使用與學習導引（首頁） １. 簡要使用說明。 （一回生兩回熟，多接觸就會了） ２. 進入學習課程。 （閱讀在數學學習過程常被忽視） G S P 使用與學習導引（首頁） １. 簡要使用說明。 （一回生兩回熟，多接觸就會了） ２. 進入學習課程。 （閱讀在數學學習過程常被忽視） ３. 講義與學習單。 （輔助學習的 Word 檔） ４. GSP 輔助教學的圖檔內容。 （當然也可以單獨觀看操作 GSP 圖檔） ５. GSP 操作使用說明頁。 （個人使用請先 下載 GSP 4.07D.exe DEMO 檔）

幾何討論的是圖形的形狀、大小和相互位置關係，若能畫出一個準確具代表性的圖形，當然有助於問題的思考、推論。 課程簡要說明 幾何討論的是圖形的形狀、大小和相互位置關係，若能畫出一個準確具代表性的圖形，當然有助於問題的思考、推論。 「尺規作圖」起源於兩千多年前的古希臘數學課題，認為幾何學習可達到訓練邏輯思維的目的，為此也就限制了作圖工具的使用方法。期能以最少的假設（定義、公理、公設），而能得到最多推論結果。 【三等分任意角】：若是特殊角度大小（如90度）當然可以三等分。 以尺規所能作的最小整數度數是３度。（18－15＝3） 【化圓為方】：作一正方形使其面積等於一已知圓面積。 【倍立方】：作一個正立方體的邊，使其體積為原給定正立方體的兩倍。 在『自然與生活科技』學習領域或許有機會接觸到『製圖』。 雖然「尺規」能夠作出許多平面圖形，但是並非無所不能，看似簡單的「三等分任意角」、「化圓為方」、「倍立方」等三大作圖題已被證明無法使用「尺規作圖」完成。 國中數學一直以來都有「尺規作圖」單元，在訓練邏輯思維的目的之外，就當做是學習「製圖」的基礎吧， 首頁

但是「尺規」在作圖上有下列使用上的限制。 尺規作圖的意義與工具用途-(1) 規定只能使用「直尺」和「圓規」為工具，並且只准許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題。 但是「尺規」在作圖上有下列使用上的限制。 直尺：可以是無限長，不過這是一把「無刻度」的直尺， 　　　用途就是畫直線或線段，不能拿來量長度。 圓規：用途是「畫圓」、「畫弧」、但是畫圓、畫弧都需要 　　　使用到「半徑」，所以圓規可以用來 「量長度」。 與數線上的單位長意義相同，刻度（長度）是相對的概念，在尺規作圖過程中的長度是由「單位長」或是「已知條件（即已知的線段長）」來決定。 而兩者都可使用圓規的半徑「量（取）」出來。

疊合比較的意義-(2) 一般的測量會有誤差，而且「看不到測量痕跡」，較無說服力。所以，尺規作圖不使用「直尺刻度測量」與「量角器測量」，而是使用「疊合比較」來「測量」。 所以，疊合比較的過程，可認為就是以「尺規」代替「直尺 、量角器」測量的過程。 疊合比較是要有確定的「已知條件」，才能根據已知條件 得出比較結果，每個步驟都是有所本的，符合推論的精神。 而圖形是由邊、角組合而成，每一個邊、角的作圖都是在疊合比較，透過尺規作圖可將符合條件的圖形給作出來。 當然，符合條件的圖形可能「唯一」，也可能是「不唯一」 ，或是「作不出來」，而這正是要進一步討論的幾何問題。

疊合比較的意義-(3) 不妨認為「尺規」是「疊合比較測量」所「認可」的工具，當給定已知條件 或是 將圖形「平移、旋轉、鏡射」之後，就可借重尺規將一定會存在（可作出來）的點或直線（線段）或圖形給「標示（畫）」出來。 例如：由疊合比較知道確定會有「等線段」與「等角」存在 ，所以可使用尺規將「等線段」與「等角」作出來。 雖然「尺規作圖」的過程也會有人為誤差（準確不準確的問題），但是每個步驟都是合理推論，且留有「痕跡」，所以尺規所作出的結果還是被認可與承認（可證明）的。 所以，畫得簡潔些，不要畫得太不準，就會「對」了。

流程與語法-(4) 作圖題的完整流程包含有「已知、求作、作法、證明」４個步驟 與 「所作的圖形」。 已知、求作：是題目所給出的條件 與 要求。 作法：是每一個畫圖步驟的文字說明。 　【通常可省略，但建議您自我要求，學習數學語法。 】 證明：以推理方式說明作法的畫圖步驟是對的。 　【證明過程通常省略，除非題目提出證明要求。】 所作的圖形：尺規痕跡要清晰保留，符號標示要清楚。 借重尺規將一定會存在的點或直線（線段）或圖形給「標示（畫）」出來。 至於為何可以如此做？我想這是另一層次的「證明」問題。 通常將該步驟的圖形先畫好，符號標示清楚之後，再據以寫出該步驟的作法。

基本作圖題-(5) 為了學習如何使用尺規作出幾何圖形，先熟悉『基本作圖』的作圖方法是有必要的。 圖形的構成常包含有「等線段」、「等角」、「平分」、「垂直」、「平行」等基本的幾何觀念，與之有關的作圖稱之為「基本作圖題」。熟悉每個基本作圖題的作圖方法，才能運用在一般的幾何圖形當中。且在作幾何圖形時，如遇有基本作圖題的作圖，則在作法中只要寫到『作…』（只寫清楚結論）即可，不須再詳述其作法過程。 【作法可以以簡御繁，但是圖形作圖過程不得省略】 數學上常有「以簡御繁」，例如：「同理」、「同理可證」、…都是。

基本作圖題-(6) 以下是最最基本的「基本作圖題」與 其作法理由： 等線段作圖。【疊合比較的測量】 等角作圖。【疊合比較的測量】 線段中垂線（中點）作圖。【菱形或鳶形的線對稱性】 角平分線作圖。【菱形或鳶形的線對稱性】 過直線上一點的垂直線作圖。【等腰三角形的線對稱性】 過直線外一點的垂直線作圖。【菱形或鳶形的線對稱性】 平行線作圖。【平移、同位角相等】 等到利用作圖的「唯一性」驗證完畢三角形的全等性質之後，屆時也將三角形作圖歸為「基本作圖」。 習慣上，常用到的結果都可當做是基本作圖， 例如：作三角形的『心』或平行四邊形。

基本作圖常需用到鳶形（菱形）的線對稱性。 G S P 作圖之前… 建議您先了解之前數張投影片所解釋的「概念說明」。 作圖過程主要是以GSP圖檔（任意拖曳具半互動性）呈現，可配合投影片按部就班學習，保證真實、明白、易懂。 基本作圖常需用到鳶形（菱形）的線對稱性。 1. 兩個全等的三角形可對摺拼出鳶形；且知拼出的鳶形 為「線對稱圖形」。 2. 兩個「底邊等長」等腰三角形，可以拼出「鳶形」。 所以，在「尺規作圖」中，常使用其性質作「垂直線」、「中垂線」、「角平分線」、…。

以圓規代替直尺做為量取長度的工具（疊合比較測量）。 G S P 等線段作圖-(1) 給定一個已知線段，要求作出另一與之相等長度的線段。 在幾何圖形中，常常需要使用到「取等線段長」。 已知：線段AB 求作：線段CD，使得 CD＝AB B A C D (1) 任作一直線，並在線上取一點 C。 (2) 量取線段AB。【注意要有「弧」的痕跡】 (3) 以 C 點為圓心，AB 為半徑，畫弧交直線於 D 點。 (4) 則 CD＝AB，即為所求。 線段等長  兩端點重合（線段重合） 以圓規代替直尺做為量取長度的工具（疊合比較測量）。

線段加減作圖-(2) 已知：三線段長（線段a、b、c） 求作：一線段長，使得其長為 a＋b－c 。 G S P 線段加減作圖-(2) 已知：三線段長（線段a、b、c） 求作：一線段長，使得其長為 a＋b－c 。 a b A D B C c (1) 任作一直線，在直線上任取一點 A 。 (2) 作 AB＝a ，BC＝b ，CD＝c 。【以『作…』表示】 (3) 則 AD＝a＋b－c 即為所求。 提醒學生「等線段基本作圖」的簡略「作法語法」。 在直線上作連續的疊合比較測量。

等角作圖-(1) 已知：∠A 求作：另一角，使其度數等於∠A。 (1) 任作一直線，並在線上取一點D。【決定一邊與頂點】 G S P 等角作圖-(1) F E D C B A 已知：∠A 求作：另一角，使其度數等於∠A。 A C B F (1) 任作一直線，並在線上取一點D。【決定一邊與頂點】 (2) 以A為圓心，適當長為半徑 【如同量角器的半徑大小】 ，畫弧交∠A兩邊於B、C。 (3) 以D點為圓心，原長為半徑 【使用同一個量角器】， 畫弧交直線於E點。 (4) 以E點為圓心，BC長為半徑 【即量取∠A大小】， 畫弧交前弧於F點。 【得到相同的∠A大小】 (5) 連接射線DF，則∠EDF即為所求。 D E 將「等角作圖」的想法比對量角器的使用過程，這應是學生都有的「測量經驗」。 暫不適合採用「全等三角形」的對應相等的說明方式，主要還是基於「學習順序」的考量。 所以等角作圖過程就相當於使用圓規模擬（代替）量角器去量取相同的角度大小。

角度相減作圖-(2) 已知：∠1、∠2（如圖所示） 求作：∠A，使其角度大小為 ∠1－∠2 。 G S P 角度相減作圖-(2) 已知：∠1、∠2（如圖所示） 求作：∠A，使其角度大小為 ∠1－∠2 。 2 1 D C A B 提醒學生「等角基本作圖」的簡略「作法語法」。 有數個等角作圖時，使用相同、適當的「量角器半徑」，在作連續的疊合比較測量時，感覺上較方便與簡潔。 (1) 任作一直線，在直線上任取一點 A 。 (2) 作 ∠BAC＝∠1 ，∠BAD＝∠2 。【以『作…』表示】 (3) 則 ∠CAD＝∠1－∠2 即為所求。

中垂線（中點）作圖-(1) 已知：AB 求作：AB 的中垂線 G S P 中垂線（中點）作圖-(1) 已知：AB 求作：AB 的中垂線 C (1) 分別以 A、B 為圓心， 大於(1/2)AB長為半徑，畫弧， 設交點為C、D。 (2) 連接直線CD，即為所求。 【直線一定要有通過 C、D 兩個交點】 (3) CD 與 AB 的交點M 為 AB 的中點。 B A M D 作出以 AB 為對角線的菱形ADBC，產生的另一條對角線（CD）會與AB互相垂直平分。【菱形的線對稱性】

三角形的外心-(2) 三角形三個邊的中垂線會相交於一點， 此點稱為三角形的「外心」。 G S P 三角形的外心-(2) 三角形三個邊的中垂線會相交於一點， 此點稱為三角形的「外心」。 因為有兩中垂線就會產生交點，通常以尺規作圖找「外心」時，只要任作兩邊的中垂線即可。 B C A 參考語法（作法）： (1) 分別作AB、BC的中垂線。 (2) 則兩中垂線交點即為「外心」。 在此不特別強調「外心」的證明與性質，只是拿來做為「中垂線作圖」的應用舉例。 在作三邊的中垂線時，如果都使用 相同的「半徑」，那麼「痕跡」感覺上比較簡潔。 在「GSP」中拖曳三頂點，再次了解外心位置的改變。

三角形的重心-(3) 三角形的三中線會相交於一點， 此點稱為三角形的「重心」。 G S P 三角形的重心-(3) 三角形的三中線會相交於一點， 此點稱為三角形的「重心」。 因為有兩中線就會產生交點，通常以尺規作圖找「重心」時，只要任作兩邊的中線即可。 B C A 參考語法（作法）： (1) 分別作AB、BC的中線。 (2) 則兩中線交點即為「重心」。 在此不特別強調「重心」的證明與性質，只是拿來做為「中垂線（中點）作圖」的應用舉例。 先由各邊的中垂線作圖找到「中點」就可連接「中線」。 注意：中垂線要通過兩弧的交點。

角平分線作圖-(1) 已知：∠A 求作：∠A的 分角線（角平分線） G S P 角平分線作圖-(1) A D 已知：∠A 求作：∠A的 分角線（角平分線） B (1) 分別以A為圓心，適當長為半徑 【鳶形的兩鄰邊】，畫弧，設交點為B、C。 (2) 分別以B、C為圓心，大於（1/2）BC長為半徑，畫弧， 設交點為D。【再畫出鳶形的另外兩個鄰邊】 (3) 連接射線AD，即為所求。 C 作出以 AD 為對角線（對稱軸）的鳶形ACDB，則由線對稱 可得∠BAD＝∠CAD 。【鳶形的線對稱性】

三角形的內心-(2) 三角形三內角的分角線會相交於一點， 此點稱為三角形的「內心」。 G S P 三角形的內心-(2) 三角形三內角的分角線會相交於一點， 此點稱為三角形的「內心」。 因為有兩分角線就會產生交點，通常以尺規作圖找「內心」時，只要任作兩分角線即可。 C A B 參考語法（作法）： (1) 分別作∠ABC、∠ACB的分角線。 (2) 則兩分角線交點即為「內心」。 在此不特別強調「內心」的證明與性質，只是拿來做為「角平分線作圖」的應用舉例。 在作三內角的分角線時，如果都使用 相同的「半徑」，那麼「痕跡」感覺上比較簡潔。

過直線上一點的垂直線作圖-(1) 已知：P 是直線 L 上一點 求作：過 P 點，且與 L 垂直的直線。 G S P 過直線上一點的垂直線作圖-(1) 已知：P 是直線 L 上一點 求作：過 P 點，且與 L 垂直的直線。 C L P B A (1) 以 P 為圓心，適當長為半徑，畫弧，設交點為 A、B。 (2) 分別以 A、B 為圓心，大於（1/2）AB長為半徑， 畫弧，設交點為 C。【作等腰】 (3) 連接直線PC，即為所求。 菱形或鳶形的一組鄰邊「退化」成一直線，圖形變形為「等腰三角形」。 作出以 AB為底邊，P為中點的等腰三角形ABC。由線對稱 可得 PC⊥AB 。【等腰三角形的線對稱性】

過直線外一點的垂直線作圖-(2) 已知：P 是直線 L 外一點 求作：過 P 點，且與 L 垂直的直線。 G S P 過直線外一點的垂直線作圖-(2) 已知：P 是直線 L 外一點 求作：過 P 點，且與 L 垂直的直線。 P (1) 以 P 為圓心， 適當長為半徑畫弧 【鳶形的兩鄰邊】， 設交點為 A、B。 (2) 分別以 A、B 為圓心， 大於（1/2）AB長為半徑畫弧 【再畫出鳶形的另外兩個鄰邊】，設交點為 C。 (3) 連接直線PC，即為所求。 L B A C 作出以 PC 為對角線（對稱軸）的鳶形ACBP，則由線對稱 可得 PC⊥AB 。【鳶形的線對稱性】

過直線外一點的垂直線作圖-(3) 已知：P 是直線 L 外一點 求作：過 P 點，且與 L 垂直的直線。 G S P 過直線外一點的垂直線作圖-(3) 已知：P 是直線 L 外一點 求作：過 P 點，且與 L 垂直的直線。 P L B A (1) 在直線 L 上任取兩點A、B， (2) 分別以 A、B 為圓心， 【分別作出鳶形的兩組鄰邊】 AP、BP長為半徑畫弧，設交點為 C 與 P 。 (3) 連接直線PC，即為所求。 C 作出以 AB 為對角線（對稱軸）的鳶形ACBP，則由線對稱 可得 PC⊥AB 。【鳶形的線對稱性】 另一種垂直線的作圖方法，將鳶形旋轉90度放置。

三角形的垂心-(4) 分別過三角形三頂點與對邊的垂直線（高）會相交於一點， 此點稱為三角形的「垂心」。 G S P 三角形的垂心-(4) 分別過三角形三頂點與對邊的垂直線（高）會相交於一點， 此點稱為三角形的「垂心」。 因為有兩個高就會產生交點，通常以尺規作圖找「垂心」時，只要任作兩個高即可。 參考語法（作法）： (1) 分別過A、B作BC、CA的垂直線。 (2) 則兩垂直線交點即為「垂心」。 C A B 在此不特別強調「垂心」的證明，只是拿來做為「垂直線作圖」的應用舉例。 因為所給的三角形是鈍角三角形， 所以使用上一張投影片的作法，如此可不用 畫各邊的延長線。【凹的鳶形其對角線也會互相垂直】

平行線-(1) 已知：P 是 直線AB 外一點 求作：過 P 點，且與 直線AB 平行的直線。 (1) 過 P 點任作 直線AB 的截線 。 G S P 平行線-(1) 已知：P 是 直線AB 外一點 求作：過 P 點，且與 直線AB 平行的直線。 Q P R (1) 過 P 點任作 直線AB 的截線 。 (2) 作∠QPR＝∠PCB 。 (3) 連接 直線PR 即為所求。 A B C 作圖理由：同位角相等 ＝> 平移 ＝> 平行。

ｎ等分線段-(2) 利用平行線截比例線段的性質可將一線段 n等分，會產生 n－1 個等分點。以將 線段PQ ３等分為例，說明如下： G S P ｎ等分線段-(2) 利用平行線截比例線段的性質可將一線段 n等分，會產生 n－1 個等分點。以將 線段PQ ３等分為例，說明如下： X C B A 平行線截比例線段：以圖的情況看，P點是光源，PX與PQ是光源線，AD//BE//CQ（平行放置），所以△PAD～ △PBE～ △PCQ，所以對應邊成比例。 再使用「比例性質」運算，就可推得『平行線截比例線段』。 P Q D E (1) 過 P 點任作一截線PX，在截線上作 PA＝AB＝BC 。 (2) 連接 CQ ，分別過 B、A 作 CQ 的平行線， 設與 PQ 的交點為 E、D。【平行線截「等」比例線段】 (3) 則 PD＝DE＝EQ 即為所求。【D、E為等分點】

2n 等分的討論-(1) 利用線段的中垂線作圖可將一線段 2n 等分，會產生 2n－1 個等分點。每個等分點代表一次的中垂線作圖，所以欲將一個線段 2n 等分，需要使用中垂線作圖做 2n－1 次。 已知某線段被 2n 等分，當然容易在當中找到一個等分點，使得兩段的比為 a：b，此時 a＋b＝2n 。 例如：在 16 等分的線段中，找第7個等分點，可把原線段 分成 7：9 的兩段。 學貴知疑，學習是「累積」的。 接著，你一定可以發現到： 如果只要在某線段中找到一個點，使得兩段的比為 a：b（ a＋b＝2n ），當然不需要以中垂線作圖做 2n－1 次，那麼試問：至少要使用幾次中垂線作圖才能找到該點呢？

2n 等分的討論-(2) 問題：欲使用中垂線作圖將一線段分成 a：b 的兩段， 其中（a，b）＝1 且 a＋b＝2n ，則正好需要做 n 次。 先由一個實例說明，實際作圖（草圖）體會尋找的過程： 試在一個線段中找到 7：9（7＋9＝16）的那一個等分點。 想法：該點一定會落在將線段 16 等分的某一個等分點上。中垂線作圖如同使用二等分逼近法去逼近所要找的等分點。 8 8 試著說明為何「正好需要做 n 次」。 畫畫圖當然是該具備的思考解題能力。 實際的例子（如投影片中舉例）畫畫圖就可找到「答案」，但是一般性的結論又該如何說明呢？因為它無從畫起。 4 12 6 10 7 9 所以只要作 4 次即可。

2n 等分的討論-(3) 為了解釋「問題」，我們可將作圖過程轉換成「算式」。 7＝8－4＋2＋1＝1×23－1×22＋1×21＋1×20 9＝8＋4－2－1＝1×23＋1×22－1×21－1×20 其中 23、22、21、20 之前的係數一定是1或－1。 （否則，就不是二等分的「中垂線作圖」了） 因為 a、b 是奇數，又算式的最後一項（20項）一定存在，且 23、22、21、20 各項不缺，共有4項，正好要作圖4次。 【若有缺項（係數為0），表示不需再逼近，作圖終了。】 角的平分線作圖當然具有相同的結論。 當係數為0時表示作圖終了，已經找到等分點的位置。 不過，此時會發現a：b不是最簡單整數比。 例如：20＝16＋8－4，事實上20：12＝5：3，欲分出20：12只要作3次。 （表示最初沒有留意（a，b）＝1的條件） 而且也不可能有2^-1以後的項，因為它已經是「1等分」的一半。 以算式對照中垂線作圖情形，若a＋b＝2n 且（a，b）＝1，因為從2n-1、2n-2、…、22、21、20 各項不缺，總共 n 項，正好要作圖 n 次。

作者：台北市立金華國中 吳柏卓、楊玉真 謝謝您的瀏覽 謝謝瀏覽　歡迎建議與指教 以可供教師上課使用的教學流程為考量，完全開放式的 PPT 與 GSP 檔，方便依據自己的需求自行加以增減修正。 可讓「備忘稿」成為討論（記錄）教學（學習）心得的地方，不妨善加利用、充實。 當然也非常適合給學生自行（反覆）學習使用。 觀念、過程明白了，就會覺得「題目」變簡單了。 謝謝您的瀏覽與指教，祝您教學（學習）愉快。 作者：台北市立金華國中 吳柏卓、楊玉真 謝謝您的瀏覽 結束

簡要使用說明 本作品主要以 Power Point 2002 簡報檔呈現 按滑鼠左鍵、右鍵或鍵盤的方向鍵便能持續進行 G S P 簡要使用說明 本作品主要以 Power Point 2002 簡報檔呈現 按滑鼠左鍵、右鍵或鍵盤的方向鍵便能持續進行 GSP是「幾何畫板」數學軟體的簡稱 「大綱（投影片標題）」是學習順序與該頁的說明重點 「備忘稿」可讓您記錄（參考）補充說明或教學心得 再提供適時的gsp圖檔強化或輔助解說過程 『大綱』、『投影片』、『備忘稿』、『gsp圖檔』 四者相輔相成，互補短長。 點選「使用說明」超連結，可呼叫「操作手冊_07.doc」。 當然也可以預先做好與「.gsp」相關的檔案連結（註冊檔案類型）。 再提醒 若未安裝GSP程式，則必須在執行gsp圖檔之前， 先執行「GSP 4.07D.exe」主程式。 首頁

講義與學習單 將本單元內容以 A4 版面摘錄、整理，方便自行列印。 講義與學習單是 doc 檔，請使用 Word 開啟。 計有： 講義篇、尺規基本作圖、三角形四心作圖 共三張 講義篇可隨時「閱讀」， 而 尺規基本作圖 與 三角形四心作圖 在學習過程中總該 親自做過一次。 首頁

GSP 輔助教學的圖檔內容 總計製作下列相關主題內容，併成（Geo_07.gsp）圖檔全集 ，可隨時點選左上角的「GSP」超連結呼叫之。 (b) 三角形的重心 (g) ３等分線段 (f) 角度相減作圖 (e) 線段長加減作圖 (d) 三角形的垂心 (c) 三角形的內心 (a) 三角形的外心 (8) 平行線作圖 (7) 過直線外一點的垂直線作圖（二） (6) 過直線外一點的垂直線作圖（一） (3) 中垂線作圖 (5) 過直線上一點的垂直線作圖 (4) 角平分線作圖 (2) 等角作圖 (1) 等線段作圖 (0) 設計概念與使用說明 提供「個別」圖檔 與 「圖檔全集」是以方便使用為考量。 首頁

GSP 操作使用說明頁 ◎ 圖檔中都有提供「作用按鈕」，每一個都可以滑鼠左鍵點選執行（或取消）動作。 ◎ 若任意拖曳之後，執行過程「出狀況」，可能原因是無法產生「交點」，可重新拖曳調整後再執行。 ◎ 按 GSP 視窗的「最小化」按鈕可返回 Power Point 。 ◎ 感謝「九章出版社」同意提供 GSP 4.06D.exe 程式，供此次甄選評審使用。 【原創公司已更新至GSP 4.07D.exe】 ◎ 個人使用請在原創公司（The Geometer‘s Sketchpad®） 下載安裝 DEMO 檔（V4.0版，有使用期限、且無存檔功能）， 但不影響圖檔的執行。【直接下載 DEMO 檔】 物件：指點、線段、圓、…。 實際手動作圖可能會線段畫的太短，圖檔的設計有時也會如此，比較有「互動性」。 各圖檔都是「嘔心」之作，經過反覆「測試」，邏輯程序合理，但還是可能「出狀況」，此時請「拖曳」到可執行的「位置」與「邊、角」大小，讓「交點」正常存在。 將「圖檔（原始檔）」儲存備份，原始圖檔中物件的位置與大小都是可正常執行的。 首頁