悖論與數學危機 Yi-Fan Tseng (曾一凡)

Introduction Education Research Interests Ph.D. : Computer Science and Engineering, National Sun Yat-sen University Advisor: Prof. Chun-I Fan ; 2014/09 – 2018/09 M.S. : Computer Science and Engineering, National Sun Yat-sen University Advisor: Prof. Chun-I Fan ; 2012/09 – 2014/06 B.S. : Computer Science and Engineering, National Sun Yat-sen University 2008/09 – 2012/06 Research Interests Information Security Cryptography Anonymity

悖論

悖論 (Paradox) 又稱弔詭、洋謬，一種矛盾的命題 邏輯上無法判斷正確或錯誤、似是而非、似非而是、違背直 覺的正確結果 悖論是思考的結晶，帶來危機也帶來轉機 古希臘哲學家，埃庇米尼得斯 (600 BC)：說謊者悖論 “我說的話都是假的。” 戰國名家人物，公孫龍 (325-250 BC)：白馬非馬 黑馬是馬 白馬不是黑馬 白馬不是馬 名家：邏輯思想探究，實與名和各種命題關係的詮釋，強調邏輯嚴謹，分離語言與事實，把語言當成純粹的符號來操作 (公理系統，語法證明)

第一次數學危機 希帕索斯悖論

畢達哥拉斯學派 畢達哥拉斯 (570 – 495 BC)：古希臘哲學家、數學家 萬物皆數：一切事物與現象都可以歸結為整數與整數 的比 數字神祕主義： 完全數：真因數和等於自身 1+2+3=6 親和數：一對數，其真因數等於對方 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 1+2+4+71+142=220 畢氏定理： 𝑐 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 當時數學主要處理的對象是幾何 如土地面積，物體長度體積等 畢氏定理：相傳畢達哥拉斯證出該定理時，向天神獻祭了100頭牛 𝑎 𝑐 𝑏

可公度量 對任意兩個線段而言，一定存在有第三個線段，可以作為兩 線段的公共單位 任兩個有理數間必存在一個有理數：有理數可以填 滿數線 任兩個有理數間必存在一個有理數：有理數可以填 滿數線 2m86cm 單位：2cm, 1cm, 0.1cm, …… 1m68cm 經驗+實驗 1 1/2 3/4 7/8

希帕索斯悖論 希帕索斯 (500 BC)：畢達哥拉斯的得意門生， 發現無理數 (Irrational Number) 相傳畢達哥拉斯害怕無理數的發現會觸怒 天神，於是決定將希帕索斯溺死 2 不是有理數： 假設 2 = 𝑝 𝑞 是有理數， gcd 𝑝,𝑞 =1 "𝑝= 2 𝑞"⇒" 𝑝 2 =2 𝑞 2 "⇒" 𝑝 2 為偶數 "⇒"𝑝 為偶數" 令"𝑝=2 𝑝 1 "⇒" 𝑝 2 = 2 𝑝 1 2 =4 𝑝 1 2 =2 𝑞 2 "⇒" 𝑞 2 =2 𝑝 1 2 "⇒"𝑞 為偶數“ "𝑝,𝑞 都是偶數"⇒ gcd 𝑝,𝑞 ≥2 1988，David Wells 在 <The Mathematical Intelligencer> (vol. 10, no. 4, p. 30)針對數學家發出問卷，希望選出最美定理， “ 2 不 是有理數”排名第七 1 1 2 + 1 2 = 2

第一次數學危機 危機： 解決：歐多克索斯 (408 – 355 BC) 影響：經驗直覺不可靠，邏輯證明才可靠 「萬物皆數」的信條被打破 古希臘的數學定理多半以「任兩線段是可公度的」為基礎 經驗跟直覺不再可靠 解決：歐多克索斯 (408 – 355 BC) 僅次於阿基米德的古希臘數學家 比例論：透過幾何定義，把「量」與「數」分開，幾何上的「無理量」 可以，代數上的「無理數」不可以 影響：經驗直覺不可靠，邏輯證明才可靠 亞里斯多德 (384 – 322 BC) 三段論證：大前提 + 小前提 → 結論 歐幾里得 (325 – 265 BC) 幾何原本：465條定理，2000年來最成功的教科書 公理化：所有的定理命題都可從一些不證自明的「公理」推出 大前提：人餓了就要吃飯 小前提：我是人 結論：我餓了就要吃飯 中學數學的內容許多來自幾何原本 林肯閱讀幾何原本來磨練律師需要的邏輯能力

第二次數學危機 貝克萊悖論

芝諾悖論 芝諾 (490 – 425 BC)：古希臘哲學家，埃利亞學派代表人物， 認為世界是不變的整體，運動、變換都是假象 二分法悖論： 阿基里斯悖論： 飛矢不動： A B 1/2 1/4 1/8 100m 人 龜 10m 1m 二分 阿基里斯：時空連續 飛矢不動：時空離散

芝諾悖論 「多」是不存在的：若「多」存在，則將其不斷分割下去， 越分越細： 無窮多個零加起來還是零；無窮多個任意小的量加起來則會 得到無窮 分到最後的單元沒有大小：不管把多少沒有大小的量加起來仍然是沒有 大小 分到最後的單元有大小：把無窮多個有大小的量加起來就得到無窮大 無窮多個零加起來還是零；無窮多個任意小的量加起來則會 得到無窮 亞里斯多德曾試圖解決芝諾悖論：使用潛無窮，拒絕實無窮 直線可以任意延長 vs. 直線無限長 質數的個數比任何給定的數都多 vs. 質數有無窮多個

積分概念 vs. 貝克萊悖論 積分概念其源於古希臘：阿基米德、克普勒、帕斯卡、費 馬、……、牛頓、萊布尼茲 貝克萊 (1685 - 1753)： 英國哲學家，唯心論代表 1734年出版「分析學家」批判 微積分 貝克萊悖論： 三角形切割的再怎麼小，底邊 依然是圓弧，因此高也不可能 是半徑 要達到這些條件，三角形必須 縮成一直線，即半徑 但即使無窮多個半徑加在一起 也不等於圓面積，因為線沒有 面積 半周長 𝜋𝑟 半 徑 𝑟 貝克萊：主教，強調科學與宗教的矛盾，維護神學的地位 圖片來源：http://www.cndpushshare.com/presd/92235.html

微分概念 vs. 貝克萊悖論 微分：切線斜率、極值問題、…… 求解𝑎𝑥− 𝑥 2 最大值： 貝克萊悖論： A 𝑥 𝐴 , 𝑦 𝐴 B 𝑥 𝐵 , 𝑦 𝐵 割線斜率： 𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐵 𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐵 T 𝑥 𝑇 , 𝑦 𝑇 切線斜率 → 微分 微分：切線斜率、極值問題、…… 求解𝑎𝑥− 𝑥 2 最大值： 令𝑜為一瞬的增加量 以𝑥+𝑜代換𝑥，得到 𝑎 𝑥+𝑜 − 𝑥+𝑜 2 =𝑎𝑥+𝑎𝑜− 𝑥 2 −2𝑥𝑜− 𝑜 2 因𝑜很小， 𝑎𝑥+𝑎𝑜− 𝑥 2 −2𝑥𝑜− 𝑜 2 ≈𝑎𝑥− 𝑥 2 𝑎𝑜−2𝑥𝑜− 𝑜 2 ≈0 兩邊同除𝑜，得𝑎≈2𝑥+𝑜 因𝑜很小，捨去𝑜，得𝑥= 𝑎 2 貝克萊悖論： 一開始增加量𝑜不等於 0，最後卻又讓𝑜無故消失 𝑜不是有限量，不是無限小，也不是零 → 增加量的鬼魂 一個方法的基礎不穩，是否還有意義 貝克萊悖論的問題點來自對極限、無窮的不瞭解，以及實數 系統定義不完備 錯誤的方法得到正確的結果 微積分原理不比基督教義更清楚明白 極限由19世紀的柯西與魏爾斯特拉斯以數學語言給出嚴謹定義

無窮級數 無窮級數在中世紀時使當時的數學家著迷，許多無窮級數結 果都在當時被提出 對於無窮得不瞭解使無窮級數產生許多矛盾的結果 韋達： 2 𝜋 = 2 2 ⋅ 2+ 2 2 ⋅ 2+ 2+ 2 2 ⋅… 格雷戈里： 𝜋 4 =1− 1 3 + 1 5 − 1 7 +… 歐拉： 𝜋 2 6 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 +… (最美定理第四名) 沃利斯： 𝜋 2 = 2⋅2 1⋅3 ⋅ 4⋅4 3⋅5 ⋅ 6⋅6 5⋅7 ⋅… 對於無窮得不瞭解使無窮級數產生許多矛盾的結果

格蘭迪級數 格蘭迪級數： 𝑖=0 ∞ −1 𝑖 =1−1+1−1+1−1+1−1… 格蘭迪： 歐拉： 格蘭迪級數： 𝑖=0 ∞ −1 𝑖 =1−1+1−1+1−1+1−1… 1−1 + 1−1 + 1−1 +…=0 1+ −1+1 + −1+1 +…=1 𝑆=1−1+1−1+1−…=1− 1−1+1−1+1−… =1−𝑆, 𝑆= 1 2 格蘭迪： 1 1+𝑥+ 𝑥 2 =1−𝑥+ 𝑥 3 − 𝑥 4 + 𝑥 6 − 𝑥 7 +…⇒𝑆= 1 3 1 1+𝑥+ 𝑥 2 + 𝑥 3 =1−𝑥+ 𝑥 4 − 𝑥 5 + 𝑥 8 − 𝑥 9 +…⇒𝑆= 1 4 𝑆 可以是0~1之間任何單位分數 歐拉： 1 1−𝑥 =1+𝑥+ 𝑥 2 + 𝑥 3 +…, 𝑥=−1,𝑆= 1 2 1+2+ 2 2 + 2 3 +…= 1 1−2 =−1 1 1+𝑥 2 =1−2𝑥+3 𝑥 2 −4 𝑥 3 +…, 𝑥=−1, 1 1−1 2 =∞=1+2+3+… −1=1+2+ 2 2 + 2 3 +…>1+2+3+…=∞ 阿貝爾 發散級數是魔鬼的發明

數學公理化：實數系的完備與戴德金分割 第一次+第二次數學危機後，人們開始尋求「數」的定義 戴德金 (1831 – 1916)：德國數學家，高斯的學生，對實數系 公理化有巨大貢獻 稠密性：有理數是稠密的，任兩個有理數間一定存在另一個有理數 連續性：有理數不連續，無法填滿整條數線 (因此有理數不完備) 戴德金分割： 𝐴,𝐵⊂ℚ 𝐴∩𝐵=𝜙 𝐴∪𝐵=ℚ ∀𝑎∈𝐴, 𝑏∈𝐵, 𝑎<𝑏 Case 1：𝐴有最大值，𝐵沒有最小值 𝐴= 𝑥|𝑥≤2 , 𝐵= 𝑥|𝑥>2 𝐵 2 𝐴 𝐴 𝐵 Case 2：𝐴沒有最大值，𝐵有最小值 𝐴= 𝑥|𝑥<2 , 𝐵= 𝑥|𝑥≥2 𝐵 2 𝐴 Case 3：𝐴沒有最大值，𝐵沒有最小值 𝐴= 𝑥|𝑥<0 或 𝑥 2 ≤2 , 𝐵= 𝑥|𝑥>0 且 𝑥 2 >2 資料來源：https://www.youtube.com/watch?v=tGhXhEeLEzk

定義有理數、無理數、實數 每一種戴德金分割都對應到一個有理數 (Case1 or Case 2)或無 理數 (Case 3) 所有戴德金分割對應到的數的集合便是實數 問題一：0.𝑥𝑥𝑥…=1，求𝑥 解：1. 10× 0.𝑥𝑥𝑥… =10=𝑥.𝑥𝑥𝑥… 2. 𝑥=9 問題二： 𝑥 𝑥 𝑥 ⋰ =2，求𝑥 解： 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 ⋰ = 𝑥 2 =2，𝑥= 2 ⇒ 2 2 2 ⋰ =2 問題二： 𝑥 𝑥 𝑥 ⋰ =4，求𝑥 解： 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 ⋰ = 𝑥 4 =4，𝑥= 2 ⇒ 2 2 2 ⋰ =4 數學家以有理數定義實數，整數定義有理數，自然數定義整數，自然數的定義來自於皮亞諾公理

證明𝟎.𝟗𝟗𝟗…=𝟏 令𝐴= 𝑥|𝑥<0.999… , 𝐵= 𝑥|𝑥≥0.999… ，戴德金分割 𝐴, 𝐵 定義0.999… 令𝐴= 𝑥|𝑥<0.999… , 𝐵= 𝑥|𝑥≥0.999… ，戴德金分割 𝐴, 𝐵 定義0.999… 令𝐶= 𝑥|𝑥<1 , 𝐷= 𝑥|𝑥≥1 ，戴德金分割 𝐶, 𝐷 定義1 證 𝐴=𝐶 令𝑡∈𝐴，則有𝑡<0.999…<1，故𝑡∈𝐶 令𝑡∈𝐶⇒𝑡= 𝑚 𝑛 <1⇒𝑚<𝑛⇒1−𝑡=1− 𝑚 𝑛 = 𝑛−𝑚 𝑛 > 1 𝑛 存在自然數𝑘，使得 10 𝑘 >𝑛⇒1−𝑡> 1 𝑛 > 1 10 𝑘 ⇒𝑡<1− 1 10 𝑘 𝑡<1− 1 10 𝑘 =0.999…999<0.999…⇒𝑡∈𝐴 𝑘 個9

第三次數學危機 羅素悖論

希爾伯特的旅館 有一個旅館有無限個房間，而且全部住滿，有一個新房客想 入住，請問可以空出一個新房間嗎 若來了無窮多個新房客想入住呢 請1號房的房客搬去2號房 2號房 → 3號房 n號房 → n+1 號房 若來了無窮多個新房客想入住呢 2號房 → 4號房 n號房 → 2n 號房 1 2 5 6 3 4 …… 1 2 5 6 3 4 …… 空房間 1 2 5 6 3 4 …… 大衛希爾伯特的23個問題 1900 1 2 5 6 3 4 …… 空房間

希爾伯特的旅館 若來了無窮多台遊覽車，每台有無窮多位客人呢 有客人反應不知道質數的順序，找不到對應的房間 假設每台遊覽車都有編號，每台車上的遊客也有編號 先讓𝑛號房的客人搬去 2 𝑛 號房 讓第一台遊覽車上的遊客照編號搬進 3, 3 2 , 3 3 , …號房 讓第二台遊覽車上的遊客照編號搬進 5, 5 2 , 5 3 , …號房 讓第 𝑖 台遊覽車上的遊客照編號搬進 𝑝 𝑖+1 , 𝑝 𝑖+1 2 , 𝑝 𝑖+1 3 , …號房， 𝑝 𝑖+1 是第 𝑖+1個質數 有客人反應不知道質數的順序，找不到對應的房間 將10 的倍數排除，剩下的數按順序排列， 𝐴 1 =1, 𝐴 2 =2,…, 𝐴 10 = 11,…, 𝐴 90 =99,… 讓1號房房客不動，2號房房客搬進10號房，3號房房客搬進100號房，𝑛 號房房客搬進 10 𝑛−1 號房 第一台遊覽車上的遊客照編號搬進 𝐴 2 , 𝐴 2 ×10, 𝐴 2 × 10 2 ,…號房 第 𝑖 台遊覽車上的第 𝑗 號客人搬進 𝐴 𝑖+1 × 10 𝑗−1 號房

康托與無窮集合論 康托 (1845 – 1918)：德國數學家，曾師從魏爾斯特拉斯與克 羅內克。自1874年起的十餘年內將集合論拓展至極限，重新 定義無窮的概念。 伽利略於1636年完成的名著「兩門新科學的對話」中提到： 伽利略「不能將全體自然數視為一個集合」(否定實無窮) 康托觀察到可以透過一一對應的方法來定義兩個集合元素的 多寡 若兩個集合的元素可以建立一一對應關係，則兩集合等勢 (或 稱基數相同) 1 2 3 … 𝑛 1 2 2 2 3 2 𝑛 2 被克羅內克攻擊，40歲精神崩潰，最後在精神病院中抑鬱而終 康托的定義不涉及有限集/無限集

無窮：部分=全體 任兩圓上點數相同 正整數集合與偶數集合等勢 1 2 3 … 𝑛 4 6 2𝑛 0,1 之間的數與整條數線上的數一樣多 直線上的點跟平面的點一樣多 1 0. 𝑥 1 𝑦 1 𝑥 2 𝑦 2 𝑥 3 𝑦 3 … 𝑦= tan 𝑥− 1 2 𝜋 0,1 1,0 0. 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 …, 0. 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3 … 圖片來源：https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tangent-plot.svg

無窮：部分=全體 …… 自然數與有理數一樣多 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 …… 分子分母和=2 分子分母和=3 分子分母和=4 分子分母和=5

比無窮還無窮 1873年時，康托證明實數比自然數多 康托的對角線法： 假設 0,1 間的小數可以按照某種順序排成一個序列 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , … 𝑎 1 =0. 𝑎 1 1 𝑎 2 1 𝑎 3 1 … 𝑎 2 =0. 𝑎 1 2 𝑎 2 2 𝑎 3 2 … 𝑎 3 =0. 𝑎 1 3 𝑎 2 3 𝑎 3 3 … ⋮ 𝑎 𝑛 =0. 𝑎 1 𝑛 𝑎 2 𝑛 𝑎 3 𝑛 … ⋮ 構造一個數 𝑏= 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 … ，若 𝑎 𝑛 𝑛 =1則 𝑏 𝑛 =0，否則 𝑏 𝑛 =1 𝑏 𝑛 ≠ 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 ,…，因為至少在對角線上的數字不同 找到了一個數𝑏不在一開始的序列中，矛盾

比無窮還無窮 康托的對角線法： 與自然數同勢稱為可數集，與實數同勢稱為不可數集 假設 𝑎 1 =0.1525… 𝑎 2 =0.5243… 𝑎 3 =0.4736… 𝑎 4 =0.5671… ⋮ 𝑎 𝑛 =0.9865… ⋮ 構造一個數 𝑏=0.0110… ，若 𝑎 𝑛 𝑛 =1則 𝑏 𝑛 =0，否則 𝑏 𝑛 =1 𝑏 𝑛 ≠ 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 ,…，因為至少在對角線上的數字不同 與自然數同勢稱為可數集，與實數同勢稱為不可數集 有理數無理數都是稠密的，但有理數是可數集，無理數是不可數集

比無窮還無窮 給定一個兩個元素的集合𝑆= 𝑎, 𝑏 ，其冪集合 2 𝑆 定義為𝑆所有 子集合的集合。 2 𝑆 = 𝜙, 𝑎 , 𝑏 , 𝑎,𝑏 康托證明任何集合的冪集合基數大於原集合基數 康托把可數集的基數寫做 ℵ 0 ，證明不可數集的基數為 2 ℵ 0 ℵ 0 < 2 ℵ 0 < 2 2 ℵ 0 <…

羅素悖論 羅素 (1872 – 1971)： 英國數學家、哲學家、邏輯學家 數學是邏輯學的一部分，與其師懷海特出版一套三卷「數學原理」 1950年獲頒諾貝爾文學獎 理髮師困境 (1919)：一個理髮師宣布：「我要幫所有不自己 刮鬍子的人刮鬍子」，請問這名理髮師能不能刮自己的鬍子 若他刮了自己的鬍子，則他不能幫自己刮鬍子 若他不刮自己的鬍子，則他應該幫自己刮鬍子 弗雷格在正在印刷的著作「算數的基本規律」中加上： 一個科學家最難過的事莫過於在他的工作即將結束時，基礎崩潰了 戴德金也因為羅素悖論延後著作「什麼是數的本質與作用」 的再版 羅素悖論相當簡明，指涉及集合論中最基本的方法，以至於幾乎沒有可以辯駁的地方 集合論是現代數學的基礎

羅素悖論 – 書目悖論 一個圖書館中有許多分類：文學、科學、藝術、… 每一個分類都有一本目錄，目錄中收錄該分類中所有的書， 例如文學目錄收錄所有文學類的書 有些分類的目錄將自己也視為該類的書收錄至其中，例如文 學類目錄中有收錄「文學類目錄」這本書，數學類目錄則沒 有把「數學類目錄」這本書收錄其中 有一天圖書館長想要做兩本總目錄收錄所有分類的目錄： 總目錄A：收錄所有將 分類目錄本身收錄其中的目錄，如文學類目錄 總目錄B：收錄所有不將分類目錄本身收錄其中的目錄，如數學類目錄 問題：總目錄B是否要收錄「總目錄B」這本書 如果收錄，則按照定義不該收錄 如果不收錄，則按照定義應該要收錄

悖論分析與解決 康托：集合應區分為相容與不相容，太大的集合不能被視為 集合，把所有元素聯合起來的假設會導致矛盾 理查德、龐加萊：排除「非直謂」定義 非直謂：被定義的對象(總目錄B)包含在用來定義它的的對象之中(不將 分類目錄收入其中的那些目錄) 策梅洛、弗蘭克爾：公理化集合論，透過選擇適當的公理， 將集合論公理化，同時確保新理論不會產生悖論。這樣的方 式稱為ZF公理系統 馮．諾伊曼、博內斯、哥德爾：擴充ZF公理系統 → NBG公理 系統 區分並定義「類」與「集合」 可以討論「所有集合的類」，但有一個結構性限制避開「所有類的類」 或「所有集合的集合」 微積分中一些基本概念都是非直謂，自我指涉的 龐加萊猜想 七大數學問題 馮諾伊曼 6歲心算8位數除法，8歲會微積分，10歲修習大學課程 WW1 WW2的發生讓數學發展偏重往應用面 PTT Math版 Babbage：這有點像是不斷追問人死後變成 鬼會怎樣，後來大家必然是更專注在死前的生活。

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