描述函数 邹斌 上海大学 自动化系 地 址:上海市延长路149号 邮政编码：200072 电子邮件: ZouBin@shu.edu.cn 第六章 线性系统的校正方法 描述函数 邹斌 上海大学 自动化系 地 址:上海市延长路149号 邮政编码：200072 电子邮件: ZouBin@shu.edu.cn 电 话: 13122601880

描述函数的概念 针对一任意非线性系统，设输入x=Xsinωt,输出波形为y(t)，则可以将y(t)表示为富氏级数形式

对于奇对称函数

非线性环节的正弦响应 y(t) ωt y(t) ωt ωt y(t) y(t) ωt

一般高次谐波的振幅小于基波的振幅，因而为进行近似处理提供了可靠的物理基础。 非线性特性的线性化表示方法：以输出y(t)的基波分量近似地代替整个输出。亦即略去输出的高次谐波，将输出表示为 非线性元件在正弦输入下，其输出也是一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。这与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的相似性，故称上述近似处理为谐波线性化。 一般高次谐波的振幅小于基波的振幅，因而为进行近似处理提供了可靠的物理基础。

描述函数法的定义是：输入为正弦函数时，输出的基波分量与输入正弦量的复数比。其数学表达式为

X(t) = Asin ωt y(t) ≈ Y1sin(ωt+φ1) y(t)= A0+∑(Ancosnωt+Bnsin nωt) 描述函数的定义 ∞ X(t) = Asin ωt y(t)= A0+∑(Ancosnωt+Bnsin nωt) n=1 ∞ y(t) ≈ Y1sin(ωt+φ1) = A0+∑Yn(sin nωt+φn) n=1 非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式 为此，定义正弦信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波 分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用N(A)表示： 1 1 1 1 若A0=0，且当n>1时，Yn均很小，则可近似认为非线性环节的 N(A) = N(A) ej∠N(A) = 正弦响应仅有一次谐波分量！ y(t) A1cos t+B1sin t Y1sin(ωt+φ1) φ1= arctgA1/B1 ω ≈

典型非线性特性的描述函数 理想继电特性 傅氏展开 斜对称、奇函数A0=An=0

饱和特性 死区特性 死区饱和特性

非线性增益I 非线性增益II

理想继电器特性 死区继电器特性 滞环继电器特性

间隙、滞环特性

1）单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描述函数是复数。 2）如果一非线性可以看作是两个非线性的叠加、即 设y1、y2、y分别有N1(A)、N2(A)、N(A）

基于描述函数的控制系统分析 系统开环部分可分离为： 非线性环节N(A) 线性部分G(s) 假定： ①非线性环节非线性，即不是时间的函数； ②非线性环节特性是斜对称的； ③系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。 非线性系统的频率特性法 类似传递函数 谐波线性化方法

非线性系统的稳定性 负倒描述函数（描述函数负倒特性) 线性系统 (乃奎斯特判据) 若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是G(j) 轨迹不包围G平面的(-1,j0)。 负倒描述函数（描述函数负倒特性) ? (-1,j0)

② G(j)包围负倒描述函数 闭环系统不稳定 闭环系统出现自持振荡(极限环振荡) 稳定 ？不稳定？ 振幅（A）？ 频率()？

分析法 当微小扰动使振幅A增大到c点时， c点“(-1,j0)” 被G(j )轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A继续增大； 不能返回到a。 当微小扰动使振幅A减小到d点， d点“(-1,j0)”未被G(j )轨 迹包围，系统稳定； 振幅A继续减小； a点为不稳定自振交点。 微小扰动

当微小扰动使振幅A增大到e点时， e点“(-1,j0)”未被G(j )轨迹包围， 系统稳定； 振幅A减小； 返回到b。 当微小扰动使振幅A减小到f点， f点“(-1,j0)” 被G(j )轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A增大； b点为稳定自振交点。

具有饱和特性的非线性系统 b Ab A＝a 时 负倒描述函数轨迹=实轴上（-1/k, -∞)。 A ∞ 时 G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡 G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交 b点:稳定自振交点 b Ab

具有死区特性的非线性系统 A＝a 时 负倒描述函数轨迹=实轴上（-∞,-1/k)。 A ∞ 时 G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡 G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交 b点:不稳定自振交点

具有间隙特性的非线性系统 b Ab A ∞ 时 G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡

具有间隙特性的非线性系统 b Ab A ∞ 时 负倒描述函数为 G平面上一条曲线。 G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡 G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交 b点:稳定自振交点 b Ab

具有滞环继电器特性的非线性系统 1）如只有一个交点 必为稳定的自振交点 2）如有数个交点 必有稳定的自振交点 3）单边滞环宽度 h增加 负倒描述函数为第三象限内平行于横轴的一组直线。 1）如只有一个交点 必为稳定的自振交点 2）如有数个交点 必有稳定的自振交点 3）单边滞环宽度 h增加 负倒描述函数轨迹向下移动 自持振荡频率将低，振幅增大 h2>h1

非线性系统性能改进及非线性应用 改变G(j )可使系统性能改变！ 改变N(A)同样可以使系统性能改变！ 非线性系统的校正！！！

一、非线性校正基本结构 串联结构 并联结构 反馈结构

两个非线环节并联使非线性特性发生改变示例

二、非线性特性的应用 　　非线性因素对线性系统的性能会带来不利的影响，如有目的的引入非线性环节，可使系统性能大幅度提高，甚至达纯到线性系统无法实现的效果 非线性阻尼控制

非线性阻尼下的阶跃响应 未引入微分反馈 引入微分反馈 非线性阻尼

三、改善非线性系统性能举例 K ①试分析系统稳定性； ②如果系统出现自持振荡，如何消除之？ K＝20，死区继电器特性M＝3，a＝l。

A＝a=1 A ∞ G(j)轨迹与负实轴交点频率值 a——不稳定自振交点 G(j)轨迹与负倒描述函数有两个交点： b——稳定自振交点

A1＝1.11 a——不稳定自振交点 A2＝2.3 b——稳定自振交点 如要求稳定

K 1）改变G(j )——调整K

2）改变N(A):调整死区继电器特性的死区a或输出幅值M

自振分析 (定量) 自振必要条件： 例1 分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。 解 作图分析， 系统一定自振。 由自振条件： 得： 解 作图分析， 系统一定自振。 由自振条件： 得： 比较实/虚部：

例2 系统如右，欲产生 的周期信号, 试确定K、t 的值。 解 §7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（6）   自振分析演示：(在Matlab5.3下运行) 启动Matlab5.3\File\Set Path\Browse\ E:\卢京潮专用\自动控制原理课程专用目录\自控课件53\确定\ok ； 在命令窗口运行 zkyla ； 进入非线性描述函数自振分析窗口 ； 非线性部分（理想继电特性）参数：M=1 线性部分参数  K=9.93, z=[ ], p=[0 -1 –2] 延迟环节参数 t=0.322 得自振参数 A=4, w=1。 自振的Simulink 仿真 (在Matlab6.5下运行) 启动Matlab6.5 (可直接按“演示”运行) E:\卢京潮专用\自动控制原理课程专用目录\mbook ； 在命令输入一般继电特性参数 M=1 在当前目录窗口中选择 nonlinear6.mdl 并运行之； 在结构图中设置非线性、线性和延迟环节参数； 实际自振幅值 A=4.182, w=2p/45/7=0.98 线性部分参数： K=9.93, z=[ ], p=[0 -1 –2] 延迟环节参数： t=0.322 得自振参数： A=4, w=1。 代入 比较模和相角得

例3 非线性系统结构图如右图所示， 自振时,调整K使 。 求此时的K值和自振参数(A,w)以及输出振幅Ac。 已知： 自振时,调整K使 。 求此时的K值和自振参数(A,w)以及输出振幅Ac。 (2)定性分析K增大后自振参数(A,w)的变化规律。 解(1) (2) 依图分析：

解 先将系统结构图化为典型结构 例4 非线性系统结构图如右图所示， 已知： 时，系统是否自振？ 确定使系统自振的K值范围；求K=2时的自振参数。 (2) G3(s)=s 时，分析系统的稳定性。 解 先将系统结构图化为典型结构 解法I 等效变换法 解法II 特征方程法

例5 非线性系统结构图如右图所示，用描述函数法说明系统是否自振，并确定使系统稳定的初值(A)范围。 解 将系统结构图等效变换，求等效G*(s)

§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（10） G*(jw) 从稳定区穿到不稳定区的点 — 不是自振点 §7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（10） G*(jw) 从稳定区穿到不稳定区的点 — 不是自振点 分析可知：使系统稳定的初始扰动范围为 令

例6 非线性系统如图所示， 分析系统是否存 在自振；若存在自振，确定输出端信号c(t)的振幅和频率。 解 将两非线性环节等效合并，结构图化为 依自振条件 比较虚实部

分析可知：系统存在自振

利用线性部分改造非线性 利用非线性特性改造非线性 非线性特性的利用 例1 改变线性部分的参数 例2 用局部反馈消弱非线性特性的影响 演示 利用非线性特性改造非线性 例3 饱和 + 死区 演示 例4 间隙特性的改造 非线性特性的利用 §7.4 非线性特性的改造和利用 1 用线性部分包围非线性环节以改造非线性特性 E:\卢京潮专用\自动控制原理课程专用目录\mbook\nonlinear12.mdl 2 用非线性环节改造非线性，使之线性化 E:\卢京潮专用\自动控制原理课程专用目录\mbook\nonlinear9.mdl 3 用非线性环节改善系统的性能（测速反馈+死区） E:\卢京潮专用\自动控制原理课程专用目录\mbook\nonlinear10.mdl 例5 为特定目的引入非线性环节 演示 例6 在测速反馈中引入死区

小 结 １、非线性系统的基本概念 ２、典型非线性 ３、描述函数的概念和典型非线性的描述函数 ４、描述函数分析方法 小 结 １、非线性系统的基本概念 ２、典型非线性 ３、描述函数的概念和典型非线性的描述函数 ４、描述函数分析方法 　　描述函数法的核心是计算非线性特性的描述函数和它的负倒特性分析系统的稳定性和自持振荡。 ５、非线性的应用和非线性校正。