2．2　直接证明与间接证明

1．知识与技能 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点． 2．过程与方法 进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异．

本节重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． 本节难点：运用综合法和分析法解答问题． 从实际问题中命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结果的真实性，从证明过程上认识分析法和综合法的推理过程，学会用分析法和综合法证明实际问题，并且理解分析法和综合法之间的内在联系．

一、综合法 1．对综合法的理解 简言之，综合法是一种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法． 由此可见，综合法是“由因导果”，即由已知条件出发，推导出所要证明的结论成立． 2．综合法的特点 从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找“已知”的必要条件．

二、分析法 1．分析法的定义及其理解 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫分析法．可见分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法．

2．分析法的特点 从“未知”看“需知”，再逐步靠近“已知”． 3．分析法与综合法的区别与联系 (1)区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法．分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，结合起来运用效果会更好．

(2)联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后的一步归结为已被证明了的事实．因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结论，这个倒推的证明方法就是综合法．

综合法 分析法 定义 利用 和某些数学 、 、 等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 从要证明的 ，逐步寻求使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件)、 、 、 等)，这种证明方法叫做分析法 框 图 表 示 (P表示 、已有的 、 、 等，Q表示 ) 特点 顺推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法 结论出发 已知条件 定义 定理 充分条件 公理 推理论证 定理 定义 公理 已知条件 定义 定理 公理 所要证明的结论

[点评]　1.综合法证明问题的步骤 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法． 第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．

第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．

[点评]　(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； (2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式； (3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．

[分析]　由题目可获取以下主要信息： ①a、b、c是不全相等的三个正数；②所求的不等式是以对数形式给出且底数0＜x＜1.解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质转化成证明整式不等式．

[点评]　综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．

设a，b是相异的正数，求证：关于x的一元二次方程(a2＋b2)x2＋4abx＋2ab＝0没有实数根． 只需证△＜0即可． ∵△＝(4ab)2－4(a2＋b2)·2ab ＝16a2b2－8a3b－8b3a＝8ab(2ab－a2－b2) ＝－8ab(a2－2ab＋b2)＝－8ab(a－b)2. ∵a、b是相异的正数，

∴ab＞0，(a－b)2＞0，∴－8ab(a－b)2＜0， ∴该一元二次方程没有实数根．

[点评]　本题主要考查了三角函数与不等式证明的综合应用，题目中的条件与结论之间的关系不明显，因此可以用分析法挖掘题目中的隐含条件，在证明过程中注意分析法的格式与步骤． 对于与三角函数有关的证明题，在证明过程中注意角的取值范围及三角恒等变形公式的灵活应用．

[辨析]　当n为偶数时，an－bn和an－1－bn－1不一定同号，这里忽略了在题设条件a＋b＞0的情况下，应分a＞0且b＞0和a，b有一个为负值两种情况加以讨论．

[答案]　D

[答案]　B [解析]　∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac， ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1 又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac ＝a2＋b2＋c2＋2≥3.

3．下面叙述正确的是 (　　) A．综合法、分析法是直接证明的方法 B．综合法是直接证法，分析法是间接证法 C．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D．综合法、分析法所用语气都是假定的 [答案]　A [解析]　在分析法中的语气即有肯定又有否定两种证明方法均是直接证明．

4．A、B为△ABC的内角，∠A＞∠B是sinA＞sinB的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　C

[答案]　9

6．函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是______． [解析]　y＝f(x＋2)是偶函数，则x＝2是f(x)的对称轴，又f(x)在(0,2)上为增函数， ∴f(1)＜f(1.5)＝f(2.5)，f(3.5)＝f(0.5)＜f(1)， ∴f(3.5)＜f(1)＜f(2.5)