第十章 比例問題的推論 陳順宇 教授 成功大學統計系
一組樣本比例的推論 (小樣本情形)
例10.4、 小華以擲此銅板實驗的數據作決策， 他擲此枚銅板10次，結果出現8次正面 是否就表示我們所懷疑 〝此枚銅板出現正面的機率偏高〞 成立呢？ 也就是判定此枚銅板出現正面的機率 確實偏高呢？
令n次中投中次數為X，即
X是二項分配
單尾檢定
我們懷疑〝此枚銅板不公正〞是不能成立
(1)例10.2，投10球進3球， 則P值
(2)例10.3，投10球只中1球
例10.5、(例10.2續) 譽仁告訴他爸爸說他的3分球 命中率是50%， 如果他爸爸懷疑譽仁是吹牛， (即認為譽仁3分球命中率不到0.5)， 要譽仁投10球，結果10球命中3球， 是否有證據說明譽仁是吹牛的？
左尾檢定
P值
因P值> 0.05， 所以沒有證據說譽仁的3分球 命中率不到5成
10.2 一組樣本比例的推論 (大樣本情形)
例10.6、 如果譽仁在3分球線外投100球中30球 求譽仁3分球命中率p的95%信賴區間
虛無假設
(1)左尾檢定
左尾檢定的棄卻域
(2)右尾檢定
(3)雙尾檢定
例10.7、(例1.9續) 試檢定台南市成年市民中教育程度大專(及以上)所佔比例高於4成?
檢定
沒有證據說台南市成年市民 大專(及以上)的教育程度 所佔比例高於4成
例10.8、 假設小華擲100次此枚銅板， 結果擲出80次正面， 請問： 是否有證據說此銅板出現正面的 機率高於0.5？
註1：
註2： 如果擲的是一個出現正面的機率為0.6的銅板100次， 它會出現80次(或以上)正面的機率是多少？
機率值
以常態分配校正公式 求二項分配之近似值
例10.9、有人懷疑某銅板 是不公正的 ?
假如他擲此銅板10次， 結果出現正面9次 試問H0是否顯著？ 又P值是多少？
有證據說銅板是不公正的
註1：如以大樣本計算z值
註2：如以大樣本計算P 值
例10.10、 大華公司產品不良率高達10％， 公司提出改善計畫後 (1)由生產線隨機抽樣400個產品， 得樣本不良率為8%， 試檢定此改善策略是否有效?
(2)若抽樣400個產品， 試問樣本不良率要多少以下 才能有證據說改善策略有效?
(1)檢定此改善策略是否有效? 即檢定
(a) 檢定
沒有證據說改善策略有效
(b) P 值
即沒有證據說改善策略有效
(2) 若抽樣400個產品，則 檢定的z值
也就是抽樣400個產品， 樣本不良率要在0.075以下， 才能有證據說改善策略有效
例10.11、 再以投籃為例， 如譽仁投100球進30球， 試檢定譽仁3分球命中率是否等於0.5？
有足夠證據說譽仁3分球 命中率不等於0.5
例10.12、(例10.11續) 再以譽仁投籃為例， 譽仁說3分球命中率至少5成， 但爸爸懷疑他的命中率不到5成， 要譽仁投球，結果投100球進30球， 試問是否已有證據說譽仁吹牛？
檢定譽仁吹牛，即檢定
可下譽仁3分球 命中率不到5成的結論
例10.13、 兄弟、統一兩隊在職棒元年比賽20場 試問兄弟在這20場中至少要贏幾場以上 才能顯示該年兄弟對統一比賽時 勝率超過5成？
例10.14、 某次選舉有甲、乙兩位候選人， 民意調查有效樣本為1000， 支持甲有550人， 支持乙有450人， 是否有證據說甲的得票率高於乙？
檢定甲的得票率是否高於乙，即檢定
例10.15、(例1.9續) 試檢定台南市成年市民 高中職與大專(及以上)這兩種教育程度 所佔比例是否相等?
檢定
因 故不顯著， 即無證據說台南市成年市民中 高中(職)與大專此兩種的教育程度 所佔比例有顯著差異。
樣本數 如果在民意調查中， 我們想使某候選人的樣本得票率與 真正開票後的得票率p 誤差在e=0.03之內的機會有95%， 試問我們應調查多少個樣本數n？
樣本數的決定
如事先未知，則由下式 因此以最壞的情形， p=0.5 代入(10.12)式
樣本數
註1： 若誤差界限要 由 e=0.03 降為 0.01 則樣本數增加8倍，變為9604
註2： 若要求誤差界限仍為 e=0.03， 但信賴度提高至99%， 則樣本數最多需要
註3： 如果已知候選人甲的得票率不會超過3成 在95%信賴度與3%誤差界限下 抽樣樣本數為
10.4 二組獨立樣本比例之推論 (大樣本情況) 某公司產品過去不良率過高， 經理要求研發單位研究提出改善對策，吾人關心的問題是
檢定
經標準化
例10.16、 浩仁、譽仁兩兄弟比賽3分球， 浩仁投150球中36球， 譽仁投100球中30球， 試求浩仁與譽仁3分球命中率相差的 95%信賴區間？
兩人樣本命中率的相差
誤差界限
(-0.06-0.1129 ,-0.06+0.1129) 即信賴區間為 (-0.1729 , 0.0529)
2. 檢定
標準誤
綜合樣本比例
檢定統計量
例10.17、(例10.16續) 檢定浩仁、譽仁兩兄弟3分球 命中率是否有顯著差異？
雙尾檢定
綜合樣本比例
z值
我們下兩兄弟的3分球命中率 沒有顯著差異的結論
例10.18、 張三、李四分別對候選人甲 做民調，各抽1000人， 張三調查結果有550人支持候選人甲， 李四調查結果有450人支持候選人甲， 請問兩人調查結果支持候選人甲的比例是否有顯著差異？
z值
例10.19、 若由甲、乙兩生產線分別 隨機抽樣100個、200個產品， 結果分別有5個與20個不良品， 請問 (1) 是否乙生產線的不良率顯著高於5％？ (2) 甲、乙兩生產線的不良率 是否有顯著差異？
檢定
有足夠證據說乙生產線的 不良率顯著高於5％
(2)即檢定
甲、乙兩生產線的不良率
綜合樣本比例
z值
甲、乙兩生產線的 不良率沒有顯著差異
第十章 摘要
1. 社會科學的問卷調查與工業品管產品的不良率是常遇到的比例問題， 基本上處理比例的統計推論原理 與前兩章連續型資料 平均數統計推論相似。
2. 想知道男女生對某法案贊成比例 是否一致？ 或是想知道某種品管改善方案 是否可以降低不良率？ 這些問題都是比例檢定問題。
3.有關比例的檢定 在大樣本情況下， 則利用中央極限定理求值做決策。
4. 做民意調查時樣本數的決定 與誤差及信賴區間有關， 例如估計得票率，若想估計誤差 控制在3%以內， 信賴度95%， 需要有效樣本數是1068。
5. 注意兩組樣本 比例檢定問題與 兩組比例相差的信賴區間 標準差算法不同處。