第五章 相似矩阵及二次型

§1 向量的内积、长度及正交性

向量的内积 定义：设有 n 维向量 令 则称 [x, y] 为向量 x 和 y 的内积．

[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： [x, y] = [y, x]．

[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： [x, y] = [y, x]． 线性性质： [l x, y] = l[x, y]． [x + y, z] = [x, z] + [y, z]

[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： [x, y] = [y, x]． 线性性质： [l x, y] = l[x, y]． [x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0． [x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0

[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： [x, y] = [y, x]． 线性性质： [l x, y] = l[x, y]． [x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0． 施瓦兹（Schwarz）不等式 [x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．

回顾：线段的长度 [x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0 P(x1, x2) x2 若令 x = (x1, x2)T，则 O x1 P 若令 x = (x1, x2, x3)T，则 x3 x2 x1 O

向量的长度 定义：令 称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0； 当 x≠0（零向量） 时， || x || > 0． 齐次性： || l x || = | l | · || x || ．

向量的长度 定义：令 称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， || x || > 0． 齐次性： || l x || = | l | · || x ||． 三角不等式： || x + y || ≤ || x || + || y ||． x + y y y x

[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y] = || x || · || y || 向量的正交性 施瓦兹（Schwarz）不等式 [x, y]2 ≤ [x, x] [y, y] = || x || · || y || 当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时， 定义：当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，把 称为 n 维向量 x 和 y 的夹角． 当 [x, y] = 0，称向量 x 和 y 正交． 结论：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交． y x

定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组． 定理：若 n 维向量a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, …, ar 线性无关． 证明：设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = [a1, 0] = [a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar] = k1 [a1, a1] + k2 [a1, a2] + … + kr [a1, ar] = k1 [a1, a1] + 0 + … + 0 = k1 ||a1||2 从而 k1 = 0． 同理可证，k2 = k3 = … = kr =0． 综上所述， a1, a2, …, ar 线性无关．

例：已知3 维向量空间R3中两个向量 正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交． 分析：显然a1⊥a2 ． 解：设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则 [a1, a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 [a2, a3] = a2T a3 = x1 － 2 x2 + x3 = 0

得 从而有基础解系 ，令 ．

定义： n 维向量e1, e2, …, er 是向量空间 中的向量， 满足 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； e1, e2, …, er 两两正交； e1, e2, …, er 都是单位向量， 则称 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基． 例： 是 R4 的一个规范正交基．

也是 R4 的一个规范正交基． 是 R4 的一个基，但不是规范正交基．

？ 设 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个正交基，则V 中任意一 个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + …+ lrer 于是 特别地，若 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基，则 问题： 向量空间 V 中的一个基 a1, a2, …, ar 向量空间 V 中的一个规范正交基 e1, e2, …, er ？

求规范正交基的方法 基 正交基 规范正交基 第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令 b3 a3 c32 b2 c31 c3 c2 a2 a1 b1

第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令 于是 b1, b2, …, br 两两正交，并且与a1, a2, …, ar 等价，即 b1, b2, …, br 是向量空间 V 中的一个正交基． 特别地，b1, …, bk 与a1, …, ak 等价（1 ≤ k ≤ r）．

第二步：单位化 设 b1, b2, …, br 是向量空间 V 中的一个正交基，那么令 因为 从而 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个规范正交基．

例：设 ，试用施密特正交化 过程把这组向量规范正交化． 解：第一步正交化，取

例：设 ，试用施密特正交化 过程把这组向量规范正交化． 解：第二步单位化，令

例：已知 ，试求非零向量a2, a3 ，使a1, a2, a3 两两正交. [a1, a2] = a1T a2 = x1 + x2 + x3 = 0 [a1, a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 即a2, a3 应满足方程 x1 + x2 + x3 = 0 ． 基础解系为 把基础解系正交化即为所求． （以保证 a2⊥a3 成立）

定义：如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA = E， 则称矩阵 A 为正交矩阵，简称正交阵． 即 A−1 = AT， 于是 从而可得 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交． 即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基．

定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A－1 = AT， 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交．即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基. 因为ATA = E 与AAT = E 等价，所以

定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A－1 = AT， 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交．即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基． 方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的行向量都是单位向量，且两两正交． 即 A 的行向量组构成Rn 的规范正交基.

例：正交矩阵 R4 的一个规范正交基

正交矩阵具有下列性质： 若 A 是正交阵，则 A−1 也是正交阵，且|A| = 1 或－1． 若 A 和B是正交阵，则 A 和 B 也是正交阵． 定义：若 P 是正交阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换． 经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保 持不变），这就是正交变换的优良特性．