11.2 空間坐標與空間向量 Space Coordinates and Vectors in Space Copyright © Cengage Learning. All rights reserved.

目標 認識三維直角坐標系統。 分析空間向量。 使用三維向量來解決真實生活中的問題。

空間座標 Coordinates in Space

空間座標 我們將介紹甚麼是三維座標系統，首先先考慮在xy-平面從原點增加一個z軸垂直該平面。在圖11.14之中繪出了三維座標系的正值部分。 每兩個軸可以構成一個平面，如圖所示 可以看到xy-平面、yz-平面 和xy-平面。 Figure 11.14

空間座標 這三個獨立的平面將空間分成八個象限(octant)。 第一象限是由三個正向的座標軸組成的象限，在這個三維的系統中，點P在空間中會被一個有序三元組(ordered triple) (x, y, z) 所表示，而x、y、z的描述如下: x =點P到yz-平面的距離 y =點P到xz-平面的距離 z =點P到xy-平面的距離

空間座標 一個三維坐標系中可以區分為左手指向或右手指向的系統，要確定一個系統的方向，想像你正站在原點，用雙臂指向的方向為正的x軸和y軸，那麼z軸就在你的上方，如圖所示: 該系統是右手或左手取決於哪隻手為x軸。在接下來的題目，我們只會使用右手系統。

空間座標 許多二維座標系統的公式可以推廣到三維座標系統。 舉例而言，可以使用兩次勾股定理，求出空間中的兩點距離，如下圖:

空間座標 藉由兩次勾股定理，我們可以得到空間中兩點 (x1, y1, z1) 與 (x2, y2, z2)的距離公式為

Example 1 – 求空間中兩個點的距離 (2, –1, 3) 與 (1, 0, –2) 的距離是

空間座標 中心在(x0, y0, z0) 、半徑長r的球可定義為: 對於所有的點 (x, y, z)到 (x0, y0, z0)的距離為r構成的集合。 可以使用距離公式去找到標準的球方程式。

空間座標 如果(x, y, z) 為球上任意一點，那麼這個球的方程式為: 對於兩點(x1, y1, z1)與(x2, y2, z2) ， 其中點座標為:

空間向量 Vectors in Space

空間向量 在空間中的向量我們會用有序三元組表示 ，譬如 v = v1, v2, v3 。 零向量為 0 = 0, 0, 0 。 使用這些單位向量 ， i = 1, 0, 0 、 j = 0, 1, 0 、和 k = 0, 0,1 使用這些標準單位向量去表示與v的關係，會如下圖

空間向量 在空間中的向量我們會用有序三元組表示 ，譬如 v = v1, v2, v3 。 零向量為 0 = 0, 0, 0 。 使用i = 1, 0, 0 、j = 0, 1, 0 、和 k = 0, 0,1 這些單位向量 ，則向量v的標準單位向量符號(standard unit vector notation)是 。

空間向量 如果 v 是一個從P(p1, p2, p3) 到 Q(q1, q2, q3)有向線段，那麼向量v的分量式(component form) v = v1, v2, v3 = q1 – p1, q2 – p2, q3 – p3 Figure 11.20

空間向量 Vectors in Space 令u=〈u1, u2, u3〉和v=〈v1, v2, v3〉為兩個空間向量，而c為常數。 1. u=v 若且唯若 u1 = v1, u2 = v2, u3 = v3。 2. 如果v是一個由起點P(p1, p2, p3)到終點Q(q1, q2,q3)的有向線段，那麼 v=〈v1, v2, v3〉=〈q1 – p1, q2 – p2, q3 – p3〉。 3. v的長度為||v||= 。 4. 單位向量就是該向量除以它的長度。 5. 向量的加法: v+u =〈v1+u1, v2+u2, v3+u3〉。 6. cv =〈cv1, cv2, cv3〉。

例題 3 – 求空間向量分量式 v 是起點 (–2, 3 ,1) 至終點 (0,–4, 4)的向量，求它的分量式與向量長度，並求在 v方向的單位向量。 解: v = q1 – p1, q2 – p2, q3 – p3 = 0 – (–2), –4 – 3, 4 – 1 = 2, –7, 3 其長度為

例題 3 – 解 cont’d v的單位向量為

空間向量 定義: 平行向量(parallel vector) 一個純量c乘上一個非零的向量v等於u，則u與v平行。

空間向量 舉例而言， u = 2v 且 w = –v，向量 u、v 和 w 平行。

例題 4 – 平行向量 w 是起點 (2, –1, 3) 至終點(–4, 7, 5)的向量 ， 試問下列那個向量會根w平行? u = 3, –4, –1 v = 12, –16, 4 解: 向量w的分量式 w = – 4 – 2, 7 – (– 1), 5 – 3 = – 6, 8, 2 。 a. 因為 u = 3, – 4, – 1 = – – 6, 8, 2 = – w, 由此可知u、w平行。

例題 4 – 解 b. 試圖找到一個c使得 12, –16, 4 = c – 6, 8, 2 . 12 = –6c c = –2