第五章 城市及工程平面控制网的测设与数据处理

§5.1 平面控制网的测设特点与布设形式 5.1.1 平面控制网的测设特点 1. 长度变形的要求 §5.1 平面控制网的测设特点与布设形式 5.1.1 平面控制网的测设特点 1. 长度变形的要求 根据成图或工程要求确定变形要求。如城市测量规范 要求2.5cm/km； 2. 根据变形要求选择坐标系 投影面高程、中央子午线经度； 3. 分级布网：首级网的测设以往用常规技术只能采用独 立网,现在己有可能将多个国家三维控制点作为己知点； 加密网采用附合网，附合在首级网上 4. 以往是将边长、方向和方位角等观测值先投影到投影面上，再投影到高斯平面上。

5.1.1 平面控制网的测设特点 4. 以往是将边长、方向和方位角等观测值先投影到某一高程面上，再投影到高斯平面上并按其上的起始数据进行平差计算。如今GPS基线向量不一定投影到高斯平面上进行平差。 5. 工程控制网对相对点位误差 有特定要求。 如桥梁，大坝须限制轴线的纵向位差，而地铁、隧道须保证轴线的横向位差。

5.1.2 平面控制网的布设形式 1. 三角网 测定三角形全部内角，推算控制点坐标。需要一个起始点坐标，一个起始边长、一个起始方位角或至少具有两个已知点的坐标。对网形有要求，如三角形内角在30° ~ 150° 之间。

5.1.2 平面控制网的布设形式 2. 三边网 测定网的所有边长，推算控制点坐标。需要一个起始点坐标和起始方位角或已知两点以上的坐标。对网形有要求，如三边网构成的三角形内角在30° ~ 150° 之间。

5.1.2 平面控制网的布设形式 3. 边角网 测定网的所有边长和角度，或部分边长与角度，推算控制点坐标。需要一个起始点坐标和起始方位角或已知两点以上的坐标。对网形要求较宽松，对短边优先联测。

5.1.2 平面控制网的布设形式 4. 导线网 导线网的形状由多边形或多结点组成，测定网的所有边长和角度。需要一个起始点坐标和起始方位角或已知两点以上的坐标。对网形要求较低，对短边优先联测。

5.1.2 平面控制网的布设形式 5. GPS控制网 GPS控制网的形状由多个边连结的多边形组成，测定构网所需的GPS基线向量。至少需要一个起始点的三维空间坐标,也可再上起始方位角或已知两点以上的坐标（其中1点为三维空间坐标）。对网形没有要求，对短边优先联测。

§5.2 平面坐标系的选择与确定 5.2.1 平面坐标系的确定原则和要素 1. 确定坐标系的原则 §5.2 平面坐标系的选择与确定 5.2.1 平面坐标系的确定原则和要素 1. 确定坐标系的原则 a). 按面积大小来确定是否采用高斯平面坐标系； b). 按长度变形值来决定是否采用国家3度带高斯平面直角坐标系； 城市控制网要求长度变形小于1/40000，相当于离中央子午线小于45km。否则，就不能采用3°带坐标。

5.2.1 平面坐标系的确定原则和要素 C). 两种地方独立坐标系的选择及其利弊 1). 平均高程面为投影面的任意带高斯平面直角坐标系； 这种方式投影，投影区域边缘离中央子午线的距离不能超过45km，以保证投影后的长度变形小于 1/40000。 优点：适用范围较大，高斯投影的方向改化较小。 缺点：投影后的坐标与3度带坐标的坐标值相差较大。

5.2.1 平面坐标系的确定原则和要素 2). 以抵偿面为投影面的3度带高斯平面直角坐标系。 仍取用3º 带中央子午线，以抵偿面来限制变形。 平均横坐标为 ym 处高斯投影的边长相对变形： 相对于投影面的高程为 Hm 的边长相对变形：

5.2.1 平面坐标系的确定原则和要素 设测区中心点的3 º 横坐标为 y0，要使中心点投影后的长度比为0，可使投影面比测区平均高程面低H，即： 解得： 若测区的平均高程为Δh，则抵偿面的水准高程 H0 为：

5.2.1 平面坐标系的确定原则和要素 设某边长的平均高程为HS ，平均横坐标为y0 +y，要使该边长的投影变形小于1/40000，满足条件： 即： 对于平坦测区，若忽略各边长的平均高程与测区平均高程之差，则有：

5.2.1 平面坐标系的确定原则和要素 将地球平均半径R = 6370km，y0 = 60km，代入上面两式，可算得： y = 15 km， y = -20 km 优点：坐标与国家坐标相接近 缺点：投影适用范围小，高斯投影的方向改化较大， 应用不方便。

5.2.1 平面坐标系的确定原则和要素 3). 尽可能采用与国家坐标差异较小的坐标值。 目的：便于应用，小比例尺图的图幅一致。 做法：1. 采用任意投影带时，起始点坐标取用 国家3度带坐标（平移），起始方位取用两国家点之间的坐标方位角。 2. 采用抵偿高程面时也类似地进行。

5.2.1 平面坐标系的确定原则和要素 抵偿坐标与国家坐标的差异主要反映在尺度上，其尺度差异可表示为： 任意投影带坐标与国家坐标的尺度差异可表示为： 最大坐标差异可表示为： 或

5.2.1 平面坐标系的确定原则和要素 1. 确定平面坐标系的三大要素 a). 投影面的高程； b). 中央子午线的经度或其所在的位置； c). 起始点坐标和起始方位角。

5.2.2 GPS控制网归算到既有的城市平面坐标系 1. 用GPS技术改造原有控制网的两种方案 优点：数据处理简单，与原有坐标吻合较好； 缺点：原控制网首级控制点的误差对GPS网产生影 响。不能充分发挥GPS网的精度。

5.2.2 GPS控制网归算到既有的城市平面坐标系 方案2： 利用原有的起算数据建立GPS首级网，再用 GPS加密。 优点：控制网精度高，避免了原控制网误差的影 响，确保GPS控制网的高精度。新建GPS首 级网时可根据城市发展需要进行规划； 缺点：与原有坐标在边缘地区有较大的差异 。

习 题 1.比较两种类型的地方独立坐标系各自的优缺点。 。 2. 城市或工程控制网坐标系的确定有哪三大要素？

§5.3 城市或工程控制网的技术设计、选点埋石与野外观测概要 §5.3 城市或工程控制网的技术设计、选点埋石与野外观测概要 5.3.1 技术设计 1. 布网原则 a). 分级布网，逐级控制 常规城市控制网分二、三、四等4个等级，在四等控制网下再布设一、二级导线。相应等级控制网的平均边长分别为：9、5和2 km；测角中误差分别为 ±1 、±1.8和±2.5；最弱边相对中误差分别为：1/120000、1/80000 和 1/45000。 用GPS可以越级布设城市控制网，边长可适当增大，并可板报根据需要加大长短边的变化幅度。

5.3.1 技术设计 b). 按照控制网的用途及所需精度布网 对于工程控制网，一般对某些方向、某些点之间的相对误差的要求比较高，可以根据实际要求来设计。 控制网形状确定后，其误差方程系数矩阵A也确定，观测方案决定了权阵P和单位权中误差m0，则各点的方差-协方差阵为： 某目标函数： 则有：

5.3.1 技术设计 上式中的目标点位精度由A、P和 m0 唯一确定，根据 由控制网优化设计理论，确定网形、观测权分配，观测精度。

5.3.1 技术设计 c). 合理地考虑控制点的密度 常规城市控制网：密度均匀； GPS控制网：密度可根据需要来定。布设和此后 的扩展比较灵活。

5.3.1 技术设计 2. 技术设计的内容和步骤 a). 收集、整理已有的测绘成果资料 包括平面与高程控制点成果，各种比例尺的地图等。 b). 确定所采用的坐标系和起算数据 包括投影面高程、投影的中央子午线经度、起算点 的坐标和起算方位角。 c). 控制网网形设计 确定控制网的点位、联测这些点观测量，即控制网 的形状。采用GPS测量对网形要求不高。

5.3.1 技术设计 图 2：上海港GPS扩展网网图

5.3.1 技术设计

5.3.1 技术设计 c). 部分GPS点的水准联测方案 目的：通过拟合求出所有GPS点水准高程。 方法：均匀选择联测水准点，根据水准联测点的 GPS大地高和正常高计算其高程异常。通 过高程异常拟合求出全部GPS点的高程异 常后，再根据其GPS大地高计算其正常高。

5.3.1 技术设计 d). 撰写技术设计书 技术设计书的内容包括： 1). 任务来源、任务要求、作业依据 ； 2). 测区概况； 3). 已有成果、资料分析； 4). 采用的坐标系及起始数据； 5). 布网方案的说明及论证； 6). 选点和埋石； 7). 野外观测方案； 8). 平差计算方案，预期成果精度； 9). 提交的资料； 10). 各种设计图表。

5.3.2 选点与埋石 1. 实地选点 常规控制网的选点必须考虑相邻方向间的通视，因此控制点必须设在制高点上，如高山顶、高层建筑物顶，控制网形受到地形、地物分布状况的影响。因此，常规控制网设计时，必须对地形、地物的分布一定了解。 特别是三角网与测边网的精度受网形的影响较大，网形设计时必须保证其强度。导线网和边角网受网形的影响小些。

5.3.2 选点与埋石 GPS的选点要求如下: 1．基础坚实稳定，便于永久保存，便于使用。 5.3.2 选点与埋石 GPS的选点要求如下: 1．基础坚实稳定，便于永久保存，便于使用。 2．点位周围应便于安置天线和GPS接受机。视野开阔，视 场内周围成片障碍物的高度角一般应小于15°。 3．点位应远离大功率无线电发射源（如电视台，微波站及 微波通道等），以避免周围电磁场对信号的干扰。 4．点位周围不应有对电磁波反射(或吸收)强烈的物体（如 大片水域）； 5．点位应选在交通方便的地方, 以提高作业效率。 6．选定点位时，应考虑便于用常规测量手段联测和扩 展，至少有一个通视方向；

5.3.2 选点与埋石 7．应尽量利用测区内已有的标石； 8．GPS点均应有点名和点号，点名可以按村名、单位 5.3.2 选点与埋石 7．应尽量利用测区内已有的标石； 8．GPS点均应有点名和点号，点名可以按村名、单位 名、建筑物名来命名，点号可按4位数字编写，以 G2×××来表示，G代表GPS点，2代表等级， ××× 代表点的顺序号。对被利用的旧点，点号 应重新统一编号，但点名应保留原名。 9．所有GPS点，不论新点和旧点，按规范统一绘制点 之记。 10．地面点和屋顶点应保持适当的比例。 点位选好后，应该绘制点位略图。

5.3.2 选点与埋石 2. 埋石 埋石：屋顶标石和地面标石。 屋顶标石：规格：404010cm。标石中央埋有直径约 5.3.2 选点与埋石 2. 埋石 埋石：屋顶标石和地面标石。 屋顶标石：规格：404010cm。标石中央埋有直径约 1cm的不锈钢标志，其标心位置由十字丝或 一个直径为1mm的圆孔表示。 地面标石：地面标石有上下两块，其标心位置严格在 一条铅垂线上。这样上标石破坏后，还可 以用下标石。 下标石规格： 606020cm 上标石规格：下表面规格5050cm ， 上表面规格3030cm， 高：40cm

5.3.3 野外观测纲要 1. 各等控制网的观测要求 三角网技术要求

5.3.3 野外观测纲要

5.3.3 野外观测纲要 2. 角度观测纲要

5.3.3 野外观测纲要

5.3.3 野外观测纲要 3. 距离观测纲要

5.3.3 野外观测纲要 3. GPS观测纲要

5.3.3 野外观测纲要 记录天气的晴、阴、雨等状况。GPS天线要求指北，天线独立量取两次后取平均。

大地测量仪器

大地测量仪器 Trimble 3600 DR Standard Trimble 5600 DR Standard

5.4 平差前各类观测值的归算改化与质量检核 5.4.1 电磁波测距边归算至高斯平面上边长 1、电磁波测距边归算至投影面上 一般可简化为： 当观测斜距和垂直角  时：

5.4.1 电磁波测距边归算至高斯平面上边长 2、投影面上边长归算到高斯平面上 距离改化公式： 当 y < 50 km, y < 50 km，可简化为：

5.4.2 水平方向观测值的获得 1、测站平差 n 个目标，观测 m 个测回，每个方向的最或然值即为m个测回观测值的平均值。即： 则，一测回方向中误差为： 各测回方向均值的中误差为： 其中：  可以用近似公式计算：

5.4.2 水平方向观测值的获得 2、全组合测角法及测站平差 全组合测角法：如图所示，观测了所有可能组合的角度，称为全组合测角法。 1 2 O 1 2 3 4 5 全组合测角法：如图所示，观测了所有可能组合的角度，称为全组合测角法。

5.4.2 水平方向观测值的获得 全组合测角的测站平差： 测站平差的最或然值： 中误差： 其中，权为： 单位权中误差：

5.4.3 水平方向观测值归算至高斯平面上弦线的方向值 1、将地面观测方向归算到椭球面上 包括三项改正，称为三差改正。 (1). 垂线偏差改正 (2). 标高差改正 (3). 法截弧方向归算到大地线方向的改正 平原地区一般可忽略。若以平均高程面作投影面，一般不需要做三差改正。

5.4.3 水平方向观测值归算至高斯平面上弦线的方向值 2、将椭球面上方向归算至高斯平面上的弦线方向 方向改化公式为： 若 y 坐标不超过45km，上式可简化为：

5.4.4 GPS基线向量的归算 1、在三维空间坐标系中平差 基线向量不需要归算。 2、投影到高斯平面上进行平差计算 将三维基线向量投影到椭球面上，再投影到Gauss平面上。

5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量 1、三角网的几何条件检查 a). 三角形图形条件

5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量 b). 按三角形闭合差计算测角中误差 三角形闭合差中误差： 根据 ，得测角中误差为：

5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量 c). 极条件 (1). 大地四边形极条件 以B点为极，得： 为极条件闭合差。 A B C D 1 2 3 4 6 5 7 8 c). 极条件 (1). 大地四边形极条件 以B点为极，得： 为极条件闭合差。 极条件闭合差的限差为：

5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量 若以中点O为极，则有： 极条件闭合差限差为：

5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量 (2). 中心多边形极条件 极条件式为： 极条件闭合差限差为：

5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量 d). 三角网中的基线条件或多余观测边条件 (1). 基线边条件

5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量 (2). 多余观测边条件

5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量 2、测边网的几何条件检查 式中， 与 称为辅助角。

5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量 为将辅助角转化为观测边，利用如下单三边形。 由余弦定理，得： A B C a b c ha

5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量 将上述关系代入大地四边形辅助角条件，得： 其中：

5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量 将上述关系代入中心多边形辅助角条件，得： 其中： 闭合差限差：

5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量 A B C a b c ha 3、边角网的几何条件检查 (1). 余弦条件 余弦条件：

5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量 A B C a b c (2). 正弦条件 正弦条件： 条件方程为：

5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量 4、GPS网的几何条件检查 有 n 个GPS点，观测 m 条独立基线向量，则可形成的异步环数： 异步环坐标条件可表示为：

5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量 每条基线距离的标称精度为： 若异步环有 k 条基线组成，若各基线分量的精度与基线距离的精度是一致的，则其闭合差限差为： 式中，由平均距离计算，即：

5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量 因异步环闭合差为： 因此，异步环闭合差的限差为： 重复边闭合差，相当于环的边数为2，常用2倍中误差为限差，即：

5.4.5 依控制网几何条件检查观测值质量 同步环的闭合差理论上应该为0，但采用单基线解时不为0，应该比异步环的闭合差小得多，可取其限差为异步环的闭合差1/5。

§5.5 观测值的权之先验确定和方差分量估计 5.5.1 观测值的权之先验确定 权的一般概念

5.5.1 观测值的权之先验确定 1、对于同类、等精度的观测值 采用相同的权，且以观测值精度作单位权中误差。 1 2 3 4

5.5.1 观测值的权之先验确定 2、对于同类、不等精度的观测值

5.5.1 观测值的权之先验确定 3、对于不同类且不等精度的观测值 方向观测值的权： 距离观测值的权： 若选方向的权为单位权： 则距离观测值的权： 若选角度的权为单位权： 则距离观测值的权：

5.5.2 赫尔默特方差分量估计法 1、方差分量估计的计算公式 误差方程和基准方程为： 权阵为 P 其最小二乘解为：

5.5.2 赫尔默特方差分量估计法 将观测值分成相互独立的两类，即： 误差方程为： 相应的最小二乘解为：

5.5.2 赫尔默特方差分量估计法 随机向量V1的数学期望和方差为： 且有性质： 1 将最小二乘解代入误差方程的第一式，得：

5.5.2 赫尔默特方差分量估计法 协方差阵与权的关系：

5.5.2 赫尔默特方差分量估计法 将上式代入 ，顾及矩阵迹的性质： 1 得： 同理，得：

5.5.2 赫尔默特方差分量估计法 上述两式可转换成如下形式： 2 其中： 若系数矩阵满秩，不需要再加基准方程，则：

5.5.2 赫尔默特方差分量估计法 2、验后权的计算步骤 a). 按先验中误差确定先验权阵P1和P2； b). 平差求得V1TPV1和V2TPV2； c). 按 式，估计方差分量的估值， d). 若两个分量相同，则先验权正确，否则重新定权； 2

5.5.2 赫尔默特方差分量估计法 e). 求出新的权比后，迭代计算，直到满足下式为止。

§5.6 按条件平差解算单导线和导线网 5.6.1 单导线的平差解算和精度评定 1、附合导线和闭合导线的条件平差解算 方位角条件 B D A(1) B D C (n+1) 2 n TAB TCD 方位角条件

5.6.1 单导线的平差解算和精度评定 纵坐标条件式： 根据误差传播率： 代入上式，得：

5.6.1 单导线的平差解算和精度评定 经整理，得纵坐标条件： 同理得横坐标条件：

5.6.1 单导线的平差解算和精度评定 同理可得，闭合导线的纵横坐标条件为：

5.6.1 单导线的平差解算和精度评定 2、 无定向导线和单定向导线的平差解算 n+1 2 n 引入方位角条件未知数T1，Tn，采用附有未知数的条件平差模型计算。其条件方程如下： 方位角条件：

5.6.1 单导线的平差解算和精度评定 纵横坐标条件：

5.6.1 单导线的平差解算和精度评定 如果只在导线的一端引入方位角未知数 T1，则只能列出如下两个坐标条件：

5.6.1 单导线的平差解算和精度评定 上述附有未知数条件式的矩阵形式可表示如下： 按附有未知数的条件平差解法，得法方程如下： 由第一式，得： 代入第二式，得：

5.6.1 单导线的平差解算和精度评定 求解上述法方程，得： 进而求得联系数K和改正数V如下： 其中：

5.6.1 单导线的平差解算和精度评定 单位权中误差： 坐标改正数： 改正后坐标：

5.6.1 单导线的平差解算和精度评定 3、 精度评定 平差值函数可表示如下： 可以证明： 和 对平差值函数表示式移项，得：：

5.6.1 单导线的平差解算和精度评定 由协方差传播定律，得：

5.6.1 单导线的平差解算和精度评定 将 Qv 代入上一式，得：

5.6.1 单导线的平差解算和精度评定 若是不附加未知参数的纯条件平差模型，则有： 条件方程： 平差值函数： 由误差传播定律，得：

5.6.2 导线网的平差解算和精度评定 1、按条件平差法解算导线网 (1). 条件方程式的个数及组成 条件数 = 3  独立闭合环数 + 2  （已知点数  1） + 已知方位角数  1 (2). 观测值权阵的确定 估算测角中误差 根据测距中误差和估算的测角中误差，确定两者的权比。

5.6.2 导线网的平差解算和精度评定 2. 按附加待定参数的条件分区平差法解算导线网 1 2 J J+1 J+2 2. 按附加待定参数的条件分区平差法解算导线网 在导线网的每个结点上，引入一对坐标和一个方位角未知数，将导线网分解成通过结点未知数联系的单导线。 每个导线段可列出3个条件：

5.6.2 导线网的平差解算和精度评定

5.6.2 导线网的平差解算和精度评定 每个导线段可列出条件方程，如下： 按附有未知数的条件平差，组成法方程如下：

5.6.2 导线网的平差解算和精度评定 每一段导线的法方程可表示如下： i 是任意数，满足条件： 消去联系数K，得：

5.6.2 导线网的平差解算和精度评定 将 m 段导线的法方程求得的未知参数表示式求和，得： 因此， 进而计算联系数Ki 和观测值改正数Vi

§5.7 边角网的按坐标参数平差 5.7.1边角网平差中误差方程式的列立 1、边长观测值误差方程式

5.7.1边角网平差中误差方程式的列立 2、方向观测值误差方程式

5.7.1边角网平差中误差方程式的列立 定向角未知数的近似值也可用下式计算： 对向观测方向ik的误差方程为： 角度为两个方向之差，其误差方程式为：

5.7.1边角网平差中误差方程式的列立 (1). 消去定向角未知数 一个测站 nk 个方向的误差方程为： 消去定向角未知数的等效误差方程可表示为：

5.7.1边角网平差中误差方程式的列立 求得坐标改正数后，可利用下式计算定向角未知数。 (2). 合并对向观测误差方程式 两个对向观测的误差方程式为： 可合并成等效误差方程如下： 对多个误差方程,则合并为：

5.7.1边角网平差中误差方程式的列立 (3). 各观测值的权变换为单位权 若将权阵进行分解，使 C为非奇异的下三角阵,将其转置阵 左乘误差方程式，则权阵P就变换为单位阵。对于对角权阵,则C阵的第i个对角元即为若权阵P的第i个对角元的平方根。

5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法 1、控制网秩亏问题的实质及基准数据的引入 秩亏的实质是缺少必要的基准数据。各类控制网的必要基准数据如下： 水准网 ： 1 平面控制网〔有边长观测值〕： 3 平面控制网〔有边长观测值〕： 4 一般的 三维控制网 ： 7 GPS控制网 〔有三维坐标差观测值〕：3 消除秩亏只能靠引入基准数据，对基准数据的不同处理方法对应于不同的平差定位方法。

5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法 一、分类 (1). 基准数据作为固定值 固定基准数据的数目不能少于必要的基准数据。如果等于必要基准数据，称为独立网，如果超过必要基准数据，称为附合网 。 (2)基准数据作为加权的位置约束 将坐标参数分成两组，分别对应于基准数据坐标m1与待定点坐标 m2 ； m1  d。 (3). 基准数据用于拟合（伪逆法) 伪逆：Moore-penrose广义逆 对应于最小二乘及未知数的最小二次范数解。

引入作为加权位置约束的基准数据 相应的误差方程可表示为： 其法方程及其解为：

5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法 二、统一解法：. 附加基准方程消除秩亏 一般形式的基准方程为： 与误差方程一起组成的法方程为： 解得：

5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法 相应于独立网以一点、一方位作为基准的系数矩阵 相应于伪逆解的系数矩阵

5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法 三 边角控制网附加基准方程的求解 (1). 基于伪逆的求解(以坐标初值作为基准数据) 三 边角控制网附加基准方程的求解 (1). 基于伪逆的求解(以坐标初值作为基准数据) 伪逆求解的附加条件： 顾及伪逆解与独立网解存在着平移、旋转的关系： 附加条件等价于： 即：

5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法 基准方程系数矩阵与误差方程系数阵A之间满足条件： 附加基准方程的求解公式： 1 令： 则有：

5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法 展开上式，得： 取： 即满足式〔4〕。 代入式〔2〕，得： 代入式〔1〕，并顾及式〔3〕得：

5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法 方程 的解可表示为： 1 展开，得：

5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法 坐标估值的精度： 顾及： 则坐标估值的精度为：

5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法 基准方程系数矩阵的标准化： 重心化坐标为：

5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法 (2). 固定必要基准数据（按独立网）情况下的求解

5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法 (3). 固定数据多于必要基准数据情况下的求解： 须先消去部分未知参数使法方程系数阵列满秩再求解

5.7.2 控制网平差定位的各种处理方法 三 精密边角控制网基准数据的选取 根据实际情况选取。

§5.8 GPS工程控制网的平差与转换 5.8.1 GPS网平差转换的要点 1、GPS网与原有地面网之间的坐标转换模型

5.8.1 GPS网平差转换的要点 2、按附合网、独立网或是按最优拟合进行平差定位 取决于地面网的实际精度及网的用途： (1)若已有地面网是GPS网，再用GPS布设加密网，自应按附合网平差； (2)若地面网虽是用常规技术布设，但实际工作己满足于这样的精度，为便于已有成果成图资料的继续利用，亦可按附合网平差； (3)为充分发挥GPS高精度技术优势，提高网的精度，可固定地面网一起始点坐标及一起始方位角按独立网平差，此时新旧网点的坐标会有些差异； (4)为使GPS网与地面网吻合得更好并仍保持GPS GPS网的高精度，可在按独立网平差后，再利用两网之间多个重合点的坐标较差作最小二乘拟合。

5.8.1 GPS网平差转换的要点 3、从投影变换方面保持高斯平面上边长尺度的一致性 为此就要： (1)、最好采用与地面网边长归算的高程基准面(常称为投影面)尽可能吻合的椭球面； (2)、必须采用与地面网中央子午线在位置或经 度上完全相同的中央子午线。

1、模型之一：先作独立网平差，再转换到地面坐标系 (1) 先在2000CGCS或WGS84系统中作三维平差 基线向量 的误差方程 全网基线的 误差方程 基准方程

网点三维坐标的最小二乘解 平差后全部网点三维坐标的协方差阵： 其中，单位权中误差的验后估值为： m为全网互独立基线向量的总数 ，n 为GPS点数。

(2) 将三维空间坐标转换成高斯平面坐标及 其精度转换 (2) 将三维空间坐标转换成高斯平面坐标及 其精度转换 转换成大地坐标的精度： 其中网点 i 所对应的对角子块为：

5.8.2 GPS网平差转换的几种模型 转换成高斯坐标的精度： 由协方差传播律，得出：

5.8.2 GPS网平差转换的几种模型 (3)、将GPS网的高斯坐标转换到已有的坐标系 将GPS网的高斯坐标平移、旋转到原有地面坐标系： 转换后的协方差阵为：

5.8.2 GPS网平差转换的几种模型 为使GPS坐标与地面坐标尽可能接近，可以利用重合点解算两者间的旋转和尺度参数。 误差方程为：

5.8.2 GPS网平差转换的几种模型 误差方程的矩阵形式可表示为： 2、模型之二：在地面坐标系中进行平差和转换 基线向量观测值的误差方程可表示为： 误差方程的矩阵形式可表示为：

其中：

(1) 固定地面网位置基准点的三维大地坐标 基准方程为： 大地坐标的平差改正数为： 平差后大地坐标协方差阵为： 亦可用消去位置基准点 上的未知参数的方法求解。

(2)固定位置基准点的三维大地坐标和一个大地方位角 误差方程为： 其中： 上式的所相应范士模型在此实际上只能求取一个旋转角， 即方位旋转角，即方位旋转角 ,推证如下：

代入坐标差的转换模型，得： 由此证得误差方程式中方位旋转角参数前面的系数阵。

因站心坐标与GPS基线向量的关系为： 站心坐标与大地方位角的关系式为 微分得：

将前式代入上式，得出： 其中： 所增加的方位基准方程可采用权甚大的中误差方程式 平差后可同时解出方位旋转参数。

(3)固定位置基准点三维坐标和另外点的大地经纬度 误差方程为： 此时增加了方位、尺度参数各一个。可消去作为固定值的那些待定参数进行平差解算

模型之三：GPS基线向量投影到高斯平面上再进行平差和转换 误差方程：

习 题 1、在实际工作中，为何要将GPS网转换到地面网坐标系？独立网与附合网平差各有什么优缺点？精度哪个高？ 2、在GPS网平差与转换时 习 题 1、在实际工作中，为何要将GPS网转换到地面网坐标系？独立网与附合网平差各有什么优缺点？精度哪个高？ 2、在GPS网平差与转换时 1)、若既有地面网是用GPS技术建立的，则可求解哪几个转换参数？至少需要几个已知点才能求解这些转换参数？ 2)、如果既有地面网是用常规技术建立的，则够求解哪几个转换参数？至少需要几个点才能求解？ 3、GPS网平差与转换模型有哪几类？各有什么特点？

参考文献 1.施一民.工程GPS控制网平差转换的要点与模型.测绘通报,2003（4）  

5.8.3 按单点法确定区域性椭球元素及其位置 若测区高程异常为，位置基准点处正常高为h0 ,，大地高为： 1、仅改变已知椭球的长半径 （1）、由测区平均曲率半径的变动量求长半径 投影面的正常高为h ，投影面到已知椭球面的垂问距离： 则椭球面在位置基准点 处的平均曲率半径为： 其中：

长半径的变化量则为： 改变长半径后,位置基准点大地坐标变化为

位置基准点上法线方向的变动量为： 任意点大地坐标的变化为： 位置基准点上仍有偏差

(2) 直接以投影面到椭球面距离H为长半径变化量 位置基准点 处的大地坐标变动量为：

任意点的大地坐标变化量为： 在位置基准点 上仍有垂向偏差：

位置基准点上法线方向的变动量为：

(3) 以H/W作为长半径变化量 位置基准点处的大地坐标变动量为：

任意点的大地坐标变化量为： 位置基准点处的垂向偏差为零，法线方向的变动量为： 。

2、仅改变椭球中心位置，并不改变定向及元素 椭球沿 点的法线方向平移 则椭球中心的平移量为

坐标原点平移后的大地坐标为： 平移后， 点的大地坐标为， 平移后，各点的椭球面与投影面的偏差为：

3、改变长半径及偏心率,不改变椭球定位和定向 若改变椭球长半径和偏心率，保持 点的三维空间坐标不变，则有关系式： 由前面两式得出： 代入第三式，得出：

则偏心率和长半径的变动量为：

可知位置基准点 的大地经纬度保持不变，可称之为E3的椭球面在 点与投影面完全相合。 大地坐标的变化为： 代入可得，起始点的大地经纬度保持不变。 可知位置基准点 的大地经纬度保持不变，可称之为E3的椭球面在 点与投影面完全相合。

1、按多点法调整已知椭球定向和定位的原理 1) 垂线偏差分量与空间直角坐标系旋转角的关系 5.8.4 按多点法确定最优确定区域性椭球 1、按多点法调整已知椭球定向和定位的原理 1) 垂线偏差分量与空间直角坐标系旋转角的关系 在 点处，E3椭球面与投影面倾斜角的子午和卯酉分量 （  ,  ）即站心地平坐标系中绕正北及正东的两个旋转角。 且有： ，经两次旋转后可由法线方 向旋转到垂线方向，可证它们与空间直角坐标系中三个旋转角之的关系式为：

2) 保持旋转中心 坐标不变的平移量的求定 任意点坐标的平移旋转变换公式 使旋转中心处

3) 旋转后大地坐标的变动量

5.8.4 按多点法最优确定区域性椭球 由第三式得出大地高变动量与两个旋转角之间 的关系式

2、调整已知椭球的定向和定位的方法 E3椭球面与投影面的垂距为： 两次旋转后的垂距则为： 将 代入上式得： 最小二乘解得： 将 代入上式得： 最小二乘解得： 转换后的三维空间坐标：

3、按多点法确定区域性椭球元素

4、多点法的应用实例 宁波市的城市首级GPS控制网共有88个点，控制面积约为10000km2,其地方独立坐标系以似大地水准面为投影面，网中有12个大致均匀分布测区并具有已知正常高的GPS点，以位于测区中心附近的一点为旋转中心，与按单点定法相比较，采用多点定位法所确定的区域性椭球面与投影面之间的最大偏差由1.8m减小到0.13m 。则使RTK技术亦能用于测定地形点高程。GPS辅之以最优区域性椭球，有希望成为一种水准测量的替代手段，由其所得结果来看，亦是在实现局部区域大地水准面的精化，只是它与通常的大地水准面精化手段不同，它不需要重力数据，不需要大地水准面模型，亦不必作地形改正，因此更为简易可行。

参考文献 1.施一民, 周拥军, 张文卿.用定向定位调整法确定区域性椭球面.测绘学报, 2002（2) 2.施一民，张文卿，施宝湘. 提高GPS水准解算精度的一种新方法.同济大学学报,2000 (4) 3施一民.适用于独立网的区域性椭球的研究.解放军测绘学院学报，1994，11(2) 4.刘大杰,施一民,过静王君.全球定位系统的原理与数据处理. 同济大学出版社,1996 5.施一民.论测量控制网定位的各种处理方法.同济大学学报.2002（11） 6.施一民. 按单点和多点法确定区域性椭球空间位置及元素的分析论证.同济大学学报，2004,（5） 7.施一民.建立区域性坐标系问题的我见.测绘工程,2000,9（1） 

参考文献 8.施一民.张文卿.区域性椭球元素的最佳确定.测绘工程,2000,9(3) 9.施一民, 李健，张文卿，周拥军.地方独立坐标系的性质与区域性椭球面的确定. 测绘通报,2001（9） 10.施一民. 单点和多点法确定区域性椭球空间位置及元素.同济大学学报，2004,32（5） 11施一民,王勇红，张虎，范业明GPS附合网3维平差的方法和应用.测绘通报,2005（7）11-12 12 王勇红, 施一民，施宝湘.一种适应于新技术形势的城市GPS控制网平差转换新方法,全球定位系统2005特刊,中国全球定位系统技术应用协会第八次年会论文集.162-166

习 题 1、为什么GPS控制网要选择区域性椭球？而常规控制网计算时只强调投影面？ 2、比较几种区域性椭球计算方法的优劣？ 习 题 1、为什么GPS控制网要选择区域性椭球？而常规控制网计算时只强调投影面？ 2、比较几种区域性椭球计算方法的优劣？ 3、试述多点法的原理与实施步骤。其应用前提是什么？ 4 按单点法改变已知椭球长半径后，所得的各点的大地经纬度与已知椭球面上的大地经纬度是否相同？进行高形斯投影时应采用哪一种大地经纬度？

5.9 城市及工程控制网平面点位精度的合理评定 5.9.1 首级平面控制网中的绝对和相对点位精度 1、绝对点位误差和相对点位误差的初步概念 绝对点位误差：相对于起始数据 相对点位误差：相对网中与起始数据不同的基准

5.9.1 首级平面控制网中的绝对和相对点位精度 2、相对点位误差的基准数据 相对点位误差的基准数据应该包括：1、位置基准；2、方位基准；3、长度基准 3、独立网的坐标基准和协方差基准 坐标基准：计算待定点坐标的基准数据 协方差基准：估算点位精度的基准数据 若两个基准一致，说明估算的精度是相对于起始点、起始方位和起始边长所确定的基准，称为绝对精度。 若两个基准不一致，说明估算的精度是相对于协方差基准所确定的点位、方位与长度基准，称为相对精度。

5.9.1 首级平面控制网中的绝对和相对点位精度 4、协方差基准的性质 m个点的协因数阵，其秩为2m-d，其协因数阵可表示为： 按附有基准条件的平差模型：

5.9.1 首级平面控制网中的绝对和相对点位精度 顾及法方程逆阵关系： 法方程的解可表示为：

5.9.1 首级平面控制网中的绝对和相对点位精度 1) 协方差位置基准的性质 即： 即：

5.9.1 首级平面控制网中的绝对和相对点位精度 2) 协方差方位基准的性质 方位基准点1，2的协方差满足： 2) 协方差方位基准的性质 方位基准点1，2的协方差满足： 任意点p,q 与方位基准点1，2的协方差满足：

5.9.1 首级平面控制网中的绝对和相对点位精度 5、在不同协方差基准下的协方差转换关系 新协方差基准下的条件方程： 变换基准后的坐标保持不变，

5.9.1 首级平面控制网中的绝对和相对点位精度 变换基准后的协方差变换公式：

5.9.1 首级平面控制网中的绝对和相对点位精度 简化表示式：

5.9.2 首级平面控制网的绝对和相对点位精度评定 1、绝对点位误差的表示

5.9.2 首级平面控制网的绝对和相对点位精度评定 2、相对点位误差计算的简便公式 若 为协方差Qx1中与 i,j,k有关的子集构成的协方差阵，则以 i 点为位置基准，i,j 方向为方位基准的k点的协方差阵可表示为： 其中：

5.9.2 首级平面控制网的绝对和相对点位精度评定 相对误差椭圆元素可表示为：

5.9.2 首级平面控制网的绝对和相对点位精度评定 公式验证：

5.9.2 首级平面控制网的绝对和相对点位精度评定

5.9.3 多级平面控制网的绝对点位精度的合理评定 1、两类半动态公式的比较和分析 若X为本级网坐标，Y为高级网坐标，Y*为上级网的平差值，QY*为其协方差阵。本级网的误差方程： 权： PLX 半动态法的原则：上级网的坐标不便，即：Y=0，但其协方差阵要发生变动。

5.9.3 多级平面控制网的绝对点位精度的合理评定 1)、第一类半动态法的精度估算公式 误差方程式： 法方程式： 法方程的解： 顾及矩阵反演公式： 则，法方程的解可表示为：

5.9.3 多级平面控制网的绝对点位精度的合理评定 由矩阵求拟定理，得： 其中： 对应于动态解的精度估式，不符合半动态的本意。

5.9.3 多级平面控制网的绝对点位精度的合理评定 1)、第二类半动态法的精度估算公式 以 PLX 作为观测权平差，则解为： 在估算精度时考虑上一级网的影响，有： 由协方差传播定律，得： 两期控制网采用不同的单位权方差因子，得：

5.9.3 多级平面控制网的绝对点位精度的合理评定 2、统一协方差基准下多级控制网的精度评定 1)、两级控制网网点间的协方差阵 2)、相对于上级网基准的协方差阵

5.9.3 多级平面控制网的绝对点位精度的合理评定 2、多级控制网协方差阵逐级扩充 1) 首级网点的协方差阵

5.9.3 多级平面控制网的绝对点位精度的合理评定 1) 协方差阵的逐级扩充 扩充到二级网：

5.9.3 多级平面控制网的绝对点位精度的合理评定 扩充到三级网：

5.9.4 多级平面控制网的相对点位精度的合理评定 1、评定相对点位精度的两个问题 通常的评定方法： 1)、协方差基准问题 2)、顾及起始数据的影响

5.9.4 多级平面控制网的相对点位精度的合理评定 2、多级控制网相对点位精度的评定 1)、顾及起始数据影响，在首级网协方差基准下评定 计算公式上节所述。 2)、将首级网协方差基准变换到所需的协方差基准

习 题 1、相对误差的基准应考虑哪些？ 2、绝对误差的坐标基准与协方差基准有何特点？ 3、给出基准改变后坐标协方差阵的变换公式。 习 题 1、相对误差的基准应考虑哪些？ 2、绝对误差的坐标基准与协方差基准有何特点？ 3、给出基准改变后坐标协方差阵的变换公式。 4、采用半动态法计算加密控制网的坐标和精度有何 优点：