2 ,均质圆轮( 视为圆盘) 半径 r,质量 m 。绳与轮间无相对滑动,不计绳的质量。图示瞬时 A 块的速度为 v ,试求系统对轴 O 的动量矩。 解:物块 A 、B 与轮组成一质点系 质点系的动量矩等于各物体动量矩的代数和。 w O r A B v 运动学分析: 动量矩计算: = vA vB 系统的动量矩 :
12.3.1 质点的动量矩定理 动量矩定义: ——质点的动量矩定理 投影式:
12.3.2 质点系的动量矩定理 质点动量矩定理: ——质点系的动量矩定理 投影式:
12.3.3 质点系动量矩守恒定理 质点系的内力不改变质点系的动量矩,只有作用于质点系的外力才能使质点系的动量矩发生变化。 当外力对于某定点 ( 或某定轴 ) 的主矩 ( 或力矩的代数和 ) 等于零时,质点系对于该点 ( 或该轴 ) 的动量矩保持不变,统称为质点系动量矩守恒定理 。
例3 高炉运送矿石卷场机,鼓轮半径 R ,质量 m1 ,绕 O 轴转动。小车和矿石总质量 m2 ,力偶矩 M ,鼓轮对转轴的转动惯量 JO ,轨道倾角q。绳的质量和各处摩擦均不计,求小车的加速度 a 。 FOy FOx m1g FN M q O v 解:取小车与鼓轮组成质点系。 以顺时针为正,质点系对 O 轴的动量矩: 外力对 O 轴的矩: 动量矩定理: 沿斜坡向上
解:系统所受重力和轴承支反力对 z 轴的矩都等于零 例4 小球 A ,B 以细绳相连,质量均为 m ,其余构件质量不计,忽略摩擦 。系统绕 z 轴转动,初始角速度w0,细绳拉断后,求各杆与铅垂线成q 角时系统的角速度 w。 a z w0 l A B 解:系统所受重力和轴承支反力对 z 轴的矩都等于零 系统对 z 轴的动量矩守恒 A w q B q = 0 时,动量矩为: q ≠ 0时,动量矩为: Lz1 = Lz2 ,得:
刚体对转轴 z 的动量矩 : 由动量矩定理得: ——刚体的定轴转动微分方程 z B FBy FBx a F2 F1 Fn w FAy A FAx FAz FAy ——刚体的定轴转动微分方程
作用于刚体的主动力对轴的矩使刚体的转动状态发生变化 作用于刚体的主动力对轴的矩的代数和等于零,则刚体作匀速转动; 作用于刚体的主动力对轴的矩的代数和为恒量,则刚体作匀变速转动。 转动惯量越大,转动状态变化越小;转动惯量越小,转动状态变化越大。转动惯量是刚体转动时惯性的度量。 形式相似,求解问题的方法与步骤也相似。应用刚体转动微分方程可以求解有关转动刚体的动力学两类问题。
例5 单摆由均质细杆和均质圆盘组成,其质量 m ,质心 C,对转轴 O 的转动惯量为 JO 。求微小摆动的周期。 解:取单摆为研究对象 j 角逆时针转向为正。j 角为正时,重力对点 O 之矩为负。 摆的转动微分方程为 : FOx FOy C a O j mg j 0 为角振幅,q 为初相位,由运动初始条件确定。 通解为: 周期为:
12.5.1 质点系相对质心的动量矩 质点系相对 O 的动量矩: 质点系相对 质心 C 的动量矩: mv z z Mi ri ri y C 12.5.1 质点系相对质心的动量矩 质点系相对 O 的动量矩: mv O x y z C x y z Mi ri ri rC 质点系相对 质心 C 的动量矩:
rC O x y z C Mi ri mv 质点系相对固定点 O 的动量矩:
12.5.2 质点系相对质心的动量矩 ——质点系对质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的外力对质心的主矩。
12.5.2 刚体平面运动微分方程 平面运动可以分解为随质心的平动和绕质心轴 的转动。 随质心 C 的平动由质心运动定理确定;绕质心轴 C z 相对转动由相对于质心的动量矩定理确定。 前一式投影到 x ,y 轴上,后一式投影到 C z 轴上: —— 刚体平面运动微分方程
例6 均质圆柱体重量 G ,半径 r 。无初速地放在倾角q 的斜面上。试确定当圆柱体在斜面上作纯滚时的摩擦因数的范围,并求出作纯滚动时质心 C 的加速度。 x y j C q 解:(1)取圆柱体为研究对象 受力分析。 aC G FN FS D (2)运动分析: 设角加速度 ,质心 C 的加速度 (3)刚体平面运动微分方程:
纯滚动的条件是: 讨论:当 时,圆柱体既滚又滑,且 由 FS = fS FN = ,再与原方程组联解。 y j C aC D G FS x q aC G FN FS D 纯滚动的条件是: 讨论:当 时,圆柱体既滚又滑,且 由 FS = fS FN = ,再与原方程组联解。
例7 均质圆轮半径 r ,质量 m ,受到轻微扰动后,在半径为 R 的圆弧上往复滚动。设表面足够粗糙,使圆轮在滚动时无滑动。求质心 C 的运动规律。 解:(1)取圆轮为研究对象 受力分析 O (+) q (2)列平面运动微分方程 设 q 逆时针为正 mg FN FS 圆轮纯滚动,角加速度: 取质心的弧坐标,O 为弧坐标原点
R C r O (+) q 自然轴系上投影: mg FN FS 令:
R C r O (+) q 通解: 初始条件: t = 0 时:S = 0,初速度为 v 0 mg FN FS 质心沿轨迹的运动方程
R C r 圆轮滚动时对地面的压力 FN : O (+) q mg FN FS 第一项为附加动压力,其中:
The End